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Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Profesores Eduardo Alejandro Barrio y Javier Castro Albano 1er cuatrimestre de 2008 Facultad.

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2 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Profesores Eduardo Alejandro Barrio y Javier Castro Albano 1er cuatrimestre de 2008 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

3 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden La gran capacidad expresiva de los lenguajes de segundo orden se debe a la riqueza de los dominios de cuantificación. Hay incontables propiedades de objetos. (Modelos estándar) Si las variables de segundo orden toman como valores todos los subconjuntos de un dominio infinito numerable, podemos hablar acerca de las características propias de los números reales. Todo subconjunto expresa lo mismo que Toda relación Hay más valores posibles de las variables de segundo orden que subconjuntos que podamos describir, ya que hay un número contable de expresiones en L Sabemos reconocer un subconjunto de A, si nos es dado (si está descrito) Pero, ¿Qué conjuntos hay en P(A)? El conjunto de todas las propiedades (todo subconjunto del universo de discurso D).

4 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Modelo Estándar de Segundo Orden: - Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una interpretación a las oraciones de un lenguaje., V M > - Las propiedades deben interpretarse como subconjuntos del dominio. -Las variables de segundo orden X, Y, ranguean sobre el conjunto de todos los subconjuntos de D (El conjunto potencia de D). -Sea A = 1,2. Pot (A) = Ø, 1, 2, 1,2

5 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Teorema de Cantor: P(N) es un conjunto infinito y de un tamaño distinto a N. - es infinito, ya que a cada número natural le corresponde el conjunto que tiene a ese número natural como único elemento. - es de tamaño distinto, ya siempre se puede encontrar un subconjunto de N que no esté contemplado en una supuesta correspondencia … El set de todos los naturalessisisisisisi El set vacíonononononono El set de los paresnonosinosino El set de los imparesnosinosinosi El set de los primosnonosisinosi El set de los cuadradossisinonosino El set de los cubossisinononono …….

6 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Teorema de Cantor: P(N) es un conjunto infinito y de un tamaño distinto a N. - es infinito, ya que a cada número natural le corresponde el conjunto que tiene a ese número natural como único elemento. - es de tamaño distinto, ya siempre se puede encontrar un subconjunto de N que no esté contemplado en una supuesta correspondencia … El set de todos los naturalesnosisisisisi El set vacíonosinononono El set de los paresnonononosino El set de los imparesnosinononosi El set de los primosnonosisisisi El set de los cuadradossisinonosisi El set de los cubossisinononono …….

7 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden - La función g asigna el subconjunto C a la variable X. -El rango de las n-variables de segundo orden es POT(D n ) Hay una cantidad no numerable de asignaciones a las variables de segundo orden. V Mg = V Mg ( ) : Función que asigna valores veritativos dependiendo de las asignaciones g a las oraciones de L. Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el dominio D, entonces V Mg se define recursivamente como sigue: (i´) [[XT)]] Mg = 1 sss < [[ T ]] Mg g (X) (i´´)[[A n (T 1,..., T n )]] M = 1 sss [[A n ]] M (vi´) [[ X ]] Mg = 1 sss [[ [X/E] ]] Mg = 1, para todo subconjunto E D. (vii´) [[ X ]] Mg = 1 sss [[ [X/E] ]] Mg = 1, para algún subconjunto E D.

8 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Modelo Henkin de Segundo Orden: Un modelo es una estructura conjuntista que sirve para asignar una interpretación a las oraciones de un lenguaje. M H, V M > D es un dominio e I una función de interpretación Para cada n, d(n) es un subconjunto no vacío del conjunto potencia de d n. -La función g asigna el subconjunto C a la variable X. -I (P n ) es un subconjunto de (POT(D n )) V M : Función que asigna valores veritativos a las oraciones de L Si M es un modelo para L cuya función de interpretación I es una función de las constantes de L sobre el dominio D, entonces V M se define como sigue (i´) [[XT)]] Mg = 1 sss < [[ T ]] Mg g (X) (i´´)[[A n (T 1,..., T n )]] M = 1 sss [[A n ]] M (vi´) [[ X ]] Mg = 1 sss [[ [X/E] ]] Mg = 1, para todo E D. (vii´) [[ X ]] Mg = 1 sss [[ [X/E] ]] Mg = 1, para algún E D.

9 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Modelo Henkin de Segundo Orden: La carácterística principal de la semántica de Henkin es que en un modelo dado, las variables de segundo orden ranguean sobre una colección fija de subconjuntos del D. Los que distingue la semántica estándar de la de Henkin en cada cláusula es el rango de la expresión para todo… y para algún. En un modelo de Henkin, no se consideran todos los subconjuntos de D. Full Models: es un modelo Henkin en el cual para cada n, D(n) es el conjunto potencia de D n. Hay una familia de modelos Henkin (tantas como restricciones podamos definir). Una es universalmente válida Henkin si V M asigna 1 a para todo modelo Henkin. Los modelos estándar son una restricción a los modelos de Henkin.

10 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Modelo Multisorted de Segundo Orden: La carácterística principal de la semántica de multivaluada es que cada modelo consiste de dominios separados, quizás no relacionados, para cada tipo de variable. Esto es, cada tipo de variable (todas ellas de primer orden) tiene su universo de discurso. Cada modelo determina una relación de predicación Las variables de predicado X, Y, Z se transforman en x, y, z y se introduce una relación de aplicabilidad. y x signfica que y es aplicable a x. Todas las fórmulas de la forma Xt pueden transformarse en t x. Para la parte de la semántica que puede expresarse mediante esta relación de aplicabilidad, la teoría es completa. x Mx (Tx) x (Mx Tx) Modelo de primer orden multisorted, V M >

11 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden A.- Conceptos Plurales Some critics admire only one another Algunos críticos sólo se admiran entre sí X ( x Xx x y ((Xx Axy) (x y Xy)) it Is supposed to mean that there is a collection of critics, each of whose members admires no one not in the collection, and none of whose members admire himself. Se supone que significa que hay un grupo de críticos, cada uno de los cuales solamente admira a quien esté en ese grupo y ninguno de los cuales se admira a si mismo. Hay críticos, cada uno de los cuales admira a quien sea uno de ellos y ninguno de los cuales se admira a si mismo.

12 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Argumento semántico de Williamson (1) x (i F es una interpretación bajo la cual P se aplica a x ssi Fx) (2) x (Rx ssi x no es una interpretación bajo la cual P se aplica a x ) (3) x (i R es una interpretación bajo la cual P se aplica a x ssi x no es una interpretación bajo la cual P se aplica a x) (4) i R es una interpretación bajo la cual P se aplica i R ssi i R no es una interpretación bajo la cual P se aplica i R. (1s) I x (I F es una interpretación bajo la cual P se aplica a x ssi Fx) (1p) ii x (ii F son una interpretación bajo la cual P se aplica a x ssi Fx)

13 Seminario: Expresividad semántica y lógica de segundo orden Salidas al argumento Hay mas modos de interpretar predicados que objetos. Ya que hay tantos objetos como números naturales, sólo una teoría de segundo orden con modelos estándar puede ser exhaustiva respecto de los modos de interpretar predicados. No hay manera de usar un cuantificador de primer orden que permita expresar todos los modos de interpretar predicados. Usar lógica de orden superior para rechazar que las interpretaciones son objetos en el rango de los cuantificadores de primer orden. Si las interpretaciones no fueran objetos, no podríamos usar cuantificadores de primer orden para hablar acerca de ellas. Sea I una variable de segundo orden. Bajo I un predicado del lenguaje objeto P se aplica a un objeto x ssi I P, x. La definición del predicado russelliano R debe rechazarse sobre el fundamento de que confunde variables de primer y segundo orden.


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