Matemática Aplicada I Alberto Márquez Envolvente convexa Tema 5.

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Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 P6: Propiedades físicas de materiales Dado una serie de compuestos tratar de determinar cuál serán las propiedades físicas de sus mezclas.

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Envolvente convexa Dada una serie de puntos encontrar el menor convexo que los contiene

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Entre muchos aviones en una pantalla encontrar los dos más cercanos puntos en el plano El par más cercano Entre muchos linces en un terreno encontrar el más cercano a cada cual puntos en el plano Todos los pares más cercanos Conectar n puntos de tal forma que la longitud de la red sea mínima Árbol recubridor (generador) mínimo Vecino más cercano Dado un conjunto de puntos S y un nuevo punto q, encontrar el elemento de S más cercano a q. Entre todas las triangulaciones encontrar la más equilátera posible Triangulación equilátera Envolvente convexa Dada una serie de puntos encontrar el menor convexo que los contiene O(n 2 ) Fuerza bruta O(n 2 ) O(2 n ) ? O(n) ? Diagrama de Voronoi O(n) O(log n) O(n) Entre muchos puntos en el plano encontrar los dos más alejados El par más alejado

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Dado un conjunto finito de puntos en el plano P = {p1,...,pn} (con n mayor o igual que dos), definimos su envolvente convexa (o cierre convexo, convex hull en inglés) (denotada CH(P)) como el menor convexo que lo contiene. Lema 5.1: La intersección de conjuntos convexos es siempre un conjunto convexo. Lema 5.2: La envolvente convexa de un conjunto P coincide con la intersección de todos los convexos que contienen al conjunto P.

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Quickhull

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Quickhull: O(n 2 )

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Marcha de Jarvis

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Marcha de Jarvis O(n)·n = O(n 2 )

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera.

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto.

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto. L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto.L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto.L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 I M F

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto.L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 I M F

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto.L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=I M=F F=anterior(F) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 I M F

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Scan de Graham 1.- Escogemos un punto cualquiera. 2.- Ordenamos los demás puntos angularmente con respecto a dicho punto.L 3.- A los tres primeros puntos les ponemos las etiquetas I M F 4.- Si el ángulo IMF es positivo I=siguiente(I) M=siguiente(M) F=siguiente(F) Si IMF es negativo: borramos M de L I=I M=F F=anterior(F) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 I M F O(n) Teorema: El Scan de Graham computa la envolvente convexa de n puntos en un tiempo óptimo O(n log n).

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Entre muchos puntos en el plano encontrar los dos más alejados El par más alejado Lema: El diámetro de una nube de puntos coincide con el diámetro de sus puntos extremos.

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Puntos antipodales Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior Lema: El diámetro de una nube de puntos coincide con la distancia entre su par antipodal punto-punto más lejano.

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 La distancia más corta entre paralelas que contienen a toda la nube en su interior se llama anchura. Lema: La anchura equivale al cálculo de la recta centro. Recta centro

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 La distancia más corta entre paralelas que contienen a toda la nube en su interior se llama anchura. Lema: La anchura de una nube de puntos la determina un par antipodal arista-punto de su envolvente convexa.

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Antipodales

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 No antipodales

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 La distancia más corta entre paralelas que contienen a toda la nube en su interior se llama anchura. Lema: La anchura de una nube de puntos la determina un par antipodal arista-punto de su envolvente convexa.

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 La distancia más corta entre paralelas que contienen a toda la nube en su interior se llama anchura. Lema: La anchura de una nube de puntos la determina un par antipodal arista-punto de su envolvente convexa. Lema: Es posible determinar todos los pares antipodales arista-punto de un polígono convexo en tiempo lineal. Teorema: Es posible determinar la anchura de un conjunto en tiempo lineal a partir de su envolvente convexa.

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Un par de puntos se llaman antipodales si por ellos pasan paralelas que contienen a toda la nube en su interior Lema: El diámetro de una nube de puntos coincide con la distancia entre su par antipodal punto-punto más lejano.

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Los vértices antipodales a un vértice v dado son todos aquellos comprendidos entre los vértices antipodales a las dos aristas incidentes en v

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Los vértices antipodales a un vértice v dado son todos aquellos comprendidos entre los vértices antipodales a las dos aristas incidentes en v Corolario 5.1: Todos los pares antipodales vértice-vértice pueden ser calculados en tiempo lineal una vez conocida la envolvente convexa. Teorema: El diámetro de un conjunto pueden ser calculados en tiempo lineal una vez conocida la envolvente convexa.

Matemática Aplicada I Alberto Márquez http://ma1.eii.us.es/miembros/almar Envolvente convexa Tema 5 Problemas 1.- Probar que dado un conjunto de puntos en el plano, se puede encontrar en tiempo O(n log n) un polígono que tenga a dicho conjunto como sus vértices. 2.- Sea P un polígono monótono (existe una recta tal que toda perpendicular a dicha recta a lo más corta en dos puntos al polígono). Diseñar un algoritmo que calcule su envolvente convexa en tiempo lineal. 3.- Dos conjuntos de puntos A y B se dicen que son linealmente separables si existe una recta r que los deja a cada uno en uno de los dos semiplanos que la recta define (a cada conjunto en un semiplano distinto). a) Demostrar que dos conjuntos son linealmente separables si y sólo si lo son sus envolventes. b) Demostrar que dos convexos son linealmente separables si y sólo si son disjuntos. c) Diseñar un algoritmo que decida cuando dos conjuntos son linealmente separables. 4.- Probar que todo polígono convexo tiene cuatro vértices N, S, E, O (que pueden coincidir entre ellos) y cuatro cadenas monótonas entre ellos que son de N a W descendente hacia la izquierda, de W a S descendente hacia la derecha, de S a E ascendente hacia la derecha y de E a N ascendente hacia la izquierda. 5.- Un polígono se dice ortogonal si todas sus aristas son o vérticales y horizontales. Y un polígono ortogonal se dice ortogonalmente convexo si el interior de cada línea horizontal en el polígono es un segmento. a) Encontrar una caracterización similar a la del problema 4 para polígonos ortogonales ortogonalmente convexos. b) Diseñar un algoritmo que decida cuando un polígono ortogonal es ortogonalmente convexo. c) Diseñar un algoritmo que encuentro el menor polígono ortogonalmente convexo que contiene a un polígono ortogonal dado.

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