Solución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ….+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ….+ a 2n x.

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1 Solución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ….+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ….+ a 2n x n = b 2 … a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + ….+ a nn x n = b n a 11 a 12 a 13 ….a 1n a 21 a 22 a 23 ….a 2n [ A ] =.. a n1 a n2 a n3 ….a nn x 1 b 1 x 2 b 2 { X } =..{ B } =.. x n b n [ A ] { X } = { B }

2 Solución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales Métodos directos Eliminación de Gauss Eliminación de Gauss-Jordan Descomposición LU Métodos iterativos Gauss-Seidel

3 Eliminación simple de Gauss 1.- Eliminación hacia delante 2.- Sustitución hacia atrás a 11 a 12 a 13 | b 1 [ A | B ] = a 21 a 22 a 23 | b 2 a 31 a 32 a 33 | b 3 1.- Eliminación hacia delante: a 11 a 12 a 13 | b 1 [ A’ ] = a’ 22 a’ 23 | b’ 2 Sistema tringular superior a’’ 33 | b’’ 3 2.- Sustitución hacia delante: x 3 = b’’ 3 / a’’ 33 x 2 =.. x 1 =..

4 Eliminación hacia delante Eliminar x 1 a partir de la segunda ecuación. Para ello: Multiplicar la primera ecuación (renglón pivote) por a 21 / a 11, (a 11 es el elemento pivote ) así a 21 x 1 + (a 21 / a 11 ) a 12 x 2 + (a 21 / a 11 ) a 13 x 3 = (a 21 / a 11 ) b 1 y restar la segunda ecuación de este resultado: a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 __ a 21 x 1 + (a 21 / a 11 ) a 12 x 2 + (a 21 / a 11 ) a 13 x 3 = (a 21 / a 11 ) b 1 _______________________________________________ a’ 22 x 2 + a’ 23 x 3 = b’ 2 Hacer los mismo con la tercera ecuación, es decir Multiplicar la primera ecuación por a 31 / a 11, así a 31 x 1 + (a 31 / a 11 ) a 12 x 2 + (a 31 / a 11 ) a 13 x 3 = (a 31 / a 11 ) b 1 y restar la tercera ecuación de este resultado, de donde se obtiene: a’ 32 x 2 + a’ 33 x 3 = b’ 3 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3

5 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a’ 22 x 2 + a’ 23 x 3 = b’ 2 a’ 32 x 2 + a’ 33 x 3 = b’ 3 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a’ 22 x 2 + a’ 23 x 3 = b’ 2 a’’ 33 x 3 = b’’ 3 Ahora se repite el procedimiento para eliminar la segunda incógnita x 2 a partir de la tercera ecuación. (Renglón pivote = Segunda ecuación. Elemento pivote = a ’ 22 ) Sustitución hacia atrás De la última ecuación se despeja x 3 x 3 = b’’ 3 / a’’ 33 y después x 2, etc. Así:

6 Eliminación de Gauss con pivoteo 10x 1 + x 2 - 5x 3 = 1 -20x 1 + 3x 2 + 20x 3 = 2 5x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 6 10 1 - 5 | 1 -20 3 20 | 2 5 3 5 | 6 -20 3 20 | 2 10 1 - 5 | 1 5 3 5 | 6 -20 3 20 | 2 0 2.5 5 | 2 0 3.75 10 | 6.5 -20 3 20 | 2 0 3.75 10 | 6.5 0 2.5 5 | 2 -20 3 20 | 2 0 3.75 10 | 6.5 0 0 -1.66 | -2.333

7 Seudo código que realiza a) la eliminación hacia delante y b ) la sustitución hacia atras Figura 9.4 a) DO k = 1, n – 1 DO i = k + 1, n factor = a i, j / a k, k DO j = k + 1 to n a i, j = a i, j + factor. a k, j END DO b i = b i – factor. b k END DO END DO b) … … #define N 3 void gaussSimple(double a[N][N], double b[]) { int i, j, k, n = N; double factor; // a) for( k = 0; k < n – 1; i++) { for( i = k + 1, i < n; i++) { factor = a[i][j] / a[k][k] ; for( j = k + 1; j < n; j++) a[i][j] = a[i][j] – factor * a[k][j]; b[i] = b[i] – factor * b[k]; } } // b) … … }

8 Gauss-Seidel a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 x 1 = ( b 1 - a 12 x 2 - a 13 x 3 ) / a 11 x 2 = ( b 2 - a 21 x 1 - a 23 x 3 ) / a 22 x 3 = ( b 3 - a 31 x 1 - a 32 x 2 ) / a 33 Proponemos valores iniciales, por ejemplo: x 1 = x 2 = x 3 = 0 x 1 = b 1 / a 11 - 0 – 0 x 2 = ( b 2 - a 21 x 1 – 0) / a 22 x 3 = ( b 3 - a 31 x 1 - a 32 x 2 ) / a 33