Tema 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

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1 Tema 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2 INTRODUCCIÓN Muchos problemas que se nos plantean pueden reducirse a encontrar uno o varios números desconocidos, que llamamos incógnitas, sujetos a una serie de condiciones que nos permiten plantear una o varias ecuaciones (sistemas). El objetivo de este tema es el estudio de los sistemas lineales y de métodos para su resolución. Terminaremos el tema dando algunas estrategias para el planteamiento de los llamados problemas lineales y algunos “modelos” resueltos.

3 1. Ecuaciones lineales. a1x1 + a2x2 + … + anxn = b x2 + 3y = 5
Una ecuación lineal con n incógnitas x1, x2, …, xn es de la forma: a1x1 + a2x2 + … + anxn = b , con algún ai distinto de 0. A los ai se les llama coeficientes de las incógnitas y a b término independiente Una solución de la ecuación es una n-upla de números reales (s1, s2, …, sn) que sustituidos en las correspondientes incógnitas hacen que sea cierta la igualdad. EJEMPLOS a) 5x + 6y – 1 = 0, es una ecuación lineal con dos incógnitas. x2 + 3y = 5 2x – xy = 1 x + 2y = 0 no son ecuaciones lineales (–1, 1) es una solución de esta ecuación: 5·(–1) + 6·1 – 1 = 0 (2, 1) no es una solución de esta ecuación: 5·2 + 6·1 – 1  0 b) x – 3y + 2z = 5, es una ecuación lineal con tres incógnitas. (0, –1, 1) es una solución de esta ecuación.

4 1. Ecuaciones lineales. Para encontrar una solución particular de una ecuación lineal con n incógnitas, se les da valores arbitrarios a n – 1 cualesquiera de ellas, con lo que se reduce la ecuación a otra de una sola incógnita y se resuelve. EJEMPLO Vamos a encontrar dos soluciones particulares de la ecuación 3x + 2y – z = 1. Si damos a x = 0 , y = 1, se obtiene z = 1  la solución es (0, 1, 1). Si x = 1, y = 0 , nos da z = 2 y la solución es la terna (1, 0, 2). Comprobarlas. Para encontrar la solución general de la ecuación lineal, se consideran a n – 1 incógnitas como parámetros y se resuelve en función de éstos. EJEMPLO Consideremos la ecuación 2x – 3y + z = 1; es una ecuación lineal con tres incógnitas; 3 – 1 = 2, es decir depende de 2 parámetros. Si hacemos x = t, e y = s, quedaría z = 1 – 2t + 3s. La solución sería (t, s, 1 – 2t + 3s).

5 2. Sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales. EJEMPLOS 2x + 3y = 1 3x – y = 0 es un sistema de 2 ecuaciones lineales con dos incógnitas. x + 2y + z = 8 2x – y + z = 5 x + 3y – 5z = 4 es un sistema de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas. x + 2y + z = 8 2x – y + z = 5 es un sistema de 2 ecuaciones lineales con tres incógnitas.

6 2. Sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir, en general: a11 x1 + a12 x2 + …… + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + …… + a2n xn = b2 ………………………………… am1 x1 + am2 x2 + …… + amn xn = bm En este sistema x1, x2, ....xn son las incógnitas; los números aij son los coeficientes del sistema y b1, b2,......bm los términos independientes. El sistema se dirá homogéneo si todos los bj son cero. Resolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todas las ecuaciones, o concluir que el sistema no tiene solución.

7 2. Sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación.
Clasificación de sistemas. Si el sistema tiene solución se dice compatible. Si la solución es única se dice determinado y en otro caso indeterminado. Si no tiene solución se dirá incompatible. Es decir, los sistemas lineales se clasifican, según el número de soluciones en: Determinado (Solución única) Compatible Sistema Indeterminado (Infinitas soluciones) Incompatible No tiene solución

8 2. Sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación.
Sistema incompatible Sistema compatible Existe alguna solución. No existe ninguna solución. Por ejemplo: Determinado Indeterminado Existe sólo una solución. Por ejemplo: Existe más de una solución. Por ejemplo: 2x – 2y = 3 x + 2y = 4 3x + y = 3 x + 3y = 6 2x – y = 5 3x + 2y = 11 3x – y = 1 –6x + 2y = –2 6x – 2y = 2 Vemos que no tiene solución, pues las tres rectas no tienen ningún punto en común. Vemos que tiene infinitas soluciones, pues las tres rectas tienen todos los puntos comunes. Vemos que tiene solución única, pues las tres rectas tienen un único punto común.

9 3. Significado geométrico de los sistemas lineales
I) Significado geométrico de las ecuaciones lineales 1) La ecuación ax + by = c, representa una recta en el plano. Recuerda como se representa gráficamente una recta: 3x – y = 2 y = 3x – 2 2) En el espacio tridimensional real la ecuación ax + by + cz = d, representa un plano. y x 2 1 –1 –2 – 8 –5 4 z y x  (x, y, z)

10 3. Significado geométrico de los sistemas lineales
II) Significado geométrico de los sistemas lineales. ► Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas x + 3y = 9 –2x + y = –4 (3, 2) 4x – 2y = 6 6x – 3y = 9 –2x + y = 3 –4x + 2y = 2 Infinitas soluciones 4x – 2y = 6 6x – 3y = 9 Ambas ecuaciones tienen la misma gráfica. Cualquier punto de la recta es una solución. Infinitas soluciones. Solución única x + 3y = 9 –2x + y = –4 Las rectas se cortan en el punto (3, 2) Solución única, x = 3, y = 2. Sin solución –2x + y = 3 –4x + 2y = 2 Las rectas son paralelas. No hay puntos de intersección. No tiene solución.

11 3. Significado geométrico de los sistemas lineales
► Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. a x + b y + c z = d a’ x + b’ y + c’ z = d’ A) Sistemas de 2 ecuaciones con 3 incógnitas. La resolución de este sistema en términos geométricos es el estudio de las posiciones relativas de dos planos. Casos que se presentan: A B ■ Planos paralelos. Sin puntos comunes, cuando el sistema sea incompatible. A B P Q ● Planos que se cortan en una recta. Si el sistema es compatible pero indeterminado, con un grado de libertad. ■ Planos coincidentes. Ocurre este caso cuando las dos ecuaciones son equivalentes y el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad

12 3. Significado geométrico de los sistemas lineales
B) Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas: a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3 Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son:  Solución única A B C P A B C P ▲ Un punto único. Sistema compatible determinado. Los tres planos se cortan en P.

13 3. Significado geométrico de los sistemas lineales
 Infinitas soluciones ► Una recta. Son soluciones todos los puntos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad. ▼ Un plano. Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad. A B C P Q A B C

14 3. Significado geométrico de los sistemas lineales
 Sin solución ◄ Ningún punto. El sistema es incompatible. Se pueden presentar varios casos, por ejemplo: A B C A B C

15 4. Método de Gauss. x + y – 2z = 5 3y – z = 7 2z = 4 x + y – 2z = 5
Sistemas escalonados x + y – 2z = 5 3y – z = 7 2z = 4 Sea el sistema En este sistema cada ecuación tiene menos incógnitas que la anterior. Este tipo de sistemas se llaman sistemas escalonados. Los sistemas escalonados son muy sencillos de resolver mediante sustitución hacia arriba. Resolvemos la tercera ecuación, en la que sólo aparece la incógnita z: x + y – 2z = 5 3y – z = 7 2z = 4 x + y – 2z = 5 3y – z = 7 z = 2

16 4. Método de Gauss. x + y – 2z = 5 3y – 2 = 7 z = 2 x + y – 2z = 5
Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y hallamos el valor de y: x + y – 2z = 5 3y – 2 = 7 z = 2 x + y – 2z = 5 y = 3 z = 2 Sustituimos los valores de z e y en la 1ª ecuación y hallamos el valor de x: x + 3 – 2·2 = 5 y = 3 z = 2 x = 6 y = 3 z = 2 Dado un sistema de ecuaciones lineales cualquiera, siempre podremos resolverlo de este modo si somos capaces de transformarlo en un sistema escalonado equivalente. En esto consiste el método de Gauss. Recordemos en primer lugar cuáles son las transformaciones que permiten pasar de un sistema a otro equivalente.

17 Transformaciones elementales
4. Método de Gauss. Transformaciones elementales (o de equivalencia) de sistemas. Definición 1. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Definición 2. Se llaman transformaciones elementales (o de equivalencia) a aquellas modificaciones de un sistema lineal que lo transforman en otro equivalente. Transformaciones elementales Ejemplo (E1) x – y = 3 (E2) x + 4y = 8 (E2) x + 4y = 8 (E1) x – y = 3 Permutar dos ecuaciones equivale a Multiplicar una ecuación del sistema por un número distinto de cero (E1) x – y = 3 (E2) x + 4y = 8 (2E1) 2x – 2y = 6 (E2) x + 4y = 8 equivale a Sumar a una ecuación del sistema otra multiplicada por un número (E1) x – y = 3 (E2) x + 4y = 8 (E1) x – y = 3 (E2+3E1) 4x + y = 17 equivale a

18 4. Método de Gauss. x + 2y = 7 3x – 4y = 1 x + 2y = 7 – 10y = –20
El método de Gauss para la resolución de sistemas lineales se puede considerar como una generalización del de reducción (para los sistemas con dos o tres incógnitas). En esencia consiste en hacer al sistema de ecuaciones lineales determinadas transformaciones elementales a fin de obtener un sistema escalonado, más fácil de resolver. Recuerda el método de reducción para sistemas 2 x 2: x + 2y = 7 3x – 4y = 1 x + 2y = 7 – 10y = –20 x + 2y = 7 y = 2 x + 2·2 = 7 y = 2 E2 E2–3E1 E2/2 Sustituye E2 por E2 – 3E1 (–3E1): –3x – 6y = –21 E2: 3x – 4y = 1 E2 –3E1: –10y = –20 x = 3 y = 2

19 4. Método de Gauss. 2x + 4y + 5z = –7 –5x – 6y – z = –1 – z = 11
EJEMPLO Resuelve el sistema: Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y se la restamos a la segunda: x + 2y + 3z = –9 2x + 4y + 5z = –7 –5x – 6y – z = –1 E2: 2x + 4y + 5z = –7 –2E1: –2x – 4y – 6z = 19 – z = 11 x + 2y + 3z = –9 – z = 11 –5x – 6y – z = –1 Permutamos las ecuaciones 2ª y 3ª: Multiplicamos la 1ª ecuación por 5 y se la sumamos a la 2ª: x + 2y + 3z = –9 –5x – 6y – z = –1 – z = 11 E2: –5x – 6y – z = –1 5E1: 5x + 10y + 15z = –45 x + 2y + 3z = –9 4y + 14z = –46 – z = 11 4y + 14z = –46 que es un sistema escalonado.

20 4. Método de Gauss. x + 2y + 3z = –9 x + 2·27 + 3·(–11)= – 9  x = –30
Ya se ha conseguido un sistema escalonado; ahora para resolverlo se procede por sustitución hacia arriba: la x la obtenemos sustituyendo estos dos valores en la ecuación 1ª ; x + 2y + 3z = –9 4y + 14z = –46 – z = 11 x + 2·27 + 3·(–11)= – 9  x = –30 4y + 14·(–11) = –46  y = 27 z = –11 La solución es: (–30, 27, –11)

21 c11 x1 + c12 x2 + c13 x3 + ……… + c1n xn = d’1
4. Método de Gauss. El método se puede generalizar al caso de m ecuaciones con n incógnitas, y se puede llegar a enunciar el siguiente: Teorema. Todo sistema de m ecuaciones con n incógnitas, puede reducirse a un sistema equivalente del tipo: c11 x1 + c12 x2 + c13 x3 + ……… + c1n xn = d’1 c22 x2 + c23 x3 + ……… + c2n xn = d’2 c33 x3 + ……… + c3n xn = d’3 ………………… ckk xk + … + ckn xn = d’k 0 = d’k+1 ………… 0 = d’m (Se harían cero los coeficientes necesarios hasta dejarlo escalonado usando el método de Gauss que se ha indicado en el ejemplo)

22 4. Método de Gauss. Consecuencias:
1) Si alguno de los dk+1, .....,dm, es distinto de 0 el sistema es incompatible. 2) Si todos los dk+1, .....,dm son 0 es compatible, y a su vez se pueden presentar dos casos:  Si k = n el sistema queda reducido a uno equivalente con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Luego la solución es única: compatible determinado.  Si k < n, es decir, hay más incógnitas que ecuaciones, entonces, asignando valores arbitrarios a las incógnitas xk+1, .....,xn, existirá una solución única de las x1, x2,....,xk, y por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones; es indeterminado con n - k grados de libertad.

23 4. Método de Gauss. x + 2y – 5z = 4 3x – 2y + z = 4 2x – y = 3
El teorema nos da una forma de clasificar el sistema. EJEMPLO Resolver el sistema x + 2y – 5z = 4 3x – 2y + z = 4 2x – y = 3 Solución: x + 2y – 5z = 4 3x – 2y + z = 4 2x – y = 3 x + 2y – 5z = 4 – 8y + 16z = –8 2x – y = 3 E2  E2 – 3E1 E3  E3 – 2E1 x + 2y – 5z = 4 – 8y + 16z = –8 – 5y + 10z = –5 x + 2y – 5z = 4 y – 2z = 1 – 5y + 10z = –5 E2  E2 /(–8)

24 4. Método de Gauss. x + 2y – 5z = 4 y – 2z = 1 – 5y + 10z = –5
E3  E3 + 5E2 la 3ª ecuación puede eliminarse, El sistema nos queda de dos ecuaciones con tres incógnitas: es compatible indeterminado (con un grado de libertad) x + 2y = 4 + 5t y = 1 + 2t Pasando la z al otro miembro y haciendo z = t, De donde: x = 4 – 2(1 + 2t) + 5t = 2 + t; x = 2 + t y = 1 + t z = t La solución es:

25 4. Método de Gauss. a11 x1 + a12 x2 + …… + a1n xn = b1
Notación matricial a11 x1 + a12 x2 + …… + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + …… + a2n xn = b2 ………………………………… am1 x1 + am2 x2 + …… + amn xn = bm Sea el sistema: Asociadas al sistema, definimos las matrices: Vector de términos independientes Vector de incógnitas Matriz de coeficientes del sistema a11 a12 …… a1n b1 a a22 …… a2n b2 … … …… … … am1 am2 …… amn bm A = Matriz ampliada del sistema

26 AX = b 4. Método de Gauss. a11 x1 + a12 x2 + …… + a1n xn = b1
Notación matricial Con esta notación matricial, el sistema a11 x1 + a12 x2 + …… + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + …… + a2n xn = b2 ………………………………… am1 x1 + am2 x2 + …… + amn xn = bm se puede escribir O de forma más compacta: AX = b

27 4. Método de Gauss. 2x + 5y – 3z = 0 x – 4y + z = – 3 –x + 2z = 7
Notación matricial 2x + 5y – 3z = 0 x – 4y + z = – 3 –x z = 7 EJEMPLO EJEMPLO 2x + 5y – 3z = 1 x – 4y + z = – 2 Matriz de coeficientes: A = –3 1 –4 1 – Matriz de coeficientes: A = –3 1 –4 1 Matriz ampliada: Matriz ampliada: A’ = (A | b) = – 1 – –3 – A’ = (A | b) = – 1 – –2 El sistema en forma matricial: El sistema en forma matricial: = –3 1 –4 1 x y z 1 –2 = –3 1 –4 1 – x y z –3 7

28 4. Método de Gauss. 1 –2 –3 1 3 1 –7 0 1 5 –1 2 Notación matricial
Observación: En todo el proceso lo que se manejan son los coeficientes de las incógnita y los términos independientes. Teniendo en cuenta la observación anterior abreviaremos el proceso escribiendo sólo los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes, entre paréntesis y separados por una barra, esto se denomina tratamiento matricial del sistema. En los ejemplos siguientes se muestra el esquema de trabajo que se sigue. EJEMPLO Resuelve el sistema: Solución. 1 –2 – – – Aplicamos transformaciones elementales a esta matriz para obtener una matriz escalonada. La matriz ampliada es

29 4. Método de Gauss. 1 –2 –3 1 3 1 –7 0 1 5 –1 2 1 –2 –3 1 0 7 2 –3
Notación matricial 1 –2 – – – 1 –2 – –3 – F2 F2 – 3F1 F3 F3 – F1 1 –2 – –3 1 –2 – –3 F3 F3 – F2 Esta fila corresponde a la ecuación 0x + 0y + 0z = 4 que no tiene solución. Luego el sistema es incompatible. (Observar que se ahorra bastante tiempo con la forma matricial del método de Gauss.) Nota: Cuando permutemos las incógnitas se debe indicar. Se suelen escribir las incógnitas encima de la matriz ampliada del sistema.

30 4. Método de Gauss. x + y + z = 11 2x – y + z = 5 3x + 2y + z = 24
Notación matricial EJEMPLO x + y + z = 11 2x – y + z = 5 3x + 2y + z = 24 Resolver el siguiente sistema 2 – F2  F2 – 2F1 F3  F3 – 3F1 0 –3 –1 –17 0 –1 –2 –9 F2  F3 0 –1 –2 –9 0 –3 –1 –17 0 –1 –2 –9 F3  F3 – 3F2 x + y + z = 11 – y – 2z = –9 5z = 10 – y – 2z = –9 x + y + z = 11 5z = 10 – y – 4 = –9 x = 11 z = 2 y = 5 x = 4 El sistema es compatible determinado.

31 4. Método de Gauss. 2x – 4y + 6z = 2 y + 2z = –3 x – 3y + z = 4
Notación matricial EJEMPLO 2x – 4y + 6z = 2 y + 2z = –3 x – 3y + z = 4 Resolver el siguiente sistema 2 – –3 1 – 1 – –3 1 – F1  F1 /2 F3  F3 – F1 1 – –3 0 –1 – 1 – –3 F3  F3 + F2 x – 2y + 3z = 1 y + 2z = –3 z =  y + 2 = –3 x – 2(–3 – 2) + 3 = 1 y = –3 – 2 x = –7 – 5 El sistema es compatible indeterminado. Damos la solución en forma paramétrica.

32 4. Método de Gauss. c11 c12 … c1n d’1 0 c22 … c2n d’2 … … … … …
Discusión de sistemas Aplicación del método de Gauss a la discusión de sistemas Las consecuencias del teorema anterior se pueden expresar con la nueva notación así: 1) Si la disposición final de los coeficientes al aplicar el método de Gauss es: c11 c12 … c1n d’1 0 c22 … c2n d’2 … … … … … … d’n el sistema es incompatible. 2) Si no ocurre lo anterior, el sistema es compatible. Se pueden dar dos casos: c11 c12 … c1k … c1n d’1 0 c22 … c2k … c2n d’2 … … … … … … … cnk … cnn d’n c11 c12 … c1n d’1 0 c22 … c2n d’2 … … … … … … cnn d’n el sistema es compatible determinado compatible indeterminado

33 4. Método de Gauss. Discusión de sistemas Sistema incompatible Sistema compatible Al operar con las filas de la matriz ampliada aparece una fila cuyos elementos son todos cero, excepto el correspondiente al término independiente. Por ejemplo: Determinado Indeterminado Al operar con las filas de la matriz ampliada se llega a una matriz escalonada equivalente asociada a un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas. Por ejemplo: Al operar con las filas de la matriz ampliada se llega a una matriz escalonada equivalente asociada a un sistema con más incógnitas que ecuaciones. Por ejemplo: 5 – – –1 0 – –1 0 – La última fila corresponde a la ecuación 0x + 0y + 0z = 3 que no tiene solución, ya que el 1er miembro es siempre 0. La 3º fila se puede eliminar; quedan más incógnitas que ecuaciones. El sistema asociado a la matriz tiene infinitas soluciones. El sistema asociado a la matriz puede resolverse por sustitución hacia arriba y tiene una única solución. En este caso el sistema es incompatible. En este caso el sistema es compatible determinado. En este caso el sistema es compatible indeterminado.

34 4. Método de Gauss. EJERCICIOS
1. Clasificar los siguientes sistemas y si fuese posible resolverlos: a) b) c) 2. Calcula el valor de m para que el sistema sea compatible determinado.

35 5. Resolución de sistemas dependientes de un parámetro.
Un sistema lineal es dependiente de un parámetro cuando uno (o varios) de sus coeficientes (o términos independientes) es variable. Para su resolución aplicamos de nuevo el método de Gauss, discutiendo las soluciones según los valores del parámetro (coeficiente variable). EJEMPLO Discutir el sistema según los distintos valores del parámetro k: x + ky – z = 0 12x – 3y – 2z = 2 x – 2y + z = 0 Cambiamos, en primer lugar, el orden de las ecuaciones y de las incógnitas y nos queda el sistema equivalente:

36 5. Resolución de sistemas dependientes de un parámetro.
x + z – 2y = 0 12x – 2z – 3y = 2 x – z + ky = 0 La matriz ampliada del sistema es: x z y –2 0 12 –2 –3 2 1 –1 k 0 – 0 – 1 –1 k 0 F2 F2 – 12F1 F3 F3 – F1 – 0 – 0 –2 k – –3 –2/7 0 –2 k F2 F2 / (–7)

37 5. Resolución de sistemas dependientes de un parámetro.
– –3 –2/7 0 –2 k – – –2/7 k –1 –2 /7 F3 F3 + F2 x + z – 2y = 0 2z – 3y = –2/7 (k –1)y = –2/7 Luego nos queda: Discusión a) Si k = 1, nos quedaría 0·y = –2/7, con lo que el sistema sería incompatible. b) Si k  1 , y se puede despejar con lo que el sistema es compatible determinado.

38 5. Resolución de sistemas dependientes de un parámetro.
EJERCICIOS 3. Clasifica y resuelve, según los distintos valores del parámetro k, el sistema: x + y + z = 2 2x + 3y + z = 3 kx + 10y + 4z = 11 4. Hallar los valores de k para los cuales el sistema: tenga soluciones distintas de la trivial. Hallar en ese caso la solución general. x – y + z = 0 2x + y – z = 0 x + y + kz = 0

39 6. Resolución de problemas lineales.
Para resolver un problema es conveniente realizar cuatro fases: 1ª. Comprender el problema. Hay que leer el problema hasta familiarizarse con él y que podamos contestar, sin dudar, a las siguientes preguntas: ¿Cuáles son los datos?, ¿cuáles son las incógnitas?, ¿son las condiciones suficientes para determinar a las incógnitas?, ¿son redundantes? 2ª Concebir un plan. Determinar la relación entre los datos y la incógnitas. De no encontrar una relación inmediata puedes considerar problemas auxiliares: ¿Conoces problemas relacionados con éste? ¿Podrías plantear el problema de forma diferente? ¿Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos si fuera necesario, de tal forma que la nueva incógnita y datos estén en una relación más sencilla? Obtener finalmente un plan de solución. Para nuestro caso: Escribir las ecuaciones que relacionan datos e incógnitas y analizar el sistema que forman. 3ª. Ejecutar el plan. Resuelve el sistema por los métodos estudiados. 4ª. Examinar la solución obtenida. Comprobar si las soluciones obtenidas son válidas y proceder en consecuencia.

40 6. Resolución de problemas. Problemas resueltos
1 Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años tiene cada una? Solución 1º. Comprender el problema. Es un problema con dos incógnitas y dos condiciones, luego suficientes para poder determinarlas. Llamamos x a la edad de Alejandra e y a la de su hija. Ordenamos los elementos del problema: Hoy dentro de 8 años La madre x x + 8 La hija y y + 8 2º. Concebir un plan. Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas: x = 27 + y x + 8 = 2(y + 8) Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo resolveremos por el método de sustitución.

41 6. Resolución de problemas. Problemas resueltos
1 Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años tiene cada una? 3º Ejecutar el plan. x = 27 + y x + 8 = 2(y + 8) 27 + y + 8 = 2(y + 8) y = 19 x = 46 Carmen tiene 19 años y Alejandra 46 años. 4º Examinar la solución obtenida. La solución obtenida es factible por ser entera. Puedes comprobar que la solución cumple las condiciones del problema: 46 = = 2(19 +8)

42 6. Resolución de problemas. Problemas resueltos
2 Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión? Solución Luego: x + y + z = 20 x + y = 3z x = y + 1 Sean: hombres x mujeres y niños z Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Se resuelve por el método de Gauss. –3 0 1 – –4 –20 0 –2 –1 –19 0 –2 –1 –19 –4 –20 F2F2 – F1 F3F3 – F1 F2F3

43 6. Resolución de problemas. Problemas resueltos
2 Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión? 0 –2 –1 –19 –4 –20 F2F2·(–1) F3F3/(–4) x + y + z = 20 2y + z = 19 z = 5 El sistema que resulta es: Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y por tanto Compatible Determinado. Comprobar que la solución es: z = 5, y = 7 y x = 8.

44 6. Resolución de problemas. Problemas resueltos
3 Compré 100 tornillos de distintas medidas por un total de 5 euros. Los precios por unidad fueron: 50 céntimos los de medida A, 10 céntimos los de medida B y 1 céntimo los de medida C. ¿Cuántos tornillos compré de cada clase? Solución Sean: x, y, z los números de tornillos de medidas A, B y C respectivamente. Se verifica: x + y + z = 100 50x + 10y + z = 500 Se resuelve por Gauss z y x z y x z + y + x = 100 9y + 49x = 400 Luego queda: que tiene menos ecuaciones que incógnitas y por lo tanto es indeterminado con un grado de libertad. Haciendo x = t, nos queda

45 6. Resolución de problemas. Problemas resueltos
3 Compré 100 tornillos de distintas medidas por un total de 5 euros. Los precios por unidad fueron: 50 céntimos los de medida A, 10 céntimos los de medida B y 1 céntimo los de medida C. ¿Cuántos tornillos compré de cada clase? z + y + t = 100 9y + 49t = 400 x = t Como las soluciones tienen que ser enteros positivos se sigue que t tiene que ser menor que 3 (para que z de positivo), luego debe de valer 1 ó 2. La solución válida es t = 1, pues, para t = 2, y da decimal. x = 1, y = = 39, z = 60. Por lo tanto: Y la solución es 1 de A, 39 de B y 60 de C.

46 6. Resolución de problemas. Problemas resueltos
4 Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 6384 €. El precio original era de 12 €, pero también ha vendido copias rebajadas con descuentos del 30% y del 40%. Sabiendo que el número de copias rebajadas vendidas fue la mitad del de copias sin rebajar, calcula a cuántas copias se le aplicó el 30% de descuento. Solución Llamamos: x al nº de copias vendidas al precio original, 12 €; y al nº de copias vendidas con un 30% de descuento, 0,7 · 12 = 8,4 €; z al nº de copias vendidas con un 40% de descuento, 0,6 · 12 = 7,2 €. x + y + z = 600 12x + 8,4y + 7,2z = 6384 y + z = x/2 x + y + z = 600 12x + 8,4y + 7,2z = 6 384 x – 2y – 2z = 0

47 6. Resolución de problemas. Problemas resueltos
12 8,4 7, 1 –2 – F2 –F2 + 12F1 F3 –F3 + F1 0 3,6 4, F3 F3/3 0 3,6 4, 0 3,6 4, F2  F3 F3 F3 – 3,6F2 , x + y + z = 600 y + z = 200 1,2z = 96 z = 80 y = 120 x = 400 Solución: El 30% de descuento se le aplicó a 120 copias.

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