BINOMIO DE NEWTON NÚMEROS COMBINATORIOS

Presentación del tema: "BINOMIO DE NEWTON NÚMEROS COMBINATORIOS"— Transcripción de la presentación:

1 BINOMIO DE NEWTON NÚMEROS COMBINATORIOS

2 NÚMEROS COMBINATORIOS
Dados dos números naturales, m y n, donde m ≥ n , se denomina número combinatorio y se lee “combinaciones de m en n” a: Se determina que: 1! = 1 y 0! = 1 PROPIEDADES

3 NÚMEROS COMBINATORIOS

4 NÚMEROS COMBINATORIOS

5 BINOMIO DE NEWTON Observar las potencias: Fijarse en los coeficientes:
(a+b) = 1 (a+b) = a + b (a+b) = a + 2.a.b + b (a+b) = a + 3.a .b + 3.a.b + b (a+b) = a + 4.a . b + 6.a . b a. b + b . . . Forman un triángulo llamado: Triángulo de Pascal

6 PROPIEDADES Sea el desarrollo siguiente :
(x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x C4,4 . 81 PROPIEDADES 1.- El número de sumandos o términos del desarrollo siempre es igual al número del exponente más uno. 2.- Los coeficientes numéricos forman siempre un triángulo, donde un coeficiente cualquiera es siempre igual a la suma de los dos coeficientes que están por encima de él. 3.- El grado de todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo e igual al exponente del binomio. 4.- El grado del primer término del binomio, de ‘a’, va disminuyendo desde el valor del exponente hasta cero.

7 Sea el desarrollo siguiente :
(x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x C4,4 . 81 PROPIEDADES 5.- El grado del segundo término del binomio, de ‘b’, va aumentando desde cero hasta el valor del exponente. 6.- La suma de los grados de ‘a’ y de ‘b’ , en todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo e igual al exponente del binomio. 7.- Si el binomio es una resta en lugar de una suma, los términos de lugar par del desarrollo serán de signo negativo. 8.- Los coeficientes numéricos presentan siempre simetría. Son todos ellos combinaciones sin repetición: C m,n (donde ‘m’ es el exponente del binomio y ‘n’ varía de 0 a ‘m’)

8 EJEMPLOS: (x + 2)5 = C5,0 .x5 + C5,1 .x C5,2 .x C5,3 .x C5,4 .x C5,5 . 32 (x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x C4,4 . 81 (4 – x)5 = C5, – C5, x + C5, x2 – C5, x3 + C5, x4 – C5,5 . x5 (x + 1)17 = C17,0 .x17 + C17,1 .x16 + C17,2 .x15 + …. + C17,16 .x + C17,17 (x + 3) = C5000,0 .x C5000,1 .x C5000,2 .x … + C5000, (– 2.x – 3)9 = C9,0 .(- 2x)9 + C9,1 .(- 2x)8 .(- 3) + C9,2 .(- 2x)3 .(- 3)2 +…. + C9,9 .(- 3)9

9 EXPRESIÓN FORMAL DEL BINOMIO DE NEWTON
m m m m k k m-k m m (a+b) = C .a + C .a b + C . a b C . a . b C . b m m m m m Ejemplo 1: Hallar el término que ocupa el 6° lugar en el desarrollo de : (3 – x) Tendrá 9 términos su desarrollo ( ), pero sólo nos piden el 6º término. Seguimos desarrollando el Triángulo de Pascal hasta la 9ª fila, obteniendo: tomamos el 56 Igualmente podíamos haber hecho C8,6-1 = C8,5 = 56 Como ocupa lugar par y el binomio es una resta, pondremos -56 al coeficiente. Ahora, en nuestro ejemplo: a = 3 y b = x Finalmente, aplicando las restantes propiedades : (3-x) = x

10 Ejemplo 2: Hallar el término que ocupa el 8° lugar en el desarrollo de : (x + 2) Tendrá 12 términos su desarrollo ( ), pero sólo nos piden el 8º término. C11,8-1 = C10,7 = 10! / 7!.3! = /6 = 15.8=120 Finalmente queda: (x+2) = x = x Ejemplo 3: Hallar el término que ocupa el 3° lugar en el desarrollo de : (x - 5) Tendrá 28 términos su desarrollo ( ), pero sólo nos piden el 3º término. C27,3-1 = C27,2 = 27! / 2!.25! = 27.26/2 = 351 Finalmente: (x – 5) = ... – 351. x = … – 8775.x + …