Sección 5.2 Problemas en Flujo Bidimensional

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1 Sección 5.2 Problemas en Flujo Bidimensional
Teoría de Flujo Subterráneo Semestre Alberto Rosas Medina

2 En esta sección se consideran las soluciones analíticas en 2 dimensiones. Mientras que el análisis matemático nos permite escribir soluciones bastante generales para flujo multidimensional. La discusión empieza con líneas de flujo y líneas equipotenciales y se presentan condiciones bajo las cuales este conjunto de líneas son ortogonales a otras. Esto es usado como una base para la construcción de soluciones gráficas. Entonces se considera una solución analítica especifica para un problema bidimensional definido sobre una sección vertical cruzada correspondiente a una pendiente del cerro, identificando patrones de recarga y descarga y desarrollando una simple pero bastante general panorama de flujo dinámico subterráneo y su relación con la superficie hidrológica.

3 Finalmente se considera extensiones a sistemas más complejos que incluyen ciertos campos de heterogeneidad Soluciones Gráficas El método de solución gráfica está basado sobre la observación que las líneas de flujo son perpendiculares a las líneas equipotenciales Definición 1. streamline: Es una curva en el espacio que es tangente casi donde quiera al vector de flujo volumétrico . En un estado de equilibrio, un streamline traza la trayectoria de una partícula moviéndose en el campo de flujo.

4 El campo de flujo está dado por los gradientes en carga hidráulica dados por la ley de Darcy.
Cuando el material es isotrópico la conductividad hidráulica es un único número. Así en un medio isotrópico el vector de flujo está en la misma dirección que el gradiente

5 Cuando el material es anisotrópico, la situación no es simple por que el mapeo entre y envuelve una matriz con valores de conductividad hidráulica y por lo tanto los valores de y son generalmente no colineales Por ahora se asume isotropía, así estamos asegurando que y tienen la misma dirección. Por lo tanto podemos decir que streamlines sigue la dirección de por que esta dirección es la misma que , la cual sirve para definir los streamlines. Definición 2. Líneas equipotenciales: son líneas por las cuales el potencial o carga hidráulica es constante.

6 Decimos desde geometría analítica que por definición, el gradiente de cualquier función tiene una dirección que es perpendicular a líneas de valores constantes de la función. Por lo tanto el gradiente de carga hidráulica debe ser perpendicular a las líneas de carga hidráulica constante, lo cual significa que streamlines deben ser perpendiculares a las líneas equipotenciales en un medio isotrópico. De esta observación podemos graficar el flujo de líneas basado en la relación de ortogonalidad entre líneas equipotenciales y líneas de flujo.

7 Red de Flujo Clásicas En el campo de mecánica sólida y fundación de ingeniería, uno esta con frecuencia interesado en flujo a través o alrededor de estructuras de ingeniería que envuelve la subsuperficie y agua subterránea o quizás construcción de diques por encima de la tierra que crea un nuevo medio poroso (e.g. un dique de tierra) con posibilidades de flujo asociado a través del objeto. Como un ejemplo, considere la situación mostrada en la figura 5.7, donde la expansión de material impermeable es introducida dentro de la tierra que sirve como un dique.

8 El charco de agua sobre el lado izquierdo del dique (detrás del dique) y flujos lejos (fuera alejándose) sobre el lado derecho. Podemos representar el flujo en este sistema por uso del principio de ortogonalidad, dado que podemos identificar fronteras apropiadas por que tanto la carga hidráulica es constante (una línea equipotencial) o no existe flujo en la dirección normal a la frontera, (en tal caso la frontera corresponde a streamline).

9 Esquema de un dique

10 En la figura 5.8, las líneas etiquetadas A-B y E-F-G-H-I-J son líneas a través de las cuales no ocurre flujo. Por que el vector de flujo no tiene componente en la dirección normal a la línea, y la única componente no cero puede ser en la dirección tangente a la línea. Por lo tanto, por definición de un streamline, las líneas A-B y E-F-G-H-I-J son streamlines. Las líneas etiquetadas D-F y I-C son líneas de igual carga hidráulica, con la carga por D-F es igual a HL y la carga por I-C es igual a HR. Así cualquier representación del sistema de flujo a través del medio poroso debe incluir equipotenciales por D-F y I-C, y streamlines por A-B y E-F-G-H-I-J.

11 Esquema de un dique con líneas de frontera etiquetadas
G H Esquema de un dique con líneas de frontera etiquetadas

12 Con esta información, y los requisitos del conjunto de streamlines y equipotenciales debe ser mutuamente ortogonales, podemos construir un conjunto de tales líneas. Una representación es la figura siguiente. Líneas streamlines y equipotenciales para el problema (embalse represa dique)

13 Mientras el número de equipotenciales y streamlines, y sus espacios, pueden ser elegidos arbitrariamente (restringido únicamente por los requisitos de ortogonalidad), esto es con frecuencia útil para seguir una manera más sistemática para construcción de estas líneas. En particular con frecuencia intentamos graficar líneas y del flujo que ocurre entre cualesquiera dos streamlines adyacentes es el mismo, y la carga descendiente entre cualesquiera dos líneas equipotenciales es el mismo.

14 Un mapa hidrológico se refiere a una representación grafica de flujo subterráneo basado sobre líneas equipotenciales y streamlines aplicadas a un acuífero dentro del cual el promedio vertical ha sido aplicado (sección para adicional discusión de este tópico). Por lo tanto el mapa representa la carga hidráulica y el flujo volumétrico en el plano (x,y) en donde el flujo dentro del acuífero es asumido para ser esencialmente horizontal. Para materiales homogéneos e isotrópicos, el principio de ortogonalidad puede ser aplicado. Por lo tanto streamlines pueden ser esquematizadas (dibujadas) basadas sobre conocimientos de líneas equipotenciales. La aplicación práctica de este campo de mapas tiene soporte (depende) sobre la observación de mediciones de niveles de agua en pozos son directamente medidos de carga hidráulica sobre la longitud de el pozo de investigación.

15 Y para pozos investigados dentro del mismo acuífero, las mediciones del nivel de agua entonces proporcionan puntos de medidas carga hidráulica. Mapas topográficos basados sobre esta medición de pozos entonces proporciona líneas equipotenciales, por que por definición una línea de nivel es una línea por la cual el valor de la variable siendo contoured es constante. Cuando la variable es la carga hidráulica, el contorno son líneas equipotenciales. Una vez que estas líneas son graficadas, streamlines pueden ser construidas usando el principio de ortogonalidad. Un ejemplo de tal mapa es proporcionado por la fig. 5.10, donde las mediciones del nivel del agua en las inmediaciones (alrededor) de dos pozos de bombeo son contoured, y desde estos contours direcciones de flujo son inferidas y graficadas.

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17 Supongamos un sistema bidimensional (x,y) y las principales direcciones de la conductividad hidráulica alineadas con los ejes coordenadas, así que en el sistema coordenado (x,y) la matriz de conductividad hidráulica está dada por

18 Considerando la dirección resultante de flujo cuando el gradiente de carga hidráulica está alineado en el ángulo α desde el eje x.

19 Donde denota la magnitud del vector .
Las ecuaciones gobernantes de flujo derivado de la ley de Darcy:

20 El ángulo en el cual fluye el agua está dado por β, y se define como
Cuando el material es isotrópico entonces Lo cual significa que

21 Sin embargo, cuando el vector de flujo no está alineada con el vector gradiente de carga excepto cuando el gradiente pasa alineado con las direcciones principales de la conductividad hidráulica. Dado que se considera un sistema anisotrópico se define un nuevo sistema coordenado, en el cual el vector de flujo y el gradiente de carga están alineados.

22 El nuevo sistema coordenado se obtiene
Entonces el vector de flujo están dados por

23 Por lo tanto el cálculo de la dirección de flujo muestra que el flujo está en la nueva dirección del gradiente de carga definido en el nuevo sistema coordenado, así en el espacio transformado, las direcciones de flujo pueden ser determinados desde el análisis de red de flujo.

24 Material interfaz y ley tangente
Heterogeneidad de materiales, propiedades tales como conductividad hidráulica significa que el valor de la propiedad cambia con la localización en el espacio. La línea o superficie cruzada con la cual la propiedad cambia es llamado material interfaz. En un sistema de agua subterránea saturado, el movimiento a través de un material interfaz obedece a dos reglas fundamentales.

25 1. Continuidad de la carga hidráulica
2. Continuidad de flujo normal Ambos en el sentido matemático. La primera regla sigue el hecho que una carga hidráulica discontinua implica un flujo infinito para cualquier conductividad hidráulica finita (Ley de Darcy) lo cual físicamente es imposible. La segunda regla se sigue desde el argumento de balance de masas: cualquier masa entrante en la interfaz, debe emerger del otro lado, porque la interfaz no puede almacenar masa (tiene volumen cero).

26 Construcción de redes de flujo y mapas hidrológicos cuando el dominio de interés está compuesto de regiones de materiales homogéneos, separados por una interfaz A-A´ De un lado, el material i, con carga hidráulica hi, conductividad hidráulica Ki ,vector de flujo volumétrico qi. i=1,2. La dirección normal a la interfaz denotada por n y la dirección por la interfaz como s.

27 La continuidad de la carga hidráulica implica que
Es decir es la misma por ambos lados de la interfaz. De la ley de Darcy se tiene Por lo tanto Si relacionamos los ángulos y usando la tangente

28 La última ecuación nos dice que el cambio de ángulo del vector de flujo a través del material interfaz es gobernado por el contraste de permeabilidad a través de la interfaz. En particular si , entonces por lo tanto el vector en el material más permeable tiene una dirección cerrada paralela a la interfaz, mientras que en el material menos permeable está cerrado a la dirección normal.

29 Leyes tangentes 1.Provee una metodología para la construcción de redes de flujo en material heterogéneo, donde la heterogeneidad envuelve regiones simples homogéneas separadas por un material interfaz. La segunda consecuencia es que envuelve flujos en sistemas acuífero-acuitardo estratificado.

30 Por que por definición los acuíferos tienen permeabilidad mucho más grande que la permeabilidad en un acuitardo, líneas de flujo en las inmediaciones de la frontera acuífero-acuitardo debe ser cerrado a paralelo a la interfaz en el acuífero y cerrado a la dirección normal en el acuitardo. Para estratos que son esencialmente horizontales, esta significa que el flujo en el acuífero será esencialmente horizontal y el flujo en el acuitardo será vertical. Por lo tanto la ley tangente sostiene la suposición de flujo esencialmente horizontal en acuíferos y flujo vertical en acuitardos.

31 5.2.2 Soluciones Analíticas en 2 Dimensiones
Las soluciones analíticas de problemas de flujo subterráneo en más de una dimensión tienen más complicaciones que las ecuaciones diferenciales ordinarias. En general, las soluciones analíticas pueden ser únicamente derivadas para ecuaciones lineales con coeficientes constantes definida sobre un dominio cuyas fronteras son paralelas a los ejes coordenados.

32 Flujo subterráneo en pequeñas cuencas hidrográficas
Veamos la siguiente figura

33 Con estas condiciones impuestas, la ecuación de flujo subterráneo para estado de equilibrio para acuífero homogéneo e isotrópico provee una descripción matemática del problema, la ecuación no puede ser resuelta por que la localización de el nivel freático no es paralelo a los ejes coordenados. Se puede obtener la solución si suponemos entonces el problema se traduce en

34 Esta ecuación puede ser solucionada analíticamente, obteniendo una solución
en series infinitas envolviendo funciones trigonométricas.

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36 1. Nótese que la solución es representada por líneas de flujo y que las líneas de flujo están únicamente graficadas dentro del dominio donde la solución es realmente obtenida, esto es en 2. Podemos identificar áreas de recarga y descarga. Recarga: Es un área en lo alto de el dominio (en 2-D) esto es realmente una línea de recarga, por que el “área” envuelve la dirección y La carga hidráulica decrece con profundidad Descarga: Es un área para la cual la carga hidráulica incrementa con profundidad. 3. Se identifican tres zonas generales sobre la figura, las cuales son denotadas como: sistemas de flujo local, sistemas de flujo intermedio y sistemas de flujo regional.

37 Sistema de flujo regional: Tiene su área de recarga en una topografía local (senoidal) alta, y su área de descarga en la topografía adyacente inferior. Sistema de flujo intermedio: Tiene sus áreas de carga y descarga separadas por una o más topografías pero estas no abarcan la longitud entera de la pendiente de la colina Sistema de flujo regional: Es un sistema cuya área de recarga incluye el agua divisor y su área de descarga incluye el valle bottom

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