PROBLEMA DE MATEMÁTICAS (Polinomios, 3º ESO, Tema 5)

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1 PROBLEMA DE MATEMÁTICAS (Polinomios, 3º ESO, Tema 5)

2 ÍNDICE -Enunciado del problema -Resolución del problema
*Comprender el problema *Trazar un plan para resolverlo *Poner en práctica el plan *Comprobar los resultados -Estrategia utilizada

3 Enunciado Un granjero tiene un cierto número de vacas que viene definido por la siguiente expresión x5 − ax + b . El granjero quiere dividir a las vacas en una serie de fincas, de manera que cada una de las fincas tenga el mismo número de vacas. En cada finca caben x2 − 4 vacas. Teniendo en cuenta que no puede quedar ninguna vaca libre, calcula el valor de a y b. Índice

4 Resolución del problema
-Comprender el problema -Trazar un plan para resolverlo -Poner en práctica el plan -Comprobar los resultados Índice

5 Comprender el problema.
Primero se lee el problema tratando de entender lo que nos dice el problema, procurando darle sentido a cada uno de los datos que el problema nos da: ¿Entiendo el problema? ¿Qué es lo que realmente quiere hacer el granjero? En este caso, lo que quiere hacer es repartir a las vacas en diferentes fincas y además quiere hacerlo para que en todas las fincas haya el mismo número de vacas. Ahora nos preguntamos cuales son los datos que nos ofrece el enunciado del problema. En este caso, nos habla de el número de vacas que tiene el granjero, y el número de vacas que puede albergar cada una de las fincas en las que quiere repartir a sus animales: -Número de vacas que nos dan: x5 − ax + b -Número de vacas que puede albergar cada finca: x2 − 4 -No tiene que quedar ninguna vaca suelta.

6 Las incógnitas, lo que realmente en este problema nos están pidiendo es el valor de “a” y “b”. Lo que se quiere conocer es el valor de esos dos números para el número de vacas en cada finca sea el mismo. Encontramos así una relación entre uno de los datos que me dan, que es el número de vacas totales, y las incógnitas. “A” y ”B” están incluidas en la expresión que nos dice el número de vacas. Si queremos que nos quede aún más claro que es lo que el problema nos pregunta y los datos que tenemos, podemos hacer un esquema que represente el enunciado: VACAS TOTALES Vacas en una finca Vacas en una finca Vacas en una finca No queda ninguna vaca suelta Resolución Índice

7 Trazar un plan para resolverlo
El problema que me están planteando debo saber resolverlo, así que tengo que darme cuenta que tendré que usar los conocimientos que me han enseñando. En este caso nos damos cuenta que es un problema en el que los datos que me dan, en vez de ser números normales, son polinomios. Nº vacas. P(x)= x5 − ax + b ; Nº vacas por finca. Q(x)= x2 − 4 Si nos parece que va a ser complicado podemos pensar en un problema que sea parecido pero que en vez de polinomios, nos presente los datos en forma de números normales. Si por ejemplo, nos dijeran que tenemos 15 vacas y las queremos dividir en 3 fincas con el mismo número de vacas y sin que sobre ninguna. Al hacer esto podemos ver de una manera más sencilla el problema, que antes parecía complicado. Si lo que quiero es que en cada finca haya el mismo número de vacas lo que voy a hacer es una división. Por otro lado vemos que nos dan otra condición, y es que no puede quedar ninguna vaca libre, lo que significa que el resto de la división tiene que dar 0. Ya hemos conseguido plantear como vamos a resolver el problema, así que ahora tenemos que intentar poner en práctica lo que sabemos para que se cumpla las condiciones que hemos averiguado que se nos piden. Resolución Índice

8 Poner en práctica el plan
Ya sabemos que lo primero que tenemos que darnos cuenta es que vamos a dividir las vacas en fincas y que para que la división sea exacta el resto ha de ser 0. Lo que haremos es plasmar cada una de las condiciones que se nos plantean usando los datos que nos ofrece el problema. Vamos a intentar simplificar los polinomios que nos dan, de manera que, por ejemplo factorizamos el divisor: x2-4 = (x+2) · (x-2) Así obtenemos las 2 raíces del polinomio Q(x), x=2 , x=-2 Ahora sustituimos los valores que hemos obtenido, en el polinomio de las vacas totales y lo igualamos a 0: P(-2) = (-2)5 –a · (-2) + b = 0  a + b = 0  2a + b = 32 P(2) = 25 –a · 2 + b = 0  32 – 2a + b = 0  -2a + b = -32 ¿Tiene sentido?, debemos preguntarnos. Sí porque estoy haciendo que la división cumpla la 2ª condición, el resto ha de ser igual a 0.

9 NOTA: Debemos ir comprobando que los pasos que llevamos a cabo son los correctos.
Por último, calculamos el valor de “A” y ”B” para que se cumplan las condiciones y lo hacemos por medio del sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas que obtenemos: 2a + b = 32 -2a + b = -32 2b = 0  b = 0 a = 16 Resolución Índice

10 Comprobar los resultados
Primero debemos fijarnos en lo que nos han preguntado y comprobar si nosotros hemos averiguado aquello que se nos pedía. Ahora debemos responder al problema, no podemos dar como resultado 2 números.sino que debemos responder a lo que realmente se pregunta al principio. Es imprescindible responder a lo que se pregunta, no responder solamente con 2 números, y explicando lo que se ha hallado: SOLUCIÓN: Los valores que “A” y “B” deben tomar para que las vacas puedan repartirse del mismo modo, sin que sobre ninguna es a = 16 y b = 0 Si podemos, debemos también comprobar que la solución que hemos dado tiene sentido y es correcta: Si a = 16 y b = 0, entonces el número total de vacas es : P(x) = x5 − 16x + 0 ; y el de el número de vacas que caben en una finca es Q(x) = x2 − 4. Ahora hacemos la división entre los dos polinomios y nos damos cuenta de que el resto es igual a 0, por lo que sí tiene sentido lo que hemos contestado. Resolución Índice

11 Estrategia Utilizada He usado la primera estrategia
(enlace: ), porque me pareció la opción más acertada para que se pudiera llegar a la solución correcta. Además me parece que explica de manera muy clara y precisa cada uno de los pasos que se deben seguir a la hora de llevar a cabo la resolución de un problema, ya no sólo de índole matemático, sino también para otro tipo de problemas en otras asignaturas. Una de las estrategias que más me ha llamado la atención y que mas útil me ha parecido, es la de imaginar un problema parecido pero que fuera más sencillo. En el caso concreto de este tipo de problemas, y en todos en general, creo que llega a ser algo muy práctico. Al hacer esto, se puede plantear como un problema en el que los datos que nos dan son números y no polinomios, y esto nos puede hacer que planteemos el problema de manera más sencilla, y con una mayor seguridad. Índice