José Francisco Valverde Calderón Sitio web: Profesor:

Presentación del tema: "José Francisco Valverde Calderón Sitio web: Profesor:"— Transcripción de la presentación:

1 AJUSTE 1 I ciclo, 2015 Email: jose.valverde.calderon@una.cr
José Francisco Valverde Calderón Sitio web: Profesor: José Francisco Valverde C

2 Geofísica y geodinámica Variaciones en el nivel del mar
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 2 Definición de geodesia (IAG): Geodesia es la disciplina que trata con la medición y representación (geométrica, física y las variaciones temporales) de la Tierra y los cuerpos celestes. Definición de geodesia (OSU): Geodesia es la ciencia de determinar el tamaño y la forma de la Tierra (incluyendo variaciones temporales), usando mediciones principalmente de distancias, tiempo y gravedad. Aplicaciones: Geofísica y geodinámica Variaciones en el nivel del mar Deformaciones de la corteza (movimientos de las placas tectónicas) Variaciones en las alturas de las capas de hielo, Variaciones en la rotación terrestre Estudios de la atmosfera Profesor: José Francisco Valverde C

3 Ajuste 1 I Ciclo, 2015 3 Definición de topografía, según el libro “Topografía”, de Jack McCormark, pag. 4: “La topografía es la ciencia que determina las dimensiones y el contorno (o características tridimensionales) de la superficie terrestre, a partir de la medición de distancias, direcciones y elevaciones. Definición de Geomática, según la Universidad de Stuttgart, en Alemania: La adquisición, análisis, gestión e interpretación de los datos recogidos por del sistema "Tierra", su atmósfera y su hidrosfera, y la multiplicidad de las interacciones en la actualidad es un requisito esencial para el desarrollo económico sólido. Profesor: José Francisco Valverde C

4 Geodesia Geométrica Aplicaciones Física Satelital Científicas
Ajuste geodésico Geodesia Geométrica Aplicaciones Física Satelital Científicas Prácticas GNSS Profesor: José Francisco Valverde C

5 Sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas
Concepto de Ajuste Ajuste 1 I Ciclo, 2015 5 Del algebra lineal, cuando se tienen u-incógnitas, son necesarias n-ecuaciones para determinar las u-incógnitas, de forma que con n = u, se tiene una solución única al problema. Solución apoyado en el algebra de matrices: Sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas Profesor: José Francisco Valverde C

6 Solución del problema en Matlab
Concepto de Ajuste Ajuste 1 I Ciclo, 2015 6 Solución del problema en Matlab Prueba Profesor: José Francisco Valverde C

7 Concepto de Ajuste Ajuste 1 I Ciclo, 2015 7 En los problemas a resolver por la geodesia y la topografía, se podría pensar que para determinar las u incógnitas, es necesario únicamente la medición de n = u observaciones Ejemplo: para la determinación de las coordenadas de un punto desconocido, se requiere conocer el azimut y la distancia desde un punto conocido al punto desconocido. Estas observaciones proveen el número necesario de ecuaciones para estimar las u incógnitas, lo que produce una solución única, considerando una configuración geométricamente adecuada Profesor: José Francisco Valverde C

8 Concepto de Ajuste Ajuste 1 I Ciclo, 2015 8 En la práctica*, n = u es inadecuado, debido a que un error grosero** en una sola observación impide la solución del problema, pues esta observación se debe descartar (n < u), produciendo un sistema indeterminado (un sistema sin solución). *= se debe tener muy claro la aplicación que se le dará a las observaciones y el trabajo que se esta realizando (no todos los trabajos requieren ajustarse). **La determinación de errores groseros se hace apoyado en la estadística matemática Se debe considerar que una solución única no se obtiene con cualquier combinación de observaciones, estas deben ser independientes Profesor: José Francisco Valverde C

9 Ventajas del ajuste geodésico:
Concepto de Ajuste Ajuste 1 I Ciclo, 2015 9 Las que las observaciones siempre están afectadas por errores aleatorios, que impiden un cierre perfecto de las figuras geométricas. Aunque se tenga superabundancia de observaciones, no se satisfacen las condiciones geométricas de forma inequívoca a causa de los errores aleatorios → aplicar un algoritmo de ajuste geodésico. Ventajas del ajuste geodésico: Determinar la “mejor solución” al problema Determinación de una solución única Determinar el componente estocástico de las observaciones y las incógnitas ajustadas. Profesor: José Francisco Valverde C

10 ¿Porque aplicar un algoritmo de ajuste?
Concepto de Ajuste Ajuste 1 I Ciclo, 2015 10 ¿Porque aplicar un algoritmo de ajuste? Porque permite determinar, apoyado en la estadística matemática, observaciones con errores groseros Por la presencia de errores aleatorios en las observaciones Porque en los trabajos topográficos y geodésicos se tienen mas observaciones que las necesarias para una solución única. Al número de observaciones redundantes o superabundantes se les llama grados de libertad (f) o redundancia (r) y en el caso de un ajuste amarrado se calcula con la fórmula: f = r = n - u n es el número de observaciones y u es el número de incógnitas. Profesor: José Francisco Valverde C

11 Observaciones ajustadas Observaciones efectuadas
Concepto de Ajuste Ajuste 1 I Ciclo, 2015 11 Las inconsistencias generadas por los errores aleatorios (que siempre están presentes) en las mediciones, puede ser resuelto con el reemplazo de la observaciones dadas (L), por otro conjunto de observaciones ajustadas ( ) llamado mejores estimadores, de la forma Observaciones ajustadas Observaciones efectuadas Residuos Incógnitas Profesor: José Francisco Valverde C

12 Concepto de Ajuste Ajuste 1 I Ciclo, 2015 12 Para escoger los residuos v, hay un problema: existe un infinito número de posibles conjuntos de residuos que provean las observaciones ajustadas y que se ajusten al modelo matemático. Existe un único conjunto de residuos que da la solución óptima, aquel en que la suma de sus cuadrados es un mínimo, de forma que se cumple con el principio de mínimos cuadrados de Gauss. El principio de mínimos cuadrados de Gauss se expresa de la siguiente forma: Es decir, que la suma de los cuadrados de los residuos que ajustan el modelo, es un mínimo. Profesor: José Francisco Valverde C

13 Concepto de Ajuste Ajuste 1 I Ciclo, 2015 13 El ajuste geodésico se puede efectuar con varias variantes: AJUSTE AMARRADO (Ajuste 1) AJUSTE LIBRE DE MINIMIZACIÓN TOTAL DE TRAZA (Ajuste 2) AJUSTE LIBRE DE MINIMIZACIÓN PARCIAL DE TRAZA (Ajuste 2) El ajuste geodésico trata con: 1. La descripción y el análisis de las mediciones. 2. Métodos de cálculo que toman en cuenta las incertidumbres de las mediciones. 3. La descripción de la calidad de las mediciones y de los resultados derivados de estas. 4. Guía para el diseño de redes geodésicas y definición de métodos de trabajo “óptimos”. Profesor: José Francisco Valverde C

14 Concepto de Ajuste Ajuste 1 I Ciclo, 2015 14 El ajuste geodésico ayuda a dar respuesta a la siguientes preguntas: 1. Repetir una medición usualmente no provee el mismo valor. ¿Como describir este fenómeno? 2. Los resultados de las mediciones pueden estar afectados por efecto de errores groseros o sistemáticos. ¿Pueden estos errores ser determinados? ¿Cómo? ¿Qué ocurre con nuestros resultados si no “libramos” a los métodos de calculo de estos errores? 3. Figuras geométricas son medidas con observaciones redundantes (por ejemplo, los tres ángulos de un triangulo). Estas observaciones redundantes usualmente no obedecen las leyes matemáticas. Por ello, para cumplir las condiciones geométricas pre-establecidas, es necesario efectuar ajustes. Profesor: José Francisco Valverde C

15 1.1. Aplicación de matrices
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 15 1.1. Aplicación de matrices Matriz: una matriz en un sistema de m-filas por n-columnas, donde se pueden “almacenar” elementos tales como números, operaciones, derivadas, etc” Se puede identificar cada elemento en la matriz con base a un sistema basado en la fila y en la columna donde se encuentra. La nomenclatura común es aij, donde i es la fila y j es la columna De la diapositiva anterior, el elemento 2,2 es el número 2 El elemento 4,3 es el número 5 Comúnmente, se identifica una matriz con una letra mayúscula La matriz A es una matriz rectangular de 4 filas por 3 columnas Fila Columna Profesor: José Francisco Valverde C

16 Vector fila (1 x n) Matriz cuadrada (n x n) Matriz rectangular (m x n)
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 16 1.1. Aplicación de matrices Matriz cuadrada (n x n) Matriz rectangular (m x n) Vector columna (m x 1) Vector fila (1 x n) Profesor: José Francisco Valverde C

17 Matriz simétrica 1.1. Aplicación de matrices
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 17 1.1. Aplicación de matrices Matriz simétrica Matriz Triangular superior Matriz Triangular inferior Matriz Diagonal La matriz identidad es un caso especial de la matriz diagonal Profesor: José Francisco Valverde C

18 Suma y resta de matrices
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 18 Se pueden sumar/restar dos matrices A y B. La condición que se debe cumplir es que A y B deben tener las mismas dimensiones, es decir, deben ser del mismo tamaño: Leyes de la suma Propiedad Conmutativa Propiedad Asociativa Profesor: José Francisco Valverde C

19 Multiplicación por un escalar
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 19 Multiplicación por un escalar Sea k el escalar que multiplica la matriz A, se tiene: Reglas de la multiplicación de una matriz por un escalar k y l son escalares Profesor: José Francisco Valverde C

20 Multiplicación de matrices
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 20 La multiplicación de dos matrices A y B, se puede hacer únicamente si la cantidad de columnas de la matriz A es igual a la cantidad de filas de matriz B. El resultado es una matriz cuyas dimensiones con el número de filas de la matriz A por el número de columnas de la matriz B, es decir: La multiplicación de matrices NO es conmutativa, es decir AB  BA, siempre y cuando el producto de matrices sea posible Profesor: José Francisco Valverde C

21 Matriz Transpuesta e inversa
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 21 La matriz traspuesta de una matriz, es la matriz resultante cuando se toma la matriz original y se cambian las filas por columnas: Ejemplo: La matriz inversa de la matriz A, es aquella matriz A-1 que satisface la siguiente relación: Donde I es la matriz identidad y det A es el determinante de A. Para que A-1 exista, el determinante de A debe ser diferente de cero Profesor: José Francisco Valverde C

22 Operaciones en Matlab Operaciones matriciales en Matlab:
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 22 Operaciones matriciales en Matlab: Nota: se parte del hecho de que las dimisiones de las matrices permiten la operación a efectuar. Sea A y B dos matrices y C la matriz resultante: Suma: C = A+B Resta: C = A – B Multiplicación de A por B: C = A*B Multiplicación de B por A: C = B*A Inversa de A: C = inv(A) Matriz transpuesta de A: At = A’ Multiplicar la matriz A por un escalar K: C = kA Profesor: José Francisco Valverde C

23 Operaciones en Matlab Operaciones matriciales en Matlab:
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 23 Operaciones matriciales en Matlab: Nota: se parte de que las dimisiones de las matrices permiten la operación a efectuar. Otras operaciones: size(A): devuelve las dimensiones de la matriz A m,n = size(A) : asigna a las variables m, n las dimensiones de la matriz A eye(n) = devuelve una matriz identidad de dimensiones n x n ones(m, n) = devuelve una matriz llena de 1, de dimensiones m x n zeros(m, n) = devuelve una matriz llena de 0, de dimensiones m x n rank(A) = devuelve el rango de la matriz A det(A) = devuelve el determinante de A Profesor: José Francisco Valverde C

24 1.2 Ajuste de observaciones
I Ciclo, 2015 24 Se definió anteriormente que para ajustar un grupo de observaciones, se debe determinar para cada observación un residuo, que permita: Ajustar las observaciones a un modelo y hacer cumplir las condiciones geométricas de un determinado problema. Hay un infinito conjunto de residuos que ajustaran el modelo, sin que esto signifique que algunos de estos conjuntos es incorrecto. Existe un único conjunto de residuos, que da la solución óptima, de forma que se cumple con el principio de mínimos cuadrados de Gauss. El ajuste mediante mínimos cuadrados es que permite que todas las observaciones realizadas, sin importar su tipo, sean tomadas en cuenta en el ajuste Otra ventaja del A.M.C es el hecho de asignar pesos a las observaciones. Profesor: José Francisco Valverde C

25 1.3. Series de observaciones
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 25 El apartado 1.3, 1.4 y 1.5 fue tomado del material preparado por el Prof. Jorge Moya para el curso Ajuste 1 En el proceso de series de medición de magnitudes se distinguen en la estadística dos tipos de resultados con carácter casual, abarcados por las llamadas variables aleatorias, que contienen resultados de un experimento. Variables aleatorias discretas: variables que pueden asumir ciertos valores, pero no se dan ni admiten resultados intermedios (la tirada de un dado solo da valores enteros entre 1 y 6 inclusive). Variables aleatorias continuas: variables que pueden asumir valores que no son limitados, entre dos valores cualesquiera puede obtenerse siempre un valor intermedio, como en los procesos de medición con suficiente precisión del instrumento. Profesor: José Francisco Valverde C

26 1.3. Series de observaciones
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 26 La teoría de errores y el ajuste geodésico consideran solamente variables aleatorias continuas, se asume que la repetición del experimento medición no tiene un resultado predecible Una variable aleatoria X puede asumir valores al observar – medir – repetidamente n veces. Los n resultados de las observaciones se denominan resultados experimentales o realizaciones de la variable X. El conjunto de las n mediciones se denomina serie de observaciones y n el tamaño de la serie, que en términos estadísticos se conoce como muestra Los procesos de medición en geodesia se limitan mayormente a una muestra y por eso se consideran empíricas. Profesor: José Francisco Valverde C

27 1.3. Series de observaciones
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 27 Si las obs. de una variable aleatoria X se realizan en forma directa, los resultados se denotan con Li, donde i = 1, 2, 3, …., n. La estadística matemática aplica técnicas y procedimientos para la elaboración, presentación e interpretación de series de mediciones. Se aplican por ejemplo los histogramas, funciones de densidad, funciones de distribución, promedios, etc. Profesor: José Francisco Valverde C

28 1.4. Variables aleatorias unidimensionales
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 28 1.4. Variables aleatorias unidimensionales Considerar una sola serie de observaciones corresponde al concepto estadístico de variable aleatoria unidimensional. Para los casos de ajuste geodésico se considerará y utilizará la siguiente nomenclatura: X : variable aleatoria Li : una observación cualquiera, con i = 1, 2, 3 … n n: tamaño de la serie de observaciones o muestra. LT = [ L1 L2 L3 … Ln ] : vector de observaciones transpuesto (generalmente en vector columna L) Como ejemplos pueden citarse: una distancia horizontal, vertical o inclinada, un ángulo, una dirección. Profesor: José Francisco Valverde C

29 1.5. Variables aleatorias n-dimensionales
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 29 1.5. Variables aleatorias n-dimensionales Ampliación del caso unidimensional, al considerar dos o más variables aleatorias en forma simultánea o casi simultánea y un vector de variables aleatorias. En este caso n se refiere a la cantidad de variables aleatorias, no al tamaño de una serie de observaciones, para el que puede usarse otra letra, por ejemplo m. Hay dos casos especiales en los cuales se puede representar el vector en un sistema de coordenadas, con su extremo dado por la posición de un punto: la variable aleatoria bidimensional y la tridimensional En el caso bidimensional se tienen las dos variables aleatorias representadas por las coordenadas (x, y). Profesor: José Francisco Valverde C

30 1.5. Variables aleatorias n-dimensionales
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 30 1.5. Variables aleatorias n-dimensionales xT = [x y] : vector aleatorio bidimensional. xT = [x y z]: vector aleatorio tridimensional. xT = [x1 x2 x3 … xn]: vector aleatorio de dimensión n. En ajuste se utiliza la siguiente nomenclatura: LT = [L1 L2 L3 … Ln]: vector aleatorio de dimensión n. lT = [l1 l2 l3 … ln]: vector de observaciones. Li : variable aleatoria, con i = 1, 2, 3, … n li : observación, con i = 1, 2, 3, … n, realizaciones variables aleatorias Li n : cantidad de variables aleatorias. En el ajuste de observaciones mediatas L será el vector de observaciones y l el de observaciones reducidas. Profesor: José Francisco Valverde C

31 1.6. Errores en las observaciones
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 31 1.6. Errores en las observaciones Cualquier actividad técnica donde se requiera recopilar información espacial, requiere algún proceso de medición. Por lo general, se mide una determinada magnitud, para conocer otra. Ejemplo: en un levantamiento de agrimensura, se miden ángulos (azimuts) y distancias desde puntos con posición conocida (local o nacional) para determinar el derrotero (forma) y el área del predio. Sin embargo, por mas que se afine la técnica de medición, debemos tener en cuenta que toda medición esta afectada por errores. Se pueden distinguir dos procesos para determinar la existencia de errores: Recurrir a la estadística para determinar y evaluar las magnitudes de los errores que afectan una observación y determinar si están en un rango aceptable Si la observación supera el proceso anterior, someterla a un proceso de ajuste para hacer cumplir las condiciones geométricas establecidas. Profesor: José Francisco Valverde C

32 DEFINICIÓN DE MEDICIÓN OBSERVACIONES DIRECTAS OBSERVACIONES INDIRECTAS
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 32 1.6. Errores en las observaciones DEFINICIÓN DE MEDICIÓN Según la Real Academia española, el proceso de medir se define como “Comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el fin de averiguar cuántas veces la segunda está contenida en la primera” . Esta definición conduce al concepto de medición directa y medición indirecta: OBSERVACIONES DIRECTAS Las mediciones directas son aquellas hechas aplicando un instrumento de medición directamente sobre la cantidad incógnita y observando su valor. OBSERVACIONES INDIRECTAS Las mediciones indirectas se hacen cuando no es posible o práctico hacer mediciones directas, en tales casos la cantidad deseada es determinada de su relación matemática con observaciones directas. Profesor: José Francisco Valverde C

33 1.6. Errores en las observaciones
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 33 1.6. Errores en las observaciones Al efectuar mediciones indirectas, los errores que estaban presentes en las observaciones directas originales se propagan por medio del proceso de cálculo a los valores determinados en forma indirecta. Las mediciones indirectas contienen errores que son función de los errores originales; la determinación de este valor, se hace con la Ley General de Propagación de Errores. FUENTES DE ERROR EN LAS MEDICIONES Se parte de las siguientes afirmaciones: Toda medición esta afectada por errores; El valor verdadero de una medición nunca se conoce**; El tamaño exacto de los errores presentes es siempre desconocido. Profesor: José Francisco Valverde C

34 1.6. Errores en las observaciones
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 34 1.6. Errores en las observaciones DEFINICIÓN DE ERROR Según la Real Academia española, un error es “la diferencia entre el valor observado y el valor verdadero de una cantidad.” Sin embargo, se dijo anteriormente que salvo algunas excepciones, el valor verdadero de una observación nunca se conoce. Por lo tanto, se estima tanto el error de la observación como su magnitud de esta. Tipos de error Errores Groseros Errores sistemáticos Errores aleatorios (accidentales, casuales) Tipos de error, según la fuente: Errores personales Errores instrumentales Errores naturales Profesor: José Francisco Valverde C

35 1.6. Errores en las observaciones
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 35 1.6. Errores en las observaciones ERRORES GROSEROS Los errores groseros son equivocaciones que pueden ser fácilmente detectadas si se realizan observaciones de control. Se responsabiliza de estos errores al observador, que por descuido o confusión, efectúo mal la lectura, la anotó mal el valor de la observación, hizo puntería al punto incorrecto, etc. ERRORES SISTEMÁTICOS Los errores sistemáticos afectan las mediciones de forma constante, con la misma magnitud y el mismo signo. Generalmente se conocen las leyes que las originan, por lo que las observaciones pueden ser corregidas. Son causados por una inadecuada o nula calibración de los equipos o una metodología no adecuada. Profesor: José Francisco Valverde C

36 1.6. Errores en las observaciones
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 36 1.6. Errores en las observaciones ERRORES ALEATORIOS Los errores aleatorios se presentan de una manera muy irregular. Su magnitud y sentido no se puede pronosticar . Una vez que una observación ha sido “liberada” de errores groseros y sistemáticos, este el error que sigue afectando esta observación. Son el resultado de las imperfecciones humanas, instrumentales y el efecto de otros elementos no modelables o predecibles sobre las observaciones. Son usualmente pequeños y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo, al azar, sin seguir ninguna ley física y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad. Profesor: José Francisco Valverde C

37 1.6. Errores en las observaciones
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 37 1.6. Errores en las observaciones Es imposible evitar los errores aleatorios en las mediciones, por lo que se les llama también errores accidentales** **a pesar de este nombre, no se les debe considerar como efecto de alguna acción El comportamiento o distribución de los errores aleatorios, cuando se tienen grandes series de mediciones, sigue una distribución normal y se puede describir la distribución de estos por medio de la campana de Gauss Profesor: José Francisco Valverde C

38 1.6. Errores en las observaciones
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 38 1.6. Errores en las observaciones ERROR GROSERO ERROR SISTEMATICO ERROR ALEATORIO Profesor: José Francisco Valverde C

39 1.6. Errores en las observaciones
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 39 1.6. Errores en las observaciones ERRORES PERSONALES Estos errores aparecen debido a nuestras limitaciones como seres humanos, tales como la habilidad para leer un micrómetro o centrar la burbuja de un nivel, El tamaño de estos errores depende de la habilidad personal para ver y maniobrar con destreza; estos factores pueden estar influenciados adicionalmente por la temperatura, insectos y otras condiciones físicas o ambientales ERRORES INSTRUMENTALES Estos errores ocurren por imperfecciones en la construcción de los instrumentos de medición o su ajuste ERRORES AMBIENTALES Estos errores son causados por condiciones cambiantes en el medio ambiente al momento de efectuar la medición. Incluye variaciones en la presión atmosférica, la temperatura, el viento y los campos magnéticos, entre otros. Profesor: José Francisco Valverde C