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Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (A) Variedades de usos del concepto intuitivo de consecuencia. (1) El razonamiento de Aristóteles.

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2 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (A) Variedades de usos del concepto intuitivo de consecuencia. (1) El razonamiento de Aristóteles es válido. (2) Usted se contradice. Por lo tanto, está comprometido con cualquier cosa. (3) Lo que Kant dijo acerca de las categorías se sigue de sus ideas acerca del espacio y del tiempo. (4) Que haya agua en Marte implica que hay H2O. (5) La nieve sea blanca. Por lo tanto, tiene color.

3 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales B.- Consecuencia Material a priori Analítica Metafísica lógica - S es una consecuencia material de K ssi o K es falsa, o S es verdadera - S es una consecuencia a priori de K ssi la sola aceptación de K garantiza (sin recurrencia a elemento empírico alguno) la aceptación de S, una vez aceptado K por las razones que fueran. - S es una consecuencia analítica de K sss la verdad de S garantiza la verdad de K en virtud puramente del significado de los términos (lógicos y extralógicos) que figuran en K y en S. Ejemplo: Esto es rojo. Por lo tanto, Esto tiene color. - S es una consecuencia metafísica de K sss se preserva la verdad necesaria de K a S. Por ejemplo, Esto es agua. Por lo tanto, Esto es H2O.

4 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales NecesidadConsecuencia Lógica? Coffa (1991) Tradición Semántica (Bolzano, Frege, Wiitgenstein, Círculo de Viena) Dar una explicación de la necesidad sin recurrir a la intuición racional. SignificadoConsecuencia Analítica RacionalidadConsecuencia a priori

5 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (C) Distintos problemas: epistémicos vs lógicos - ¿Cómo determinar que S es una consecuencia de K? - ¿Podemos justificar a priori (o de manera infalible) que S es una consecuencia de K? - ¿Qué papel juega la noción de consecuencia en nuestros esfuerzos por obtener conocimientos? - ¿En qué condiciones S es una consecuencia lógica de K? - ¿Qué es necesario y suficiente para que S sea una consecuencia de K?

6 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (D) El análisis filosófico de un concepto - Explicar vs Analizar (Elucidar – Definir) 1.- ¿Qué es analizar un concepto? El concepto X analiza Y Presentar un concepto (X) que siendo suficientemente similar al concepto analizado (Y) posee una precisión superior con vistas a emplearlo de manera exitosa en las afirmaciones donde aparecía Y. En un análisis conceptual, su objeto (en este caso, la noción intuitiva de consecuencia) es siempre oscuro e impreciso. hay que comenzar por identificar los usos útiles de la noción que se quiere elucidar la pretensión es siempre que por medio del análisis se ilumine el significado (el sentido o la referencia) de la noción analizada.

7 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Al ofrecer un análisis conceptual de la noción de consecuencia deductiva, debemos Preservar la extensión del concepto intuitivo. ( ) La propiedad de ser humano es equivalente a la de ser bípedo implume Preservar el significado del concepto intuitivo. (L ) La propiedad de ser humano es lógicamente equivalente a la de ser animal racional Ejemplos R. Tarskianálisis del concepto de verdad en términos del concepto de satisfacción R. Carnap Meaning and Necessity análisis del concepto de verdad necesaria en términos del concepto de L-equivalencia

8 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales 2.- El problema de la arbitrariedad recortes en la extensión del concepto intuitivo (la definición de verdad y la eliminación de las paradojas semánticas) - estipulaciones (prohibición de definir verdad dentro del propio lenguaje) Sostiene Simpson: (...) clarificar un concepto es construir un concepto nuevo, con el margen de arbitrariedad que ello implica. 3.-El problema de la paradoja del análisis: Si se pretende ofrecer un análisis del significado real del concepto de verdad a través de otro concepto, o bien el concepto sustituto tiene el mismo significado, lo que vuelve trivial al análisis, o bien él no tiene el mismo significado por lo cual no es un verdadero análisis. Soltero NO Casado Soltero Soltero A Coffa (1975) "Dos concepciones de la elucidación filosófica" Crítica VII nº 21. M. Comesaña (1995) "Análisis y eliminación: un módico homenaje a Simpson" Crítica XXVII nº 79. T.M.Simpson (1975) "Análisis y elucidación: una módica defensa de Quine" Crítica VII nº 21.

9 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (E) La relación de consecuencia lógica es una relación formal. Si una oración A es una consecuencia lógica de un conjunto de oraciones B, C, D, etc., entonces cualquier argumento que tenga la misma forma que el argumento con premisas B, C, D, etc. y conclusión A será también un argumento en que la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas. es una relación modal. Es modal en cuanto que es una relación de implicación necesaria, donde la conclusión se sigue necesariamente de las premisas. "El silogismo es un discurso en el que, una vez enunciadas ciertas cosas, se sigue necesariamente algo distinto de lo ya enunciado del hecho de que aquellas cosas se den" (Aristóteles Primeros Analíticos, 24b18-20).

10 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (F) Nociones metalingüísticas de Consecuencia: I.- Estrategia formal - Caracterizar una noción de consecuencia a partir de la enumeración de un conjunto de reglas de inferencia (y de un conjunto de axiomas). o Axiomatización o Deducción natural II.- Estrategia semántica - Caracterizar una noción de consecuencia a partir de la preservación de verdad. III.- Estrategia abstracta - Caracterizar una noción de consecuencia a partir de sus propiedades abstractas o Reflexividad (o Inclusión): X Cn (X), o Monotonía: X Y implica Cn(X) Cn(Y), o Corte (Idempotencia) : Cn(Cn(X)) Cn (X). o Compacidad: Cn (X) U Cn (Y) / Y es finito y Y X.

11 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (G) Nociones caracterizadas dentro del lenguaje - Implicación estricta o Sistemas de lógica modal - Secuentes (H) Dos nociones de Consecuencia Lógica S es una consecuencia lógica de K K S S es derivable de K S se deduce aplicando reglas de inferencia a partir de K K S S es una consecuencia semántica de K (I) Equivalencia entre y - El conjunto de derivaciones (K S) e inferencias válidas (K S) es equivalente. El conjunto de teoremas ( S) y verdades lógicas ( S) es equivalente.

12 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (J) Tesis de la primacía de la semántica sobre la forma: K S y K S no son oraciones del lenguaje objeto. K S es una afirmación metalingüística existencial comprometida con la existencia de una secuencia finita de oraciones del lenguaje en cuyo punto de partida están las oraciones de K y cuyo último eslabón es S. Esa afirmación describe el proceso inferencial. Ejemplo : {p s, s} p 1. p s 2. s 3. pSup 4. s p K S es una afirmación metalingüística universal (no es existencial) comprometida con un vínculo entre K y S sin hablar de ninguna secuencia alguna que pueda reproducir un proceso de prueba. Son el control de calidad de esos procesos. Ejemplo {p s, s} p Modelo tal que, V ({p s, s}) sea 1 y la V ( p) sea 0 No hay un modo de interpretar las variables tal que V ({p s, s}) sea 1 y la V ( p) sea 0

13 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (K) Aproximaciones definicionales S es una consecuencia lógica de K sss 1.- Modalidad: - No es posible que K sea verdadera y S falsa - Es imposible que K sea verdadera y S falsa - En todo mundo posible donde K es verdadera, S también es verdadera Sea un modelo, en el cual W es un conjunto de mundos w y V un conjunto de valores veritativos, nominalmente {T, F}. S es una consecuencia lógica de K sii Es imposible que K sea verdadera y S falsa. Para todo w tal que V(K) en w = T, V(S) en w = T

14 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales 3.- Reglas: - Hay una prueba que va de K a S, compuesta por eslabones legítimos producto de la aplicación de reglas de inferencia. - K garantiza S sólo en virtud de las reglas de inferencia que regulan el uso de las constantes lógicas que figuran en K y en S. - { K y ¬ S } es un conjunto inconsistente. Carnap (Logical Syntax of Language, 1934): (a) It is impossible by the aid of simple methods to frame a definition for the term consequence in its full comprehension. Such a definition has never yet been achieved in modern logic (nor, of course, in the older logic). (p. 27) (b) [X] is called a consequence of [K] in language II [i.e. classical mathematics] if [K {¬X}] is contradictory. (p. 117) o Un conjunto es consistente sss { } o Un conjunto inconsistente no tiene modelo.

15 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales 4.- Interpretación - Para todo modo de interpretar K y O de forma que todas las oraciones que componen K sean verdaderas, también hace verdadera a O. - Preservación de la verdad para todo modo de interpretar.

16 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales 5.- Sustitución: - No hay una sustitución uniforme de todos las expresiones no lógicas que figuren en K y en S de manera tal que K sea verdadera y S falsa. o Brentano Suppose there is just a single idea in [a proposition] which can be arbitrarily varied without disturbing its truth or falsity, i.e., … all the propositions produced by substituting for this idea any other idea … are either true altogether or false altogether, presupposing only that they have [meaning]. […] I permit myself, then, to call propositions of this kind, borrowing an expression from Kant, analytic. (§ 148) Among the definitions of [the concept of deducibility] … one of the best is that of Aristotle: a syllogism is a discourse in which, certain things being stated, something other than what is stated follows of necessity from their being so. Since there can be no doubt that Aristotle assumed that the relation of deducibility can hold between false propositions, the follows of necessity can hardly be interpreted in any other way than this: that the conclusion becomes true whenever the premises are true. Now it is obvious that we cannot say of one and the same class of propositions that one of them becomes true whenever the others are true, unless we envisage some of their parts as variable. For propositions none of whose parts change are not sometimes true and sometimes false; they are always one or the other. Hence when it was said of certain propositions that one of them becomes true as soon as the others do, the actual reference was not to these propositions themselves, but to a relation which holds between the infinitely many propositions which can be generated from them, if certain of their ideas are replaced by arbitrarily chosen other ideas. (Wissenschaftslehre § 155 note 1)

17 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales 6. Modelo - Para todo modelo en el que K es verdadera, O también es verdadera. Tarski The sentence X follows logically from the sentences of the class K if and only if every model of the class K is also a model of the sentence X. It is not difficult to reconcile the proposed definition with that of Carnap. For we can agree to call a class of sentences contradictory if it possesses no model.

18 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Cuatro objeciones de Etchemendy 1.- Objeciones relacionadas con las diferencias entre el enfoque tarskiano y el modelo teórico acerca de la noción de consecuencia lógica. (a) Hay ventajas en el enfoque modelo teórico respecto del tarskiano. (b) No se puede asimilar el enfoque tarskiano al enfoque modelo teórico, ya que son incompatibles.

19 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Cuatro objeciones de Etchemendy 2.- El enfoque tarskiano tiene contraejemplos Cuando uno compara la extensión del concepto intuitivo de consecuencia lógica con la del concepto de consecuencia tarskiano, encuentra que esas extensiones difieren: hay casos que resultan ser casos de consecuencia intuitiva que en el enfoque tarskiano no resultan serlo y casos que resultan ser casos de consecuencia tarskiana que no lo son desde el punto de vista intuitivo.

20 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales 3.- Tarski comete una falacia modal cuando argumenta que su explicación captura el concepto intuitivo de consecuencia lógica, y por eso oscureció una debilidad esencial de la explicación Lo que Tarski tiene que hacer para justificar su definición es probar: (A) Si X es una consecuencia tarskiana de K, ent necesariamente (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) Etchemendy reconstruye la prueba con la que Tarski probaría que su concepto captura el componente modal como sigue: Supongamos (i) X es una consecuencia lógica tarskiana de K (ii) No es cierto que (Si toda todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) O lo que es equivalente: todas las oraciones de K son actualmente verdaderas y X es actualmente falsa Estas suposiciones son contradictorias: (i) dice que X es verdadera en todo modelo en el cual todas las oraciones que integran K son verdaderas, pero (ii) dice que hay un modelo, nominalmente, uno que está representando el mundo actual todas las oraciones de K son verdaderas y X es falsa

21 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Sin embargo, Etchemendy señala que lo que una prueba con esta estructura es (B) Necesariamente (Si X es una consecuencia tarskiana de K, entonces (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) Pero, (B) no implica (A) (A) Si X es una consecuencia tarskiana de K, ent necesariamente (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera)

22 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales In palabras de Etchemendy: To show that all Tarskian consequences are consequences in the ordinary sense, we would need to prove a theorem with embedded modality.... Obviously, the proof in question does not show that every Tarskian consequence is a consequence in the ordinary sense. It is only through an illicit shift in the position of the modality that we can imagine ourselves demonstrating of any Tarskian consequence that it is entailed by [i.e., follows with necessity from] the corresponding set of sentences. De Nec (p implica q) no se sigue que p implica Nec q)

23 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Cuatro objeciones de Etchemendy 4.- El enfoque de Tarski depende de que haya una distinción esencial entre términos lógicos y no lógicos, pero hay lenguajes muy sencillos en los cuales ninguna distinción de este tipo puede ser realizada.


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