QUINTA CONFERENCIA Lugar: Oficinas Generales Fecha: 15 de Diciembre de 2007 Conferencista: Prof. Carlos Betancourt Monroy Centro de Estudios Científicos.

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1 QUINTA CONFERENCIA Lugar: Oficinas Generales Fecha: 15 de Diciembre de 2007 Conferencista: Prof. Carlos Betancourt Monroy Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de México

2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS  Una expresión algebraica combina letras y números, mediante operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, y radicación ﴾ extracción de raíces ﴿ siguiendo las leyes numéricas.  Ejemplos: 

3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS  Algunas operaciones son: 

4 POLINOMIOS  De las expresiones algebraicas, los polinomios son sin duda, los mas importantes, ya que son en esencia las funciones mas simples y en las cuales otras ﴾ las llamadas funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales... ﴿ se pueden calcular ﴾ esto es, obtener sus valores numéricos ﴿ aproximándolas mediante polinomios.

5 POLINOMIOS  Def. si a i € R, para cada i = 1,2..,h., un polinomio de grado n ﴾ n entero positivo ﴿ esta dado por la expresión algebraica:

6 Polinomios  Se denomina un polinomio en la indeterminada X  Nótese que un polinomio es una suma de productos de potencia de X  Los polinomios se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir, usando las leyes de los números ﴾ reales ﴿ un proceso importante en el conjunto de polinomios es la posibilidad de factorizarlos como producto de polinomios de menor grado

7 Polinomios  Ejemplos:   Se puede factorizar como el producto de polinomios de grado 1:

8 Polinomios  En ciertos casos, no es posible la factorización de polinomios en el campo de los reales.  Consideremos el polinomio: , no es el cuadrado de una suma o la diferencia de cuadrados

9 Polinomios  ; dado que el discriminante de la ecuación es las raíces son complejas y no existe factorización en los reales.  Problema : obtener tres enteros pares consecutivos tales que el cubo del primero mas el cubo del segundo mas 8, es igual al cubo del tercero menos el cuadrado del primero menos el cuadrado del tercero. Si los tres enteros son: 2n, 2n+2, 2n+4, entonces de acuerdo con el enunciado del problema, resulta: , simplificando resulta:  esto es

10 Polinomios  Si esta ecuación tiene una raíz entera, digamos α entonces α es divisor de – 4; así puesto que los divisores de 4 son 1, -1, 2, -2, 4, -4; sustituyendo n = -1 resulta  p(-1) = -1-2-7(-1)-4=0, luego n = -1 es una raíz; además p(n) es divisible entre  n – (-1) = n + 1 ; por lo que entendemos el cociente de p(n) entre n + 1; se obtiene:

11 Polinomios  ; ( decimos que n = -1 es una raíz doble), luego las raíces de los polinomios son  -1, -1, 4 y por lo tanto, los enteros pares consecutivos que resuelven el problema son los conjuntos siguientes para n = -1; -2, 0, 2: para n = 4; 8, 10, 12

12 Problemas  Obtener dos números x, y, tales que 3 veces el mayor es 3 veces el más pequeño y la diferencia entre ellos es 8.  Sean x, y los números y supongamos x >y, luego 3x = 4y; x – y = 8; de la primera condición obtenemos ; sustituyéndola en la segunda, resulta ; o sea y por lo tanto y = 24 así el mayor x = 8 + y =32; los números son: 32, 24 (la verificación es simple)

13 Problemas  Obtener los valores de x que cumplen la condición:  Sabemos que ; lo que se demuestra con la ley multiplicativa del orden.  (Sería conveniente demostrar esta propiedad) volviendo al problema:  y puesto que o < x, resulta  Se dice que el conjunto solución de la desigualdad original en el intervalo

14 Problemas  Calcular la suma notamos que luego verifiquemos esta suma para valores de n; para demostrar esta propiedad usamos el PIM (principio de la inducción matemática)  La propiedad establece que:  Para n = 1, ya se verifico que  se supone que la suma es valida para el entero positivo k esto es,   a continuación se verifica si para el entero k + 1, la suma es valida; en efecto: por demostrar pero , y dado que por hipótesis, luego sustituyendo en., así hemos demostrado que si  es valida entonces. es valida y por el PIM la formula para S es valida para todos los enteros positivos