ALGEBRA COMPUTACIONAL INTEGRANTES:  ALVARO BUSTOS  DAFNE IBAÑEZ  RICARDO REYES.

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1 ALGEBRA COMPUTACIONAL INTEGRANTES:  ALVARO BUSTOS  DAFNE IBAÑEZ  RICARDO REYES

2 DISEÑO Y MODELACION ASISTIDA POR COMPUTADOR Las utilidades de los sistemas de CAD/CAM como medio para aumentar la eficacia del proceso de diseño hoy en día no tienen competencia. Ventajas como - reducción de tiempo, - mejoras de calidad y - reducción de costos son a menudo citadas como los mayores beneficios del resultado de la introducción de software especializado para el CAD/CAM

3 DISEÑO Y MODELACION ASISTIDA POR COMPUTADOR Desde un punto de vista matemático casi todos los problemas de DAC/MAC están relacionados con la manipulación de objetos geométricos. Desde un punto de vista matemático casi todos los problemas de DAC/MAC están relacionados con la manipulación de objetos geométricos. Estas entidades geométricas usualmente se presentan a través de polinomios implícitos o en forma paramétrica. Estas entidades geométricas usualmente se presentan a través de polinomios implícitos o en forma paramétrica.

4 DISEÑO Y MODELACION ASISTIDA POR COMPUTADOR Hay cuatro clases de problemas principales considerados donde el Algebra Computacional y el DGAC son ocupados en forma conjunta:  Preguntas de implicitación (o eliminación de variable).  Intersección de curvas y superficies paramétricas.  DGAC con la aritmética exacta.  El guiado algebraico de trazas de curvas y superficies implícitamente definidas.

5 INTERSECCION DE DOS CURVAS PLANAS La intersección de dos curvas planas sin componentes comunes dadas en forma paramétrica se puede determinar calculando la ecuación implícita de la primera curva y sustituyendo la parametrización en la segunda. Luego el problema queda reducido a la resolución de una ecuación polinomial de una variable. La intersección de dos curvas planas sin componentes comunes dadas en forma paramétrica se puede determinar calculando la ecuación implícita de la primera curva y sustituyendo la parametrización en la segunda. Luego el problema queda reducido a la resolución de una ecuación polinomial de una variable. Cuando las dos curvas son dadas por sus ecuaciones implícitas f(x,y) y g(x,y) se puede determinar usando un argumento similar al anterior. Cuando las dos curvas son dadas por sus ecuaciones implícitas f(x,y) y g(x,y) se puede determinar usando un argumento similar al anterior.

6 INTERSECCION DE UNA SUPERFICIE RACIONAL Y UNA CURVA RACIONAL Si la ecuación implícita de la superficie esta disponible, el problema se reduce al calculo de las raíces reales de un polinomio de una variable. Si la ecuación implícita de la superficie esta disponible, el problema se reduce al calculo de las raíces reales de un polinomio de una variable. Este polinomio es obtenido de la sustitución de la parametrización de la curva en la ecuación implícita de la superficie. Este polinomio es obtenido de la sustitución de la parametrización de la curva en la ecuación implícita de la superficie. Si la ecuación implícita de la superficie no está disponible, entonces igualando ambas parametrizaciones el problema se reduce a resolver un sistema polinomial de 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Si la ecuación implícita de la superficie no está disponible, entonces igualando ambas parametrizaciones el problema se reduce a resolver un sistema polinomial de 3 ecuaciones y 3 incógnitas.

7 INTERSECCION DE UNA SUPERFICIE RACIONAL Y UNA CURVA RACIONAL Al usar Algebra Computacional, la única técnica usada actualmente esta basada en resultados multivariante y principalmente en la formulación de Dixon’s para eliminar dos de las incógnitas del sistema. Al usar Algebra Computacional, la única técnica usada actualmente esta basada en resultados multivariante y principalmente en la formulación de Dixon’s para eliminar dos de las incógnitas del sistema.

8 INTERSECCION DE DOS SUPERFICIES RACIONALES Esta se reduce al trazado de una curva algebraica plana implícitamente definida más un proceso de sustitución si la ecuación implícita de una de las superficies se encuentra disponible. Esta se reduce al trazado de una curva algebraica plana implícitamente definida más un proceso de sustitución si la ecuación implícita de una de las superficies se encuentra disponible. Si ninguna ecuación implícita se encuentra disponible, entonces, se tiene que resolver un sistema polinomial de 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Si ninguna ecuación implícita se encuentra disponible, entonces, se tiene que resolver un sistema polinomial de 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Si las dos superficies se presentan por su ecuación implícita, entonces el problema se reduce a resolver un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Si las dos superficies se presentan por su ecuación implícita, entonces el problema se reduce a resolver un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas.

9 DGAC CON LA ARITMETICA EXACTA Se asume que todos los objetos de entrada son conocidos exactamente y su representación involucra solo números racionales o números algebraicos exactos. Se asume que todos los objetos de entrada son conocidos exactamente y su representación involucra solo números racionales o números algebraicos exactos. En este caso todos los problemas se reducen a la resolución de un sistema polinomial de ecuaciones o a la eliminación de una o varias variables. En este caso todos los problemas se reducen a la resolución de un sistema polinomial de ecuaciones o a la eliminación de una o varias variables. Para este tipo de problemas se utilizan las bases de Grobner. Para este tipo de problemas se utilizan las bases de Grobner.

10 PROGRAMACION CIENTIFICA Nuestro objetivo es ver la importancia de la tecnología con respecto a la matemática. Ver la importancia de ciertas calculadoras que nos facilita en un segundo …. una solución del problema planteado. A continuación daremos una introducción al tema.

11 INTRODUCCION Al pasar los años vemos que la tecnología avanza entregándonos nuevas cosas que a la vez son de gran utilidad. Mientras que las calculadoras introdujeron más el cálculo numérico en la aula, los sistema de álgebra computacional permite el uso de cálculo más simbólico. El uso de Álgebra computacional en la aulas aumentan en todo el mundo, lentamente esto pasos son Institualizados.

12 INTRODUCCION Hay algo que esta claro, que las calculadoras Científicas portátiles han cambiado el plan de estudio de Matemática en la escuela secundaria y universitaria alrededor del mundo durante estos años. Hay algo que esta claro, que las calculadoras Científicas portátiles han cambiado el plan de estudio de Matemática en la escuela secundaria y universitaria alrededor del mundo durante estos años. Muchos temas eran tratados con PAPEL & LAPIZ que han sido suprimidas. Muchos temas eran tratados con PAPEL & LAPIZ que han sido suprimidas.

13 INTRODUCCION Hoy en día, hay que notar que en menos tiempo es gastado, en ciertos temas. (Ejemplos) Hoy en día, hay que notar que en menos tiempo es gastado, en ciertos temas. (Ejemplos) A continuación daremos algunos ejemplos en que ocuparemos la calculadora Científica. A continuación daremos algunos ejemplos en que ocuparemos la calculadora Científica.

14 EJEMPLO 1: POLINOMIO Sea Sea Un polinomio de grado 3. Un polinomio de grado 3. Uno puede intuir que puede tener 3 soluciones Reales ó puede pasar que tenga 1 solución real y las otras dos complejas. Uno puede intuir que puede tener 3 soluciones Reales ó puede pasar que tenga 1 solución real y las otras dos complejas. Entonces los posibles candidatos son: Entonces los posibles candidatos son:

15 EJEMPLO 1: POLINOMIO Uno podría decir ¿x= -1 es una raíz del polinomio? Uno podría decir ¿x= -1 es una raíz del polinomio? Yo a simple vista no puedo asegurar que aquel valor es el correcto. Yo a simple vista no puedo asegurar que aquel valor es el correcto. Para saber si estamos en lo correcto, no hay más que realizar la llamada División Sintética (Papel y lápiz). Para saber si estamos en lo correcto, no hay más que realizar la llamada División Sintética (Papel y lápiz). Para uno eso es algo tedioso. Para uno eso es algo tedioso. Hoy en día teniendo en cuenta la tecnología podemos utilizar ciertas calculadoras que nos facilita obtener la o las soluciones del problema planteado. Hoy en día teniendo en cuenta la tecnología podemos utilizar ciertas calculadoras que nos facilita obtener la o las soluciones del problema planteado. Las raíces del polinomio obtenido por la calculadora científica son: 1, 2, -3, lo cual satisfacen Las raíces del polinomio obtenido por la calculadora científica son: 1, 2, -3, lo cual satisfacen A continuación veremos la gráfica que nos quedaría con la calculadora científica. A continuación veremos la gráfica que nos quedaría con la calculadora científica.

16 Ejemplo 1: Polinomio

17 EJEMPLO 2: INTEGRAL DEFINIDA Hoy en día tenemos calculadoras avanzadas, el cual nos facilita tiempo para obtener soluciones y más aún una respuesta correcta. Hoy en día tenemos calculadoras avanzadas, el cual nos facilita tiempo para obtener soluciones y más aún una respuesta correcta. También se puede realizar el ejercicio con papel y lápiz, pero nadie nos garantiza que el ejercicio esté bueno … en el caso que sea un experto en integrales. También se puede realizar el ejercicio con papel y lápiz, pero nadie nos garantiza que el ejercicio esté bueno … en el caso que sea un experto en integrales.

18 EJEMPLO 3: ECUACION DIFERENCIAL ¿Cómo poder saber el conjunto solución de ? Las calculadoras nos facilitan en esto con gran ayuda … pues graficar una ecuación diferencial (En general). También se puede hacer con papel y lápiz pero es complicado, más aún cuando la ecuación es media extraña.

19 EJEMPLO 3, RESOLUCION En efecto, tenemos Tenemos Más aún, Más aún, Por comodidad, donde

20 Ejemplo 3 Por comodidad Por comodidad

21 LA EXPERIENCIA HOLANDESA

22 El álgebra computacional ha sido un tema de discusión en Holanda desde hace algunos años hasta ahora. El álgebra computacional ha sido un tema de discusión en Holanda desde hace algunos años hasta ahora. En la enseñanza secundaria superior (equivalente a nuestra enseñanza media) no existe plan de estudios alguno que determine cuánto se debe enseñar sobre este tema. En la enseñanza secundaria superior (equivalente a nuestra enseñanza media) no existe plan de estudios alguno que determine cuánto se debe enseñar sobre este tema.

23 LA EXPERIENCIA HOLANDESA El primer proyecto sobre álgebra computacional en la enseñanza secundaria comenzó en 1990 y duró 2 años. La idea principal de este proyecto era desarrollar unidades cortas de instrucción para probarlas en escuelas piloto. Pero no dio los resultados esperados, gracias a la carencia de equipamiento de las escuelas y a la dificultad de los alumnos en el manejo del computador. El primer proyecto sobre álgebra computacional en la enseñanza secundaria comenzó en 1990 y duró 2 años. La idea principal de este proyecto era desarrollar unidades cortas de instrucción para probarlas en escuelas piloto. Pero no dio los resultados esperados, gracias a la carencia de equipamiento de las escuelas y a la dificultad de los alumnos en el manejo del computador. Hacia el final de este proyecto, un grupo de profesores decidió seguir el trabajo. Se autodenominaron CAVO y existieron como grupo hasta 1998. Era una plataforma animada e importante para el desarrollo remoto y la discusión. Mientras este grupo trabajaba, irrumpió en la escena la calculadora gráfica, atrayendo enorme atención. Hacia el final de este proyecto, un grupo de profesores decidió seguir el trabajo. Se autodenominaron CAVO y existieron como grupo hasta 1998. Era una plataforma animada e importante para el desarrollo remoto y la discusión. Mientras este grupo trabajaba, irrumpió en la escena la calculadora gráfica, atrayendo enorme atención.

24 LA EXPERIENCIA HOLANDESA La aparición de la calculadora gráfica gatilló la discusión sobre si la tecnología debía ser o no usada en la enseñanza secundaria. Se decidió que la puesta en práctica de la calculadora gráfica sería el primer paso. La aparición de la calculadora gráfica gatilló la discusión sobre si la tecnología debía ser o no usada en la enseñanza secundaria. Se decidió que la puesta en práctica de la calculadora gráfica sería el primer paso. Las autoridades apoyaron un proyecto de investigación en 1992 sobre esta cuestión. Este proyecto fue realizado por el Freudenthal Institute y más tarde se convirtió en parte integrante de un proyecto más grande llamado Profi. Los resultados de éste incluyeron los textos de estudiantes que integraron el empleo de la calculadora gráfica, y los exámenes experimentales que requieren la disponibilidad de un dispositivo graficador hecho a mano. Las autoridades apoyaron un proyecto de investigación en 1992 sobre esta cuestión. Este proyecto fue realizado por el Freudenthal Institute y más tarde se convirtió en parte integrante de un proyecto más grande llamado Profi. Los resultados de éste incluyeron los textos de estudiantes que integraron el empleo de la calculadora gráfica, y los exámenes experimentales que requieren la disponibilidad de un dispositivo graficador hecho a mano.

25 LA EXPERIENCIA HOLANDESA Algunos educadores y profesores, sin embargo, se opusieron a la puesta en práctica de la calculadora gráfica. Sus argumentos eran que el álgebra computacional es una herramienta matemática mucho más sofisticada, y que una calculadora gráfica es sólo un paso temporal hacia atrás comparado con las posibilidades que los PC’s ofrecen. Sin embargo, en 1996 se reveló que los PC’s casi nunca fueron usados en las clases de matemáticas, aunque ellos estuvieran disponibles en las escuelas. Algunos educadores y profesores, sin embargo, se opusieron a la puesta en práctica de la calculadora gráfica. Sus argumentos eran que el álgebra computacional es una herramienta matemática mucho más sofisticada, y que una calculadora gráfica es sólo un paso temporal hacia atrás comparado con las posibilidades que los PC’s ofrecen. Sin embargo, en 1996 se reveló que los PC’s casi nunca fueron usados en las clases de matemáticas, aunque ellos estuvieran disponibles en las escuelas. Esto sirvió para reforzar la idea de que la verdadera puesta en práctica de tecnología requiere que el estudiante tenga el acceso directo al dispositivo. El limitado poder matemático de la calculadora gráfica no es una desventaja importante: esto permite a educadores e investigadores tener el tiempo suficiente para, con cuidado, integrar un instrumento gráfico y numérico sin necesidad enfrentarse con el álgebra de ordenador mientras tanto. Esto sirvió para reforzar la idea de que la verdadera puesta en práctica de tecnología requiere que el estudiante tenga el acceso directo al dispositivo. El limitado poder matemático de la calculadora gráfica no es una desventaja importante: esto permite a educadores e investigadores tener el tiempo suficiente para, con cuidado, integrar un instrumento gráfico y numérico sin necesidad enfrentarse con el álgebra de ordenador mientras tanto.

26 LA EXPERIENCIA HOLANDESA La opción de la calculadora gráfica puede ser una preferencia temporal de verdad. Hoy, el álgebra computacional está también disponible en un formato hecho a mano. Un primer experimento piloto que usa la calculadora TI-92 reveló que los estudiantes apreciaron esta máquina como una “calculadora algebraica”, pero no tanto como una herramienta geométrica dinámica. La opción de la calculadora gráfica puede ser una preferencia temporal de verdad. Hoy, el álgebra computacional está también disponible en un formato hecho a mano. Un primer experimento piloto que usa la calculadora TI-92 reveló que los estudiantes apreciaron esta máquina como una “calculadora algebraica”, pero no tanto como una herramienta geométrica dinámica. Cuando la Asociación Holandesa de Profesores de Matemáticas se dio cuenta del impacto posible de las calculadoras simbólicas sobre la educación matemática secundaria, fue formado un Consejo Consultivo sobre el Álgebra de Ordenador y la Calculadora Simbólica Cuando la Asociación Holandesa de Profesores de Matemáticas se dio cuenta del impacto posible de las calculadoras simbólicas sobre la educación matemática secundaria, fue formado un Consejo Consultivo sobre el Álgebra de Ordenador y la Calculadora Simbólica

27 LA EXPERIENCIA HOLANDESA En Mayo de 1998 este Consejo concluyó que: El álgebra computacional debería ser puesta en práctica en la educación secundaria superior; El álgebra computacional debería ser puesta en práctica en la educación secundaria superior; La investigación fue necesaria para encontrar respuestas a las preguntas pedagógicas y de curriculum que surjan por esto; La investigación fue necesaria para encontrar respuestas a las preguntas pedagógicas y de curriculum que surjan por esto; Como una plataforma de álgebra computacional, el PC sería preferido a la calculadora simbólica, al menos a largo plazo. Como una plataforma de álgebra computacional, el PC sería preferido a la calculadora simbólica, al menos a largo plazo.

28 LA EXPERIENCIA HOLANDESA En el otoño de 1998, el Freudenthal Institute condujo un estudio exploratorio de casos que usan la calculadora simbólica. Esta máquina resultó ser bastante útil en tareas de investigación. El empleo sofisticado de variables y parámetros, sin embargo, no siempre era claro para los estudiantes. Además, algunos estudiantes estaban poco dispuestos a usar el álgebra computacional para el uso de técnicas que ellos aún no habían dominado a mano.

29 LA EXPERIENCIA HOLANDESA Actualmente, muchas preguntas de investigación acerca del papel del álgebra computacional en la enseñanza secundaria están todavía sin contestar. Ninguna decisión sobre su puesta en práctica en Holanda ha sido tomada hasta ahora. En los próximos años se espera que ocurran 3 acontecimientos:

30 LA EXPERIENCIA HOLANDESA En primer lugar, los profesores, las juntas de examinación y los autores de libros de texto se acostumbrarán a la calculadora gráfica y aprovecharán las posibilidades pedagógicas que estos dispositivos ofrecen. En primer lugar, los profesores, las juntas de examinación y los autores de libros de texto se acostumbrarán a la calculadora gráfica y aprovecharán las posibilidades pedagógicas que estos dispositivos ofrecen. En segundo lugar, la investigación será realizada sobre el papel del álgebra computacional en el estudio de las matemáticas y, más expresamente, en el estudio de conceptos algebraicos. Tal estudio fue comenzado recientemente por el Freudenthal Institute. En segundo lugar, la investigación será realizada sobre el papel del álgebra computacional en el estudio de las matemáticas y, más expresamente, en el estudio de conceptos algebraicos. Tal estudio fue comenzado recientemente por el Freudenthal Institute.

31 LA EXPERIENCIA HOLANDESA En tercer lugar, la investigación será realizada sobre las posibilidades del álgebra computacional como una herramienta de tecnología de amplia gama. Un proyecto que se enfoca en el empleo de un ambiente de álgebra computacional en combinación con un editor de textos (para escribir informes matemáticos) y un Catálogo de Internet ha sido comenzado en Algemeen Pedagogisch Studiecentrum, un instituto para la mejora de la educación matemática. En tercer lugar, la investigación será realizada sobre las posibilidades del álgebra computacional como una herramienta de tecnología de amplia gama. Un proyecto que se enfoca en el empleo de un ambiente de álgebra computacional en combinación con un editor de textos (para escribir informes matemáticos) y un Catálogo de Internet ha sido comenzado en Algemeen Pedagogisch Studiecentrum, un instituto para la mejora de la educación matemática.