INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA DÍA 25 * 1º BAD CS

Presentación del tema: "INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA DÍA 25 * 1º BAD CS"— Transcripción de la presentación:

1 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA DÍA 25 * 1º BAD CS

2 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Sea la Tabla: X Y Si nos dan tres puntos, calculamos las pendientes: m=(10-2)/(3-1)= 8/2 = 4 m=(26-10)/(5-3)=16/2 = 8 Las pendientes no coinciden.  NO hay Interpolación lineal. Debe pues hacerse una interpolación cuadrática. Interpolación cuadrática: Su forma será: f(x) = a.x2 + b.x + c Y hallaríamos “a”,”b” y “c” resolviendo el sistema: 2 = a.12 + b.1 + c 10 = a.32 + b.3 + c 26 = a.52 + b.5 + c , por el Método de Gauss a + b + c = 2 9.a + 3.b + c= 10 25.a + 5.b + c = 26 - 6.b – 8.c = - 8 - 20.b – 24.c = - 24 - 2.b =  b = 0  c = 1  a = 1 f(x) = x es la función de interpolación.

3 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Sea la Tabla: X Y Si nos dan tres puntos, calculamos las pendientes: m=(10-2)/(3-1)= 8/2 = 4 m=(26-10)/(5-3)=16/2 = 8 Las pendientes no coinciden.  NO hay Interpolación lineal. Debe pues hacerse una interpolación cuadrática. m=8 m=4

4 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Sea la Tabla: X Y Si nos dan más de DOS puntos, calculamos las pendientes: m=(9-1)/(3-1)= 8/2 = 4 m=(25-9)/(5-3)=16/2 = 8 Las pendientes no coinciden.  NO hay Interpolación lineal. Debe pues hacerse una interpolación cuadrática. Al darnos más de tres puntos en la Tabla, veamos si existe Interpolación Cuadrática: y  Δy  Δ2y  Vemos que Δ2y = 8 = Cte Si Δx=Cte e Δ2y =Cte  F. Cuadrática Su forma será: f(x) = a.x2 + b.x + c Y hallaríamos “a”,”b” y “c” resolviendo el sistema: 1 = a.12 + b.1 + c 9 = a.32 + b.3 + c 25 = a.52 + b.5 + c , por el Método de Gauss

5 Hallamos “a”,”b” y “c” resolviendo el sistema:
1 = a.12 + b.1 + c 9 = a.32 + b.3 + c 25 = a.52 + b.5 + c , por el Método de Gauss a + b + c = 1 9.a + 3b + c = 9 25.a + 5b + c = 25 A la (2) la quito 9 veces la (1) A la (3) la quito 25 veces la (1) - 6.b – 8.c = 0 - 20.b – 24.c= 0 A la (3) la quito 3 veces la (2) - 2.b = 0 Y obtengo b=0 Si b=0  En la (2): c= 0 Si b=0 y c=0  En la (1): a=1 Luego la función interpoladora cuadrática será: f(x) = a.x2 + b.x + c f(x) = x2 Interpolamos: f(4) = 42 = 16 Extrapolamos: f(8) = 82 = 64

6 Ejemplo: Sea la población de Valladolid a lo largo de los últimos 10 años, dado en forma de tabla y en miles de habitantes. Año Habitantes Miramos si hay interpolación lineal: m=( )/( )=5/2=2,5 m=( )/( )=10/2=5 Las pendientes no coinciden.  No hay interpolación lineal. Estaríamos frente a una INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. Comprobamos: Δx = 2 = Cte. y  Δy  Δ2y  Vemos que Δ2y = 5 = Cte Si Δx=2=Cte e Δ2y =5=Cte  F. Interpolación Cuadrática f(x) = a.x2 + b.x + c

7 … Ejemplo: Como Δx=2=Cte e Δ2y =5=Cte  F. Interpolación Cuadrática
f(x) = a.x2 + b.x + c  Tomamos tres puntos cualesquiera: A(1992,360) , B( 1994, 365 ) y C (2000,410) Resolvemos el sistema: 360 = a b c 366 = a b c 410 = a b c 6 = ( ).a + 2.b = 7972.a + 2.b  18 = a + 6.b 44 = ( ).a + 6.b = a + 6.b  = a + 6.b que nos da: 26 = 48.a  a = 0,5416 ; b = ,08 ; c = ,36 quedando la función: f(x) = 0,5416.x ,08.x ,36 que nos dará en todo momento el número de habitantes de Valladolid en cualquier año entre 1992 y 2000, sin mas que sustituir la “x” de la función por el año correspondiente.

8 ESTRATEGIA A SEGUIR PARA COEFICIENTES MUY GRANDES:
c b a = 360 c b a = 366 c b a = 410 Cambio:  2 ,,  4 Queda: c + 2.b a = 360 c + 4.b a = 366 c + 10.b a = 410 Resolvemos por Gauss: c + 2.b a = 360  c + 2.b a = 360 2.b a = 6  b a = 6 8.b a = 50  a = 26 De donde a=26/48 = 0,5416, b= -0,2500; c= 358,3333 La función de interpolación cuadrática es: f(x) = 0,5416.x2 – 0,2500.x + 358,3333 Hallar, por ejemplo, f(1997) sería hallar f(7) Antes Ahora  2    