Geodesia Física y Geofísica

Geodesia Física y Geofísica
I semestre, 2014 Ing. José Francisco Valverde Calderón Sitio web: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Introducción h HN HO N  HO = h-N HN = h - 
Nota: el gráfico muestra un esquema conceptual ideal, no quiere decir que siempre las superficies mostradas son paralelas o que ese es el comportamiento de las normales!! Para aprovechar las ventajas del posicionamiento GNSS en las aplicaciones prácticas, se requiere determinar el geoide (cuasi-geoide), de forma que: HO = h-N HN = h -  Terreno h HN HO Geoide N Cuasi-Geoide  Elipsoide Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Introducción Comúnmente un modelo geoidal muestran la separación entre el elipsoide de referencia y el geoide, es decir la ondulación del geoide Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Introducción Modelo GCG2011 (Nacional, Alemania)
Modelo EGG97 (Regional, Europa) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Introducción Cuando se elabora un modelo geoidal, estos deben ser validados. Comúnmente esta validación se hace comparando con alturas conocidas Tomado de: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Introducción Métodos para el calculo de un modelo geoidal:
1.Métodos Astro-geodésicos: con base a observaciones astronómicas, se obtiene la desviación de la vertical 2. Métodos gravimétricos: los cuales analizan la magnitud del vector de aceleración de la gravedad a través de la teoría del potencial; conduce a obtener de ondulaciones de geoide absolutas 3.Aplicando métodos geométricos: se basan en la determinación de alturas elipsoidales h (GNSS), alturas ortométricas H (nivelación geométrica), con lo que se calcula el valor de N. 4.Mediante métodos dinámicos u orbitales: los cuales analizan las desviaciones de las órbitas reales de los satélites artificiales (órbitas perturbadas) en relación con la orbita teórica o calculada 5.Mediante altimetría satelital. 6.Mediante mediciones satélite – satélite. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Introducción La tarea fundamental de la geodesia es determinar la forma y el tamaño de la Tierra. Para este fin, se analizan las observaciones efectuadas sobre esta. Esto lleva a la formulación de un problema de valor limite o de frontera (según nuestro caso). Este problema es determinar una función armónica (T=0), en el exterior de una superficie de frontera S (en este caso, el geoide). En esta superficie S se conocen ciertos valores, como la deflexión de la vertical, números geopotenciales, anomalías de gravedad. Estas cantidades son las observaciones de las cuales se dispone para el calculo del geoide (cuasi-geoide) El potencial gravitacional verdadero V se determina a partir de diferentes tipos de observaciones del campo de gravedad: Directas sobre la superficie terrestre (gravimetría terrestre, aérea) Métodos dinámicos (análisis de las órbitas perturbadas de satélites) Mediciones directas con satélites en el campo de gravedad (Goce) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Introducción V se representa comúnmente en un desarrollo armónico, el cual describe los componentes espectrales del potencial: Las mediciones satelitales proveen de la onda larga. Estas representan la influencia gravitacional de rasgos globales: achatamiento de la Tierra, cambios densidades, dorsales oceánicas Mediciones terrestres regionales proveen de la onda media. Representan los rasgos regionales, por ejemplo, cadenas montañosas. Mediciones terrestres de alta densidad proveen longitudes de onda corta, entre 5-10 km, si se usa gravimetría aerotransportada Representan los rasgos locales (relieve / topografia) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Potencial anómalo de la Tierra
Potencial de gravedad real (W) es la suma del potencial gravitacional (V) y el potencial centrifugo (). V es armónico fuera de las masas terrestres y dentro de estas satisface la ecuación de Poisson Se definió el concepto de elipsoide normal, de potencial de gravedad normal (U) y la aceleración de la gravedad normal () Es mas simple estudiar la forma de la Tierra y su campo de gravedad, refiriéndose a un modelo y determinando las diferencias de este en relación con el Geoide A las pequeñas diferencias entre el potencial de gravedad real (W) y el potencial de gravedad normal (U) se le conoce como POTENCIAL ANÓMALO o POTENCIAL DE PERTURBACIÓN (T), de manera que: T=W-U Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Anomalías de gravedad Considerando el vector de gravedad g en el punto P sobre el geoide y el vector de gravedad normal  en el punto Q sobre el elipsoide normal, se define el vector de anomalía de gravedad de la siguiente forma: La diferencia de magnitud del vector de anomalía de gravedad se conoce como “anomalía de gravedad”. A la diferencia de dirección se le conoce como “desviación de la vertical”. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Vector de perturbación de gravedad
Se puede también comparar los valores de la gravedad real y la gravedad normal en el mismo punto P (sobre el terreno). A la diferencia de ambos se le denomina “vector de perturbación de gravedad”. La diferencia de magnitud es la “perturbación de gravedad”. La diferencia en dirección es la desviación de la vertical. Esto debido a que se utiliza el vector de gravedad normal, solo que determinada en puntos distintos. Este vector tiene una importante aplicación en la determinación del geoide usando gravimetría aerotransportada Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Desviación de la vertical
La desviación de la vertical es la diferencia en la dirección entre el vector de gravedad real y el vector de gravedad normal. Esta conformada por dos componentes: una componente norte-sur, denominada  y una componente este-oeste denominada . La dirección de la vertical esta definida directamente por las coordenadas geográficas latitud y longitud. Componentes de la desviación de la vertical Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Desviación de la vertical
Tomado de: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Reducciones de gravedad
La gravedad medida en la superficie física de la Tierra, no puede compararse con la gravedad normal  sobre el elipsoide normal, es necesario reducir el valor de la gravedad g al geoide. Los objetivos de reducir gravedad son: La determinación del geoide. Interpolación y extrapolación de gravedad. Investigaciones geofísicas. Solo los dos primeros objetivos son de naturaleza geodésica, ya que el tercero es un objetivo netamente geofísico. Pero, la principal razón (como aplicación geodésica) es que para usar la integral de Stokes es necesario que las anomalías de gravedad representen valores limites en el geoide. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

El principal objetivo de reducir la gravedad es debido a que se deben cumplir las condiciones de frontera: 1. Que la gravedad g este referida al geoide (ver definición de g) 2. Que no hayan masas fuera del geoide (T armónico fuera del geoide) 3. Que el geoide encierre las masas terrestres. Debido a las abruptas variaciones en los valores de densidad (muchas veces esta no se conoce) se asume un valor de  = 2.67 gr/cm3. Procedimiento para reducir la gravedad: Eliminar las masas topográficas fuera del geoide o correrlas por debajo del nivel del mar. Bajar la medición gravimétrica del terreno al geoide (de P’ a P) Restaurar el terreno. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Considerar el potencial U y la atracción vertical A de un cilindro homogéneo de radio a y altura b en un punto P situado en el eje del cilindro a una altura c sobre la el cilindro (c  b), según la siguiente figura: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Considerando un elemento de volumen El potencial del cilindro es: Con Siendo equivalente la expresión: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Siendo el resultado de la integral la siguiente expresión: La atracción vertical A es la derivada negativa de V con respecto a c Diferenciando con respecto a c se tiene: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

En caso de que P este en la superficie del cilindro, c = b, por lo que: La atracción vertical A será: Si P esta dentro del cilindro, c < b, el plano z que pasa por P divide el cilindro en dos partes, como en la siguiente figura: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

En este caso se calcula el potencial V como la contribución de estas dos partes: El termino V1 esta es igual a la expresión para V cuando P esta sobre la superficie del cilindro (se reemplaza el termo b por c) y el termino V2 esta dado por la formula anterior, reemplazando b por el termino b-c. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

La suma es entonces: La atracción vertical es: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Reducción de Bouguer El propósito de la reducción de la placa de Bouguer es la eliminación de las masas topográficas, es decir, las masas que están sobre el geoide Para ello, se considera una placa, llamada “PLACA DE BOUGUER” PLACA DE BOUGUER Suponer que el área alrededor de la estación gravimétrica P es totalmente plana y horizontal. Suponer que las masas entre en geoide y la superficie terrestre tienen una densidad constante. Se obtiene la atracción de la placa de Bouguer, haciendo que a tienda al  en la ecuación que permite calcular la atracción vertical cuando P esta sobre el cilindro. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Reducción de Bouguer Al evaluar la expresión resultante, se obtiene la atracción de la placa de Bouguer de radio infinito. Considerando la densidad como  = 2.67 gr/cm3, se tiene: La eliminación de la topografía equivale entonces a restar el efecto de la atracción de la placa de Bouguer a la gravedad observada. A esta se le llama “Reducción incompleta de Bouguer”. Para completar la reducción, se debe aplicar la reducción de aire libre, que lleva la estación del terreno al geoide. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Reducción de aire libre
Para una reducción teóricamente correcta de la gravedad al geoide, se necesita conocer el gradiente vertical de la gravedad (g/H). Si g es observado en la superficie de la Tierra, el valor g0 referido al geoide es obtenido mediante una expansión en serie de Taylor: Donde H es la altura entre P’ que es la estación gravimétrica en el terreno y P que es el punto en el geoide. Suponiendo que no hay masas sobre el geoide y despreciando términos de grado superior a uno, se tiene: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Al término F se le conoce como “REDUCCION DE AIRE LIBRE” al geoide Considerar que asumir la no existencia de masas sobre el geoide se interpreta como que tales masas han sido matemáticamente removidas, por lo que esta reducción es en efecto realizada en “aire libre” Resumen del concepto de la reducción de Bouguer y la corrección de aire Libre Bouguer → remover la atracción de las masas sobre el geoide Aire Libre → llevar la gravedad real de P’ a P P’ → g’ Terreno Geoide P → g Q →  Elipsoide Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Si se efectúa un proceso en el cual se eliminan las masas topográficas y se aplica la reducción de aire libre, esta se conoce como la “Reducción Completa de Bouguer”. El resultado es la gravedad de Bouguer sobre el geoide: Donde g es la gravedad medida, F es la reducción de aire libre y AB es la reducción de la placa de Bouguer Gravedad medida en el terreno g Menos la atracción de la placa de Bouguer ,1119H Mas la reducción de aire libre ,3086H Gravedad de Bouguer en el Geoide gB = g + 0,1967H Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Como ya se tiene el valor de la gravedad en el geoide, se obtiene el valor de la anomalía de gravedad al restar el valor de gB y el valor de la gravedad normal: Anomalías de Bouguer Sin embargo, el uso de la reducción de la placa de Bouguer trae un inconveniente: al considerar el terreno plano, habrán desviaciones entre la topografía real y la placa de Bouguer El considerar esto es lo que se conoce como “CORRECCIÓN DE TERRENO” Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Si a la gravedad observada se le suma la reducción de aire libre, se tiene: Se tiene la siguiente anomalía de gravedad A esta se le conoce como “ANOMALIA DE AIRE LIBRE”. La anomalía de aire libre refiere el valor de gravedad al nivel del mar. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Corrección de Terreno Prof: José Fco Valverde Calderón
Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Corrección de Terreno Para mejorar la reducción de Bouguer, debido a la no eliminación de masa existente o a la eliminación de masa inexistente, se aplica la “CORRECCIÓN DE TERRENO”: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Corrección de Terreno En A se elimina la masa excedente m que atrae hacia arriba, haciendo que el valor de la gravedad aumente en P (este excedente de masa provoca el aumento en la gravedad). En el punto B se compensa el déficit de masa -m, haciendo que la gravedad aumente nuevamente en P. Para una masa excedente (m), h  hp, c=0. Para un déficit de masa (-m), h < hp, por lo que b = c = hp – h. Para aplicar la corrección de terreno se tiene: Se define la anomalía de gravedad de Bouguer refinada como: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Tomado de: Nuevos mapas de anomalías de gravedad del Caribe
Tomado de: Nuevos mapas de anomalías de gravedad del Caribe. Arnaiz-Rodriguez M y Garzon Y. 2012 Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Mapa de anomalías de Bouguer, derivadas del modelo EGM08

Tomado de: Nuevos mapas de anomalías de gravedad del Caribe
Tomado de: Nuevos mapas de anomalías de gravedad del Caribe. Arnaiz-Rodriguez M y Garzon Y. 2012 Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Mapa de anomalías de Aire Libre, derivadas del modelo EGM08

Isostasia La idea de que las montañas no son excesos de carga situadas sobre la superficie, sino que su masa visible es compensada por un defecto de masa en la profundidad, es la teoría de la isostasia. La compensación del exceso de masa en superficie por una reducción de masa en profundidad es la compensación isostática. Se puede suponer que las masas topográficas se encuentran superpuestas sobre una corteza homogénea. La reducción de Bouguer eliminaría las irregularidades principales del campo de gravedad, debido a que las anomalías de gravedad serian muy pequeñas y tenderían a cero. Ocurre todo lo contrario, ya que en las áreas montañosas, de forma de sistemática, las anomalías de Bouguer son negativas. Estas puede adquirir valores de hasta 100 mGal por cada 1000 m de elevación. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

1. Pratt-Hayford 2. Airy-Heiskanen Isostasia
La única explicación posible es que debajo de las montañas hay algún déficit de masa, lo que quiere decir que las masas topográficas están de alguna forma compensadas. Hay dos teorías principales que tratan de explicar esta situación: 1. Pratt-Hayford 2. Airy-Heiskanen La teoría de Pratt indica que las montañas surgieron del subsuelo como si fuera una masa en fermentación Según la teoría de Airy, las montañas están flotando sobre una lava fluida de mayor densidad, de manera que mientras mas altas sea la montaña, mas se hundirán. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Teoría de Pratt-Hayford
El sistema de compensación fue ideado por Pratt y formulado de forma matemática por Hayford, quien lo utilizó para fines geodésicos. Se establece un nivel que se llama “nivel de compensación”. Debajo de este nivel, la densidad es uniforme. Se definen columnas, las cuales tienen una densidad constante y estas se encuentran sobre el nivel de compensación. Nótese que entre mayor la altura, menor la densidad. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

La masa de cada columna de la misma sección transversal es equivalente. Se llama “D” la profundidad del nivel de compensación desde el geoide (profundidad de compensación). La densidad 0 representa la densidad de una columna de altura D. La densidad  de una columna con una altura D+h satisface la condición: Esta expresa la condición de igualdad de masas De la expresión anterior, se puede concluir la densidad  es ligeramente menor al valor de 0. Por consiguiente, hay un déficit de masa, que se puede expresar como: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Se puede suponer el valor de 0 = 2.67 gr/cm3 Despejando el valor de , obtenemos la siguiente expresión: En la práctica, el modelo compensación ha sido idealizado, ya que en la naturaleza, se cumple de forma aproximada. El nivel de compensación se ha adoptado como D = 100 km Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Teoría de Airy-Heiskanen
Airy propuso el método y Heiskanen le dio la formulación matemática y la aplicó con fines geodésicos. A diferencia del método de Pratt, en el método de Airy las montañas tienen una densidad constante, igual a 2.67 gr/cm3. Estas están flotando sobre un substrato mas espeso de densidad constante, igual a 3.27 gr/cm3. Mientras mas alta sea la montaña, mas se hunde. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Teoría de Airy-Heiskanen
Por lo tanto, existen formaciones de “raíces” debajo de las montañas y “antirraices” o “antiroots” debajo de los océanos. La diferencia de densidad  se expresa como: El espesor de la corteza terrestre se denota por T y se adopta para T el valor de 30 km. El espesor de la corteza debajo de las montañas esta dado por la expresión: T + h + t Denotando como h la altura de la topografía y t el espesor de la raíz correspondiente, entonces, la condición de flotabilidad esta dada por la expresión Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Resumen de anomalías de gravedad
Definición de anomalía de gravedad Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Determinación del Geoide
A partir de los anteriores conceptos, se pueden escribir las siguientes relaciones: Se tiene que: Con base a las anteriores relaciones Dado que: Se tiene la siguiente relación: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Ecuación de Bruns Despejando el valor de N
La anterior fórmula se conoce como “ECUACIÓN DE BRUNS” o “FORMULA DE BRUNS” Su importancia radica en que relaciona la ondulación del geoide con el potencial anómalo. Siendo equivalente para la altura anómala: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Breve introducción a las Ecuaciones diferenciales
Muchas leyes en la naturaleza se expresan en forma de ecuaciones diferenciales, esto debido a que si f(x) es una función, f’(x) (primera derivada) se interpreta como la razón de cambio del fenómeno. Comúnmente lo que se conoce de un fenómeno es su razón de cambio (derivada), por lo que buscar la expresión que describe el fenómeno, implica determinar y resolver una ecuación diferencial Definición: Una ED es una ecuación que relaciona un función desconocida y una o mas derivadas de esta función desconocida con respecto a una o mas variables independientes Si la función desconocida depende de una variables: ED ordinaria Si la función desconocida depende de dos o mas variables: ED parcial ED ordinaria ED Parcial Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Problemas de valores de frontera
Al resolver ecuaciones diferenciales parciales, que dan solución a problemas ya sean físicos o geométricos, se establecen condiciones iniciales o condiciones limite. En el caso de que la condición limite sea un dato, una medición u observación, sobre una superficie limite, conduce a diferentes tipos de “problemas de valores limites” La gravedad y el potencial gravitacional de la Tierra, pueden ser descritos por ecuaciones que contienen derivadas parciales de tiempo o espacio, cuyas variables desconocidas necesitan ser encontradas. La variable que es diferenciada se denomina variable dependiente y frecuentemente corresponde con la solución a determinar. La variable con la cual la diferenciación es hecha, es la variable independiente y en geodesia física por lo general corresponde con las coordenadas donde la condición limite es conocida. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Las derivadas parciales con respecto a variables de tiempo son llamadas condiciones iniciales. Las derivadas parciales con respecto a variables de posición, sobre una superficie limite son llamadas condiciones limite. Cuando derivadas con respecto a variables de posición son considerados en la solución de problemas, nos enfrentamos a “Problemas de valores limites” o BVP. Considerar ahora el potencial de la Tierra como un fenómeno físico no variable en el tiempo. Se ha de considerar la determinación del campo de gravedad terrestre como un problema de valores limites (geodésico, GBVP) con condiciones limites conocidas (observaciones o datos) sobre cierta superficie que necesita ser encontrada: el geoide Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Problema de Dirichlet: conocido como el primer problema de valores limites de la teoría del potencial: “Conocida una función arbitraria dada en una superficie S, determinar una función V que sea armónica ya sea dentro o fuera de S y que en S asuma los valores de la función preestablecida” Este problema surge cuando la ondulación del geoide es obtenido de altimetría satelital. La solución de este problema en la esfera esta dada por la integral de Poisson, que provee la continuación ascendente o descendente del potencial. Es decir, si S es igual a x+y, encontrar una función V que sea armónica y en S la función V es igual a x+y Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Problema de Neuman: conocido como el segundo problema de valores limites de la teoría del potencial: Conocida la derivada normal V/n en la superficie S en lugar de la función V, encontrar V fuera de S. La derivada normal es la derivada a lo largo de la normal superficial n a S, en dirección hacia afuera. Se problema se tiene cuando se conoce el vector de perturbación de gravedad sobre la superficie limite (el geoide) y la solución para el potencial de gravedad externo fuera de la superficie limite tiene que ser encontrado. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Problema de Robin: conocido como el tercer problema de valores limites de la teoría del potencial: Dada una combinación lineal de V y su derivada normal, encontrar V fuera de S h y k son constantes Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Resumen de los problemas de valores de frontera: Problema de Dirichlet (o BVP de primera clase): Solucionar para V en el espacio exterior, dados sus valores en todo lugar de la frontera. Problema de Newman (o BVP de segunda clase): Solucionar para V en el espacio exterior, dados los valores de sus derivadas normales en todo lugar de la frontera. Problema de Robin (BVP mixto o BVP de tercera clase): Solucionar para V en es espacio exterior, dada una combinación lineal de si misma y su derivada normal en la frontera. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Ecuación fundamental de la G.F
Recordando las definiciones de aceleración de la gravedad y aceleración de la gravedad normal: Se puede escribir el vector de perturbación como: Luego Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Por lo tanto, se tiene el vector de perturbación como: Siendo equivalente a: Como la elevación h se calcula a lo largo de la normal, también se puede escribir: Considerando ahora que Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Siendo equivalente a: Y a: Considerando la definición de anomalía de gravedad y la ecuación de Bruns, tenemos las siguientes relaciones: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Otra forma equivalente es: A la anterior fórmula se le conoce como “ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA GEODESIA FÍSICA” porque relaciona la cantidad medida g con el potencial anómalo desconocido T. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Solo se conoce g a lo largo de una superficie, la cual es el geoide (luego de reducir las observaciones gravimétricas al mismo) La E.F.G.F solo puede usarse como una condición de frontera, pero no es suficiente para calcular el valor del potencial anómalo T. Otro elemento a considerar es que se asume que no existen masas sobre el geoide y que el valor de la gravedad se mide sobre este. Esto no es cierto; las observaciones de gravedad se hacen sobre la superficie terrestre, por lo que existen masas que influyen sobre las observaciones de gravedad. Se recurre entonces a técnicas de cálculo para eliminar el efecto de las masas. Esto permite suponer que las masas están encerradas en el geoide. Al considerar que la densidad  es cero en todas las partes fuera del geoide, el potencial anómalo es armónico y satisface la ecuación de Laplace. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Expresando la condición limite de la siguiente forma: Y como se supone que se conoce g para todos los puntos del geoide, se observa que la combinación lineal de T y T/n esta representada sobre esta superficie (el geoide). Recordar el tercer problema de los valores limites. El tercer problema de valores limites es de particular importancia para la geodesia física, ya que la determinación de las ondulaciones de geoide a partir de las anomalías de gravedad es precisamente un problema de este tipo. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

La determinación de T constituiría una solución al tercer problema de los valores limites de la teoría del potencial. Determinando el valor de T y con base al conocimiento del campo de gravedad del elipsoide normal, se puede determinar el valor de la ondulación del geoide a partir de la ecuación de Bruns. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Prof: José Fco Valverde Calderón

Teluroide: superficie cuyos puntos en los que el potencial normal (U) es igual al potencial de gravedad real (W) en la superficie. Por tanto: W(P) = U(Q) y W(P0) = U(Q0) Interpretación geométrica: Altura ortométrica: Distancia vertical desde el Geoide al punto P Altura normal: Distancia vertical desde el elipsoide de referencia al punto Q. La gravedad normal se puede calcular con base a fórmulas, sin la necesidad de tener que formular hipótesis. La altura anómala  es la altura sobre el teluriode. Representa la medida geométrica de las diferencias entre las superficies del potencial real en la superficie y el mismo potencial de la Tierra normal Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Lo mas conveniente es que las alturas se midan al punto P (en la superficie), tal y como ocurre con H y no a un punto teórico (en este caso Q) en el interior de la corteza. Las alturas normales se “trasladan” hacia arriba hasta la superficie topográfica. Se define una nueva superficie, que es el cuasi-geoide, la cual se eleva en el valor de la altura anómala sobre el elipsoide. Nótese que la ondulación del geoide es la distancia entre dos superficies de idéntico potencial U0 = W0. La altura anómala es la distancia entre dos superficies de igual potencial UQ = WP. La relación entre estas cantidades también la da la ecuación de Bruns: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

En el calculo de N, el potencial T corresponde a la diferencia de potencial entre el geoide y la gravedad normal al punto Q0 sobre el elipsoide. En el caso de  , el potencial T es elevado al nivel de la superficie y la gravedad normal sobre el punto Q del Teluroide. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Resumen El Teluroide es una superficie conformada por aquellos puntos Q, cuyo valor de potencial normal UQ es idéntico al potencial de gravedad real WP de los puntos P correspondientes, ubicados sobre la superficie terrestre. La conexión entre P y Q se por medio de la altura anómala . La altura normal corresponde con la separación entre el Teluroide y el elipsoide. Si desde la superficie terrestre se descuenta la altura normal a lo largo de la normal al elipsoide, se obtiene el cuasigeoide. Dado que el potencial WP varia de un punto a otro sobre la superficie terrestre, el Teluroide y en consecuencia, el cuasi-geoide, no son superficies equipotenciales y por tanto, no tienen significado físico directo. El geoide equivale la superficie equipotencial del campo de gravedad terrestre con potencial real W = W0. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Cálculo del geoide con base al enfoque de Stokes
Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

La integral de Stokes Si se conoce el valor de la anomalías de gravedad, se puede determinar el potencial anómalo T de la siguiente forma: En el geoide, r = R, por lo que se tiene: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

La integral de Stokes Considerando la ecuación de Bruns:
Prof: José Fco Valverde Calderón

La integral de Stokes La anterior fórmula se conoce como “INTEGRAL DE STOKES” o “FÓRMULA DE STOKES”. Fue publicada por Gabriel Stokes en 1849. Se le considera una de las fórmulas mas importante de la geodesia física ya que permite determinar el geoide a partir de datos gravimétricos. La integral de Stokes asume además que los datos de anomalías de gravedad están distribuidos sobre todo la superficie de frontera: asume distribución global de los datos. Sin embargo, las mediciones son realizadas a nivel local y con alta resolución, o sea que solamente se tiene información de alta frecuencia del potencial anómalo. Para incluir información de baja frecuencia (o de longitud de onda larga) se debe hacer uso de la técnica de remover y restaurar. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

La integral de Hotine En caso de conocer el vector de perturbación de gravedad g, se utiliza la INTEGRAL DE HOTINE: Con la función de Hotine definida como: De forma cerrada: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

La integral de Stokes Para evaluar la integral de Stokes, considerando que no se dispone de datos de anomalías para cada punto del geoide se puede proceder de la siguiente forma: Donde gr es la anomalía de gravedad y S es la función de Stokes, definida como: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

La integral de Stokes Un método mas común es usar la transformada rápida de Fourier, ya que la integral de Stokes puede ser expresada como una convolución en la dirección este-oeste, considerando que el kernel de Stokes es constante para todos los puntos en una paralela pero diferente para puntos en distintas latitudes Donde F1 y F1-1 denotan el operador de la transformada de Fourier 1D y el operador inverso de la transformada de Fourier 1D Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Cálculo del cuasi-geoide con base al enfoque de Molodensky

Teoría de Molodensky Hay dos grandes obstáculos en el concepto geodésico “clásico”: La definición del geoide no es completamente rigurosa; el valor el potencial en el geoide no se conoce** El proceso de remover el efecto de las masas fuera del geoide esta basado en hipótesis concernientes a la distribución de densidades dentro de la Tierra. La idea básica de Molodensky es que no usa (y por no tanto busca) el geoide. En su lugar, usa la superficie topográfica de la Tierra como superficie de referencia. Por tanto no se debe asumir nada acerca de la estructura interna de la Tierra. Para referir las alturas, definió una superficie que no tiene significado físico, la cual no se separa demasiado del geoide y a la que llamó “CUASI-GEOIDE” Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Esfuerzos para la estimación de Wo

Valores publicados de Wo

Teoría de Molodensky Esto le trajo a Molodensky varios adversarios por su teoría. Esto debido a que el geoide es la mas “real” y “concreta” superficie que se puede usar. El Teluroide: Teluriode significa “terrenal, terrestre”. Es definido como un lugar de las alturas normales H* medida a lo largo de la normal al elipsoide de referencia, La diferencia entre la altura elipsoidal y la altura normal es llamada “Altura anómala”. Es importante no olvidar que al formular el Teluroide o el cuasi-geoide no se postula ninguna hipótesis. Ambas superficies son puramente convencionales (matemáticas) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

La integral de Molodensky
El calculo del teluriode viene dado por la ecuación: Donde: Con: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Teoría de Molodensky Que representa la corrección de terreno
La teoría de Molodensky conduce a una solución directa del problema de valores de frontera sobre la superficie terrestre, sin la necesidad de formular hipótesis. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Comparación de enfoques
Solución clásica: Problema de Stokes (1849) Ondulaciones del Geoide (Geoide) Potencial anómalo: Solución “moderna”: Problema de Molodensky (1945) Alturas anómalas (Cuasi-Geoide) Potencial anómalo Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Solución clásica: Problema de Stokes (1849) Ondulaciones del Geoide (Geoide) Anomalías gravimétricas: P en el geoide, Q en el elipsoide Solución “moderna”: Problema de Molodensky (1945) Alturas anómalas (Cuasi-Geoide) Anomalías gravimétricas: P en el terreno, Q en el teluriode Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Solución clásica: Problema de Stokes (1849) Anomalías gravimétricas: Reducciones de gravedad Hipótesis sobre las distribución interna de masas de la Tierra Gradiente vertical de la gravedad Influencia de la topografía Solución “moderna”: Problema de Molodensky (1945) Reducciones de gravedad: Ninguna reducción, ninguna hipótesis Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Solución clásica: Problema de Stokes (1849) La solución incluye solo el primer termino de la solución de Molodensky Solución “moderna”: Problema de Molodensky (1945) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

El geoide y el cuasi-geoide son idénticos en las zonas marinas. Acá son materializados por la superficie equipotencial del campo de gravedad que coincide con la superficie no perturbaba da de mar. En las áreas continentales, el geoide y el cuasi-geoide se diferencian en: Con: g = gravedad media a lo largo de la línea de plomada, entre el geoide y el punto de calculo  = gravedad normal a lo largo de la línea de plomada, entre el elipsoide y el teluriode o el cuasi-geoide y el punto de calculo en la superficie terrestre. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Método Remove-Restore
La integral de Stokes presupone que el potencial anómalo T es una función armónica fuera del geoide Este supuesto es necesario para resolver problemas de geodésica física, como los problemas de valores de frontera en la teoría del potencial Esto porque los problemas de valores de frontera siempre involucran funciones armónicas que satisfacen la ecuación de Laplace. Como en la realidad hay masas sobre el geoide, antes de aplicar la integral de Stokes, hay que remover o mover (compensar) dentro del geoide El resultado es un co-geiode y para convertirlo al geoide, hay que corregir por el llamado “efecto indirecto”. Para la reducción de las observaciones de gravedad hay varios enfoques: Bouguer + Aire libre + Isostacia El segundo método de condensación de Helmert El método RTM (Residual Terrain Model) Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

El cálculo de modelos de geoide locales o regionales se basa en la combinación de varios elementos: Modelos de geopotencial (globales) Anomalías gravimétricas locales (de alta resolución) Modelo digitales del terreno Para combinar estos elementos, se aplica la técnica “remove-restore” o “remover-restaurar” Al determinar modelos locales o regionales, se cuenta con información que representan las longitudes de alta frecuencia del geoide. La técnica se describe de la siguiente forma: N = NΔg + NMG + NI Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Porque “remove-Restore”? Remove, porque en el método se eliminan las longitudes de onda larga del potencial gravitatorio, usando un modelo geopotencial global sobre las anomalías de gravedad observadas; Luego se resuelve las ondulación del geoide local a partir de las anomalías locales reducidas (residuales) Restore, porque una vez calculado el efecto local, se restaura la  de onda larga Hay dos formas de aplicar la técnica remove-restore: 1. Resolviendo la ondulación del geoide con base a la integral de Stokes, con base a las anomalías de gravedad residuales y luego el calculo del efecto indirecto 2. Usando la colocación por mínimos cuadrados, en el escenario propuesto por Molodensky, aplicando la colocación por mínimos cuadrados. La colocación se aplica sobre las anomalías residuales usando el modelo global y el modelo digital del terreno y la posterior transformación de anomalías de gravedad en ondulaciones geoidales. En general, ambos enfoques proveen los mismos resultados Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Porque se debe aplicar este método? Los modelos geopotenciales globales se pueden usar para calcular ondulaciones geoidales El inconveniente es que estas ondulaciones no son lo suficientemente exactas para los fines de la geodesia Por otro lado, las anomalías de gravedad observadas cubren un área limitada, por lo que no pueden usarse para resolver las longitudes de onda larga del campo de gravedad Por tanto, hay que “corregir” las ondulaciones del campo geopotencial global usando las anomalías de gravedad y es necesario usar el modelo geopotencial global para tomar en cuenta las longitudes de onda larga de este campo Pero como interesa calcular el geoide para un área pequeña, comparada con el área de la Tierra, hay que remover las longitudes de onda larga del campo de gravedad, calcular el geoide para el área de interés y luego restaurar las longitudes removidas. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

1. Descomponer el potencial anómalo en componente global, componente local y componente topográfico
2. La componente global NMG es calculada a partir de un modelo geopotencial global; representa la influencia gravitacional de toda la Tierra en el área de estudio (remove) 3. La componente topográfica NI es calculada a partir de un modelo digital del terreno (remove) 4. La componente local NΔg es evaluada a partir de las anomalías de gravedad locales, no contenidas en el modelo global y depuradas por el efecto topográfico. Representa los rasgos característicos del área de estudio que no se tomaron en cuenta en el modelo global 5. Una vez calculada la componente local, la nueva suma de las tres componentes da el geoide (cuasi-geoide) resultante (restore): N = NΔg + NMG + NI Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Tomado de: School on Reference Systems, Crustal Deformations and Ionosphere Monitoring. Brunini, Drewes and Sanchez, 2013 Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Anomalía del modelo global
Anomalía de aire libre Efecto indirecto Anomalía del modelo global Corrección de Bouguer Corrección de Terreno Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Método Remove-Restore (Otro enfoque)
1. Se elimina de las anomalías gravimétricas las componentes de longitud de onda larga (antes de esto, hay que aplicar las reducciones a las anomalías de gravedad, para llevarlas al geoide). Esta es la parte “REMOVE”: Donde los subíndices se refieren a la anomalía reducida y la obtenida del modelo geopotencial global 2. Se aplica la integral de Stokes para la determinación del co-geoide 3.Se restauran las componentes retirados “RESTORE”, de la siguiente forma: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Gravedad reducida Separando las integrales (1) (2) Gravedad reducida Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Teóricamente 1 y 2 son iguales, sin embargo si hay diferencia y a esta diferencia se llama “Efecto indirecto” Entonces, con el termino 1 se remueve y con el termino 2 se restaura Resumen 1.Obtener un modelo de Geopotencial Global 2.Eliminar los efecto de este modelo en los datos gravimétricos 3.Eliminar los efectos de la Topografía local 4.Calcular el modelo con las anomalías residuales por el método que se haya definidp (Colocación por mínimos cuadrados, FFT, FHT, evaluación numérica de la integral de Stokes,...) 5.Restituir todo lo que se ha eliminado. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

2° Método de condensación de Helmert

El mayor problema del enfoque de Stokes como solución a los problemas de valores de frontera es la topografía; la presencia de masas sobre el geoide invalida la presunción básica de que el potencial anómalo es armónico en la superficie limite (el geoide) Helmert sugirió que la topografía de la Tierra puede ser reemplazada por una capa de longitud infinitencimalmente delgada, con una densidad igual al producto de la densidad media de la topografía real y la altura Esta capa, llamada “capa de condensación” puede ser localizada en cualquier parte por debajo del geoide sin invalidar el requerimiento de que T armónico En el 1° método de condensación de Helmert, las masas topográficas son condensadas en una superficie paralela al geoide, localizada a 21 km por debajo del geoide (diferencia entre el semieje mayor y el semieje menor del elipsoide que tomó como referencia). Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

En el segundo método de condensación que Helmert formuló, la capa de condensación es localizada debajo del geoide. Cuando se combina el método de condensación de Helmert, con el enfoque de Stokes para resolver el problema de valores de frontera geodésico, el nombre que recibe la combinación de estas dos ideas es “El método Stokes-Helmert” El método de Helmert consiste entonces en que la distribución de masas dentro del geoide coincide con la distribución de masas real. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Efecto indirecto La eliminación de las masas en que se basan las reducciones de la gravedad cambia el potencial de la gravedad y por consiguiente el potencial del geoide. Con cada reducción se tiene una nueva distribución de masas, haciendo que el geoide cambie, implicando este elemento que las masas tienen que ser colocadas de nuevo. Un geoide determinado a partir de anomalías de gravedad reducidas utilizando la integral de Stokes se le conoce como “COGEOIDE”, el cual tiene que se corregido para llegar al geoide. Esto implica que con cada reducción tenemos un Cogeoide, dado que con cada reducción se modifica el potencial de la gravedad. A la diferencia entre el geoide y el cogeoide se le llama “EFECTO INDIRECTO”. Prof: José Fco Valverde Calderón

Efecto indirecto Sea NC a la ondulación del cogeoide.
La ondulación del geoide se determina entonces de la siguiente manera: Donde el termino N es el efecto indirecto, el cual esta dado por la expresión: El termino N se calcula como: Prof: José Fco Valverde Calderón

Efecto indirecto De manera que el cálculo del geoide se usando la integral de Stokes viene dada por: La evaluación de la anterior fórmula se puede hacer de forma análoga a como se evalúa la integral de Stokes Prof: José Fco Valverde Calderón

Evaluación de modelos geoidales
Un aspecto importante antes de “liberar” a los usuarios un modelo geoidal, es evaluar la calidad del mismo. Esta comparación se puede efectuar a varios niveles: 1. Evaluación con otro modelo geoidales 2. Efectuando mediciones GNSS sobre banco de nivel con altura ortométrica (normal) conocida y comparando este dato con la obtenida del modelo geoidal (cuasi-geoidal) Prof: José Fco Valverde Calderón

Geodesia Física y Geofísica

Presentaciones similares

Presentación del tema: "Geodesia Física y Geofísica"— Transcripción de la presentación:

Presentaciones similares

Sobre el proyecto

Feedback

Iniciar la sesión

Autorizarse a través de una red social:

Geodesia Física y Geofísica

Presentaciones similares

Presentación del tema: "Geodesia Física y Geofísica"— Transcripción de la presentación:

Presentaciones similares

Sobre el proyecto

Feedback