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Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre, 2014 Ing. José Francisco Valverde.

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1 Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre, 2014 Ing. José Francisco Valverde Calderón Sitio web:

2 Capítulo 2 El campo gravitacional y sus anomalías Prof: José Fco Valverde Calderón Nomenclatura: W = potencial de gravedad real U = potencial de gravedad normal V = potencial gravitacional = potencial centrifugo Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

3 Se cumplen la relaciones: V es el potencial gravitacional y es armónico fuera de las masas terrestres. Debido a la rotación terrestre, existe una aceleración centrifuga. Se asume una rotación con una velocidad angular ( ) constante. La aceleración centrifuga está dirigida hacia el exterior, de forma perpendicular al eje de rotación. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

4 Aceleración centrifuga Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

5 Se define el potencial centrifugo como el potencial cuyo gradiente es la aceleración centrifuga. Además, se define la velocidad angular ( ) de la siguiente manera: Se define la aceleración centrifuga de la siguiente manera: El parámetro p se como: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

6 Por lo tanto, el potencial centrifugo es equivalente a: Se define el potencial de gravedad de la siguiente manera: Expresado de otra forma: La aceleración de la gravedad o gravedad g es el resultado de la gravitación b y la aceleración centrifuga z. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

7 Primera aproximación: la Tierra representada por una esfera. Segunda aproximación: la Tierra representada por un elipsoide de revolución. Ningún elipsoide es igual a la forma real de la Tierra. Pero el campo de gravedad que se puede asociar es muy importante es fácil de manejar de forma matemática. Las diferencias entre el C.G del elipsoide y el C.G real de la Tierra son tan pequeñas, que se pueden considerar lineales. Como consecuencia, es mas sencillo estudiar la forma de la Tierra y su campo de gravedad, refiriéndose a un modelo de gravedad. Este modelo nos dará las diferencias del mismo en relación con el Geoide El campo de gravedad normal Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

8 Se asume entonces que la Tierra es un elipsoide de nivel, esto es, un elipsoide de revolución, cuya superficie es una superficie equipotencial del campo de gravedad asociado al elipsoide. A este campo, asociado al elipsoide, lo llamaremos Campo de Gravedad Normal y al elipsoide al que se le asocia este campoElipsoide Normal Una ventaja de este elipsoide normal es que le puedo asociar un sistema de coordenadas elipsoídicas. Al definir el elipsoide normal, lo que se logró fue encontrar una buena aproximación al geoide, que es matemáticamente simple y cuyas diferencias con el geoide son muy pequeñas. Al campo de gravedad normal, le asociamos un potencial de gravedad normal, que denotamos como U. Prof: José Fco Valverde Calderón El campo de gravedad normal Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

9 Además, al elipsoide normal se le asocia una masa M y una rotación, con una velocidad angular. Geoide Elipsoide normal El elipsoide normal posee masa y rotación El campo de gravedad normal Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

10 El campo de gravedad normal Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

11 Aclaración: se sabe que el potencial depende de la distribución de masas en el interior de las masas atrayentes; en el caso del elipsoide normal, nos basta con suponer que la masa total es M, sin importar si no se conoce con detalle como se comporta la densidad dentro del elipsoide. Por tanto, este elipsoide cumple las siguientes condiciones: Su masa coincide con la de la Tierra, por lo que el valor GM se mantiene. La masa del elipsoide tiene una distribución homogénea (una densidad constante, no importa cual) y gira en el espacio con una velocidad angular igual a la de la Tierra. El centro del elipsoide coincide con el centro de la Tierra. El campo de gravedad normal Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

12 Definimos el potencial de gravedad normal de la siguiente forma: El potencial gravitacional normal V elipsoide es generado por la masa del elipsoide. El vector de gravedad normal es el gradiente del potencial de gravedad normal: Una característica del elipsoide normal es que las superficies equipotenciales son de forma elipsoidal, concéntricas y paralelas entre si. El campo de gravedad normal Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

13 Recordar que las superficies equipotenciales del campo de gravedad real NO son paralelas. El valor de U en cada punto depende de las dimensiones del elipsoide que se tome como referencia. Entonces, se impone como condición que el potencial normal en la superficie del elipsoide sea igual a Wo, esto es el potencial de gravedad real sobre la superficie del geoide. El campo de gravedad normal Prof: José Fco Valverde Calderón Campo de gravedad realCampo de gravedad normal W = V Tierra + U = V Elipsoide + SuperficieGeoideElipsoide Normal PotencialW = Wo en el geoideU = Wo en el elipsoide normal Gradiente Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

14 Prof: José Fco Valverde Calderón Superficies de nivel en el campo de gravedad real

15 Campo de gravedad real y normal Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

16 El elipsoide normal se puede definir con cuatro parámetros: La forma y el tamaño del elipsoide (a,b), (a,f); Una velocidad angular ; La masa M. Se puede definir una fórmula para calcular el potencial de gravedad normal de la siguiente manera: Las únicas constantes en la anterior fórmula son kM (en algunos libros GM), a, b y. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 (1)

17 Con q y q o Prof: José Fco Valverde Calderón Elipsoide normal = latitud reducida Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 (2) (3)

18 Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

19 Si un cuerpo de masa total M rota con una velocidad angular ( ) constante alrededor de un eje fijo y si S es una superficie de nivel de su campo de gravedad, encerrando toda la masa M, entonces el potencial de gravedad en el espacio exterior de S es determinado de forma única por medio de los parámetros masa, velocidad angular y S. Donde S queda definida por los parámetros geométricos del elipsoide. Haciendo que u=b, q=q o se tiene: Prof: José Fco Valverde Calderón Teorema de Stokes-Poincare Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 (4)

20 La fórmula de Somigliana permite calcular el valor de la gravedad normal en la superficie del elipsoide normal, para una latitud reducida : Prof: José Fco Valverde Calderón En términos de la latitud geodésica : En términos de la latitud reducida : Fórmula de Somigliana Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 (5) (6)

21 Considerando que: a= gravedad normal en el ecuador b=gravedad normal en el polo a = semieje mayor del elipsoide b =semieje menor del elipsoide =latitud reducida = latitud geodésica La gravedad normal para una latitud dada, es una función de los valores de la gravedad normal en el ecuador, el polo y la geometría del elipsoide de referencia. Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 (7)

22 Prof: José Fco Valverde Calderón Teorema de Clairaut Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

23 Prof: José Fco Valverde Calderón Teorema de Clairaut Forma rigurosa de una aproximación del teorema de Clairaut Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 (8) (9) (10) (11) (12)

24 Considerando la siguiente expresión: Donde f es el achatamiento geométrico del elipsoide Si se hace = 90º, r = b, = b Despejando f y f*: Prof: José Fco Valverde Calderón Teorema de Clairaut Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 (13)(14)

25 Luego se tiene: Cuya fórmula equivale al teorema de Clairaut en su forma original. Prof: José Fco Valverde Calderón Teorema de Clairaut El teorema de Clairaut es uno de los teoremas mas notables de la geodesia física: El achatamiento geométrico f, puede calcularse por medio de la determinación de f* y m, las cuales son cantidades netamente dinámicas obtenidas por medio de mediciones gravimétricas, es decir, el achatamiento de la Tierra se puede determinar a partir de mediciones gravimétricas. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 (15)

26 Donde f es el achatamiento del elipsoide geométrico y f* es el achatamiento gravimétrico o achatamiento por gravedad. Considerando m es igual a: Donde: 2 a = fuerza centrifuga en el Ecuador a = gravedad normal en el Ecuador Prof: José Fco Valverde Calderón Teorema de Clairaut Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 (16)

27 Otras expresiones: Potencial normal: Gravedad normal en el ecuador y el polo: Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 (17) (18) (19)

28 Prof: José Fco Valverde Calderón Teorema de Clairaut: La razón 2 b/ a se puede expresar como: Para mas información, ver de la página 69 a la 81 del libro Geodesia Física de Hoffman-Wellenhof y H. Moritz Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 (20) (21)

29 Se puede calcular la gravedad normal para un punto con latitud, que se encuentra a una altura h de la siguiente manera: Donde o se calcula con base a valores, que varían cada cierto periodo. Se puede calcular la o con base a la formula: Prof: José Fco Valverde Calderón Gravedad normal a una altura h Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 (22)

30 Para el GRS-67, se tiene: Para el GRS-80, se tiene: También es valido para el GRS80: Prof: José Fco Valverde Calderón Gravedad normal a una altura h Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 (23) (24) (25)

31 Prof: José Fco Valverde Calderón Sistema de referencia geodésico GRS80 A través de los años, se han adoptado diferentes sistemas geodésicos, los cuales han sido definidos a partir de los cuatro parámetros que definen el elipsoide normal. El mas actual* es el GRS 80, definido por a, J 2, KM y El coeficiente J 2 se llama factor de forma dinámica Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

32 Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Sistema de referencia geodésico WGS84


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