Procesamiento Digital de Imágenes

Presentación del tema: "Procesamiento Digital de Imágenes"— Transcripción de la presentación:

1 Procesamiento Digital de Imágenes
Curso de Procesamiento Digital de Imágenes Impartido por: Elena Martínez Departamento de Ciencias de la Computación IIMAS, UNAM, cubículo 408

2 Programa del Curso 1. Introducción.
2. Fundamentos de la imagen digital. 3. Realce de la imagen en el dominio espacial. 4. Realce de la imagen en el dominio de la frecuencia. 5. Restauración de la imagen. 6. Representación del color. 7. Compresión de imágenes.

3 3. Relace de la imagen en el
dominio espacial a) Antecedentes. b) Algunas transformaciones básicas de niveles de gris. c) Procesamiento del histograma. d) Realce de la imagen utilizando operaciones artméticas/lógicas. e) Filtros espaciales básicos. f) Filtros espaciales de suavizamiento (smooth). g) Filtros espaciales de realce (sharp).

4 Filtros espaciales de suavizamiento
Los filtros de suavizamiento se utilizan para emborronar la imagen y para la reducción de ruido. El emborronamiento se utiliza como un paso de preproceso, para remover pequeños detalles de la imagen antes de extraer otros objetos más grandes, también se utiliza como para rellenar pequeños hoyos, líneas o curvas no muy bien definidas. La reducción del ruido se puede realizar con filtros lineales y también con filtros no lineales. Son equivalentes a los filtros paso-bajas en el espacio de la imagen.

5 Filtros de suavizamiento lineales
La idea de los filtros de suavizamiento es obtener el promedio de los pixeles contenidos en una vecindad del tamaño del la máscara del filtro. A estos filtros se les conoce como filtros promedio o filtros pasa-bajos. Al reemplazar cada pixel de la imagen por el promedio de la vecindad definida por la máscara resulta en la reducción de los detalles o cambios abruptos en los niveles de gris. La aplicación más obvia es la reducción del ruido. Sin embargo, los bordes de los objetos también son transiciones abruptas de los tonos de gris por lo que los bordes resultan emborronados después de la aplicación de estos filtros.

6 Filtros de suavizamiento lineales
Otra aplicación de estos filtros incluye el emborronamiento de los falsos contornos que hemos visto en secciones pasadas que resultan de un número insuficiente de niveles de gris. Recordando la definición de convolución, y de manera general la respuesta de un filtro está dada por: donde wi son los pesos o coeficientes del filtro y zi son los valores de los pixeles de la imagen correspodientes a los coeficientes.

7 Filtros de suavizamiento lineales
El filtro de suavizamiento de la izquierda nos da como resultado el promedio estándar de los pixeles de la imagen definidos en una vecindad de 3 x 3: Una máscara de tamaño m x n tendrá un factor de normalización de 1/mn.

8 Filtros de suavizamiento lineales
El filtro de suavizamiento de la derecha nos da como resultado el promedio ponderado de los pixeles de la imagen definidos en una vecindad de 3 x 3: Una máscara de tamaño m x n tendrá un factor de normalización de wi .

9 Filtros de suavizamiento lineales
El filtro de promedio ponderado da más importancia a algunos pixeles a expensas de otros. El pixel central tiene mayor importancia, mientras que las diagonales tienen menos ya que se encuentran más alejadas del centro (2). Se reduce la importancia del peso en función de su distancia respecto al centro.

10 Filtros de suavizamiento lineales
En la práctica es difícil observar alguna diferencia entre los dos filtros vistos anteriormente cuando las vecindades son tan pequeñas (3x3). De manera general, la implementación de un filtro de promedio ponderado para una imagen f de tamaño M x N con un filtro w de tamaño m x n (impar) se obtiene: para a=(m-1)/2, b=(n-1)/2, x=0, 1, 2, ... , M-1, y y=0, 1, 2, ..., N-1

11 Filtros de suavizamiento lineales
A. Imagen original B. Suavizamiento con n=3, un poco borrosa. Los detalles del tamaño del filtro son más afectados. C. n=5, similar que B. Se incrementa un poco más el emboronamiento. D. n=9, más emb., el efecto del emb. se ve claramente en los objetos que tienen nivel de gris cercano al fondo (Circ. y Rect.) E. n=15, casos extremos respecto al tamaño de los objetos. F. n=35, lo mismo que E.

12 Filtros de suavizamiento lineales
Como se mencionó anteriormente, la importancia de la aplicación de filtros promedio espaciales es para emborronar una imagen con el propósito de obtener una representación a groso modo de los objetos de interés, de manera que las intensidades de objetos pequeños se mezclen con la del fondo y la de los objetos grandes se marquen como “manchas” fáciles de detectar. El tamaño de las máscaras establece el tamaño relativo de los objetos a ser mezclados con el fondo.

13 Filtros de suavizamiento lineales
Imagen tomada por el telescopio Hubble de la NASA. Se aplicó un filtro promedio ponderado de tamaño 15 x 15. Se aplicó una umbralización con valor igual al 25% de las intensidades más altas en la imagen filtrada (Res=objetos más grandes y brillantes):

14 Filtros de orden estadístico (no-lineales)
Los filtros de orden estadístico son filtros espaciales no lineales cuya respuesta está basada en el ordenamiento de los pixeles contenidos en la imagen que encierra el filtro, y que reemplazan el valor del pixel central por el valor determinado por dicho ordenamiento. El ejemplo más conocido es el filtro mediana, que reemplaza el pixel central por la mediana de los pixeles contenidos en la vecindad del filtro. Los filtros mediana eliminan cierto tipo de ruido de manera muy eficiente, el llamado ruido impulso o sal y pimenta.

15 Filtros de orden estadístico (no-lineales)
La mediana, , de un conjunto ordenado de valores es aquel valor para la cual la mitad del conjunto está por debajo de ella y la otra mitad por arriba. Por ejemplo, en una vecindad de 3 x 3 la mediana del conjunto ordenado sería el 5to elemento del conjunto. Si los valores son: {10, 20, 20, 20, 15, 20, 20, 25, 100} y el conjunto ordenado es: {10, 15, 20, 20, 20, 20, 20, 25, 100}, la mediana es: =20. La función principal del filtro mediana es forzar a puntos que son diferentes de los niveles de gris del vecindario a ser más parecidos a él.

16 Filtros de orden estadístico (no-lineales)
Imagen de rayos X de un circuito integrado corrupto con mucho ruido del tipo “sal y pimienta”. Filtro promedio de 3 x 3. Filtro mediana de 3 x 3, se nota la superioridad resp. a B.

17 Filtros de orden estadístico (no-lineales)
El filtro mediana es el más utilizado de los filtros de orden estadístico no lineales pero no es el único. Existe el filtro max que es útil para encontrar los puntos más brillantes en una imagen: donde para un filtro de 3 x 3, R=max{zk | k=1, 2, …, 9}. Otro filtro es el llamado filtro min que se utiliza con el propósito inverso al max. Los filtros mediana, max, min y promedio se uitilizan en el área de restaruación de la imagen como se verá más adelante.

18 3. Relace de la imagen en el
dominio espacial a) Antecedentes. b) Algunas transformaciones básicas de niveles de gris. c) Procesamiento del histograma. d) Realce de la imagen utilizando operaciones artméticas/lógicas. e) Filtros espaciales básicos. f) Filtros espaciales de suavizamiento (smooth). g) Filtros espaciales de realce (sharp).

19 Filtros espaciales de realce
El objetivo principal del realce (shapening) es resaltar detalles finos en una imagen y resaltar los detalles que se han vuelto borrosos dedibio a un error o bien al efecto natural de la técnica de adquisición. Vimos en la sección anterior que el emborronamiento se puede llevar a cabo por medio del promedio de los pixeles de una vecindad. Como el promedio es análogo a la integración, es lógico conlcuir que el realce (sharpening) pueda hacerse utilizando diferenciación espacial.

20 Filtros espaciales de realce
Fundamentalmente, la respuesta (valor) de un operador derivativo es proporcional al grado de discontinuidad de la imagen en el punto en el que se aplica el opereador. Por lo tanto, la diferenciación de una imagen realza los bordes y otras discontinuidades (como el ruido) y desenfatiza (atenúa) las áreas que tienen baja variabilidad de valores de niveles de gris.

21 Fundamentos Veremos en detalle en las proximas secciones filtros basados en la primera y segunda derivada. Antes de llegar a eso veremos algunas propiedades fundamentales de estas derivadas en el contexto digital. Las derivadas de una función digital se definen en términos de diferencias. Existen varias formas para definir estas diferencias, sin embargo debemos asegurarnos que cumplan con las siguientes propiedades:

22 Primera derivada Debe ser igual a cero en segmentos planos (áreas de niveles de gris constantes). Debe ser diferente de cero al inicio de funciones escalón y rampa de nivel de gris. Debe ser diferente de cero a lo largo de las rampas. Una definición básica de la primera derivada unidimensional de la función f(x) es la diferencia:

23 Segunda derivada Debe ser igual a cero en segmentos planos (áreas de niveles de gris constantes). Debe ser diferente de cero al inicio y al final de las funciones escalón y rampa de nivel de gris. Debe ser cero a lo largo de las rampas de pendientes constantes. Una definición básica de la segunda derivada unidimensional de la función f(x) es la diferencia:

24 Primera y Segunda derivada

25 Observaciones Las derivadas de primer orden generalmente producen bordes gruesos en una imagen. Las segundas derivadas tienen un respuesta mayor a detalles finos, como líneas delgadas y puntos aislados. Las derivadas de primer orden tienen una respuesta mayor a funciones escalón de nivel de gris. Las derivadas de segundo orden producen una doble respuesta en cambios escalón en los niveles de gris. Las derivadas de segundo orden, para cambios con valores similares de los niveles de gris, tienen una respuesta mayor para líneas que escalones, y para puntos que líneas.

26 Observaciones En algunas aplicaciones de realce de imágenes la segunda derivada es más utilizada que la primera, esto es debido a su habilidad de realzar detalles finos. Es por esta razón y por su simplicidad de implementación que iniciaremos con la descripción de la segunda derivada. La aplicación que más hace uso de las primeras derivadas es la detección de bordes, aunque también tiene importantes usos para el realce. Pueden también utilizarse, en algunos procesos, en conjunto con las segundas derivadas.

27 Uso de las segundas derivadas para el realce: LAPLACIANO
El método consiste en definir la formulación discreta de las derivadas de segundo orden y luego construir una máscara basada en esta formulación. Estamos interesados en filtros isotrópicos, cuya respuesta es independiente de la dirección de las discontinuidades de la imagen a la cual se la aplica el filtro. En otras palabras, los filtros isotrópicos son invariantes a la rotación, en el sentido de que rotar la imagen y luego aplicar el filtro da el mismo resultado que si aplicamos primero el filtro y luego rotamos el resultado.

28 Uso de las segundas derivadas para el realce: LAPLACIANO
Se puede demostrar que el operador derivativo isotrópico más simple es el Laplaciano, el cual, sea una función (imagen) f(x,y) de dos variables, se define como: Como las derivadas son operadores lineales, el Laplaciano es un operador lineal.

29 LAPLACIANO: Versión discreta
Tomando en cuenta que ahora tenemos dos variables, (x,y), utilizamos la siguiente notación para la derivada parcial de segundo orden discreta en dirección-x y en dirección-y, respectivamente:

30 LAPLACIANO: Implementación
La implementación digital del Laplaciano bi-dimensional se obtiene sumando los dos componentes anteriores: La máscara de este filtro es la de arriba a la izquierda, que da un resultado isotrópico para rotaciones con incrementos de 90°.

31 LAPLACIANO: Implementación
Se pueden incorporar las direcciones diagonales en la definición del Laplaciano, sumando dos términos más uno para cada dirección. Como cada término diagonal también contiene un –2f(x,y), la forma total de términos diferenciables será: –8f(x,y). La máscara de este filtro es la de arriba a la derecha, que da un resultado isotrópico para rotaciones con incrementos de 45°.

32 LAPLACIANO: Implementación
Las dos máscaras mostradas en la fila de abajo de la figura, corresponden a la versión negativa de la definición anterior. Como tal, dan lugar a los mismos resultados pero diferentes en signo. Esta diferencia de signo debe ser considerada cuando se opere (a través de una suma o resta) una imagen filtrada con Laplaciano con otra imagen.

33 LAPLACIANO Como el Laplaciano es un operador derivativo, se utiliza para enfatizar (realzar) las discontinuidades en una imagen y desenfatizar (atenuar) las regiones con niveles de gris que varían poco. Esto tiende a producir imágenes que tienen líneas borde de colores grisaseos junto con otras discontinuidades, todas superimpuestas sobre un fondo oscuro sin característica alguna. Las características del fondo pueden “recobrarse” y aún preservar el efecto de realce del operador Laplaciano simplemente sumando la imagen original y la imagen Laplaciano.

34 LAPLACIANO Por lo tanto, la manera básica en que utilizamos el Laplaciano para realce de imágenes es como sigue: Si el coeficiente del centro de la máscara Laplaciana es negativo. Si el coeficiente del centro de la máscara Laplaciana es positivo.

35 LAPLACIANO Polo Norte de la Luna.
Resultado del filtro con máscara Laplaciana (con valores + y -). Escalamiento para despliegue (es como típicamente se ven los Laplacianos). Suma la original con la Laplaciana: (a) +(c).

36 LAPLACIANO: Simplificaciones
En el ejemplo anterior, implementamos el realce con Laplaciano primero filtrando la imagen con la máscara Laplaciana y luego subtrayéndola (o sumándola) de la imagen original. Esto fue hecho sólo para explicar el método, en la práctica la ecuación anterior se implementa con sólo una pasada de una sóla máscara como sigue:

37 LAPLACIANO: máscaras compuestas
Máscara compuesta. Máscara compuesta que incluye diagonales. Imagen de microscopía electrónica de un filamento de tungsteno (250x). Resultado de filtrar la imagen (c) con (a). Resultado de filtrar la imagen (c) con (b).

38 Filtro con máscara “unsharp”
Un proceso que se ha utilizado durante muchos años en la industria de la publicidad es el realzar una imagen restando a la imagen original una versión emborronada de la misma. A este proceso se la conoce como máscara unsharp, y se expresa como: donde fs(x,y) denota la imagen resultado obtenida con la máscara unsharp, y es la versión emborronada de f(x,y). El resultado es una imagen con detalles finos realzados.

39 Filtro “high-boost” Una generalización del filtro con máscara “unsharp” es el llamado filtro “high-boost” (levantar, aumentar). Una imagen filtrada con filtro high-boost, fnb, se define en el punto (x,y) como: donde A  1, y como antes, es la versión emborronada de f. Esta ecuación se puede escribir como:

40 Filtro “high-boost” Esta última ecuación es general, y no especifíca explícitamente cómo debe obtenerse la imagen “sharp” (realzada). Si elegimos hacerlo con el Laplaciano entonces conocemos a fs(x,y) y podemos escribirla como: Si el coeficiente del centro de la máscara Laplaciana es negativo. Si el coeficiente del centro de la máscara Laplaciana es positivo.

41 Filtro “high-boost” El filtro “high-boost” se puede implementar con una pasada de alguna de las dos máscaras siguientes: Cuando A=1, el filtro high-boost se vuelve un Laplaciano estándar. Mientras el valor de A se incrementa por arriba de 1, la contribución del proceso de realce se vuelve menos importante. Eventualmente, si A es suficientemenet grande, la imagen filtrada con el filtro high-boost se volverá approximadamente igual que la original multiplicada por una constante.

42 Filtro “high-boost” Imagen original oscurecida. Laplaciano con la segunda máscara, con A=0. Imagen realzada con el Laplaciano, utilizando la segunda mascara, con A=1. Ha sido realzada pero sigue oscura. Lo mismo que en (c) con A=1.7. Se ve más clara que (c). Aplicación principal: cuando la imagen de entrada es oscura. Variando el coeficiente boost, generalmente es posible obtener una incremento general del promedio de niveles de gris de la imagen.

43 Uso de las primeras derivadas para el realce: GRADIENTE
Las primeras derivadas en el procesamiento de imágenes, son implementadas utilizando la magnitud del gradiente. Para una función f(x,y), el gradiente de f en el punto (x,y) está definido como el vector columna en dos dimensiones: y la magnitud de este vector como:

44 Uso de las primeras derivadas para el realce: GRADIENTE
Las componentes del vector gradiente son operadores lineales, pero la magnitud de este vector no, debido a las operaciones de cuadrados y las raíz cuadrada. Las derivadas parciales, no son invariantes a la rotación (isotrópicas), pero la magnitud del vector gradiente si. Aunque no es estrictamente correcto, a la magnitud del vector gradiente generalmente se le conoce como gradiente. Y ese es el término que seguiremos usando.

45 Uso de las primeras derivadas para el realce: GRADIENTE
El cálculo del gradiente así definido, sobre la imagen completa, no es trivial y es de práctica común aproximar la magnitud del gradiente utilizando los valores absolutos en lugar de los cuadrados y la raíz cuadrada: Sin embargo, como en el caso del Laplaciano, las propiedades de isotropía, para un gradiente discreto se preservan sólo para un número limitado de incrementos rotacionales dependiento de las máscaras que se utilicen.

46 GRADIENTE: Implementación
Sea una región de 3 x 3 pixeles, sea el punto central igual a z5, que denota f(x,y), z1 denota f(x-1,y-1) y así sucesivamente. La aproximación más simple de la derivada de primer orden que satisfacen las condiciones anteriores son: Gx=(z8-z5) y Gy=(z6-z5). Existen otras dos definiciones propuestas por Roberts (1965) que utilizan las diferencias cruzadas: Gx=(z9-z5) y Gx=(z8-z6). De aquí la aproximación al llamado operador gradiente crusado de Roberts está dada por:

47 GRADIENTE: Implementación
Máscara general. Operador de gradiente cruzado Robert en x. Operador de gradiente cruzado Robert en y. Operador de gradiente Sobel en x. Operador de gradiente Sobel en y.

48 GRADIENTE: Implementación
Las máscaras de números pares son raras de utilizar. El filtro más pequeño generalmente es de 3 x 3. Una aproximación utilizando valores absolutos, aún sobre el punto z5, pero utilizando máscaras de 3 x 3 es el llamado operador Sobel: La idea de utilizar los pesos = 2 es para obtener más suavizamiento dando más importancia a los pixeles centrales. Note que los coeficientes de todas las máscaras suman 0, esto es para asegurar una respuesta es igual a cero en partes de la imagen con niveles de gris constantes.

49 GRADIENTE El gradiente se utiliza frecuentemente en inspecciones industriales, para ayudar a los humanos a encontrar defectos, y lo que es más común, como un paso de preproceso para una inspección automática. La figura muestra una imagen de un lente de contacto donde se pueden ver imperfeccciones en dos partes del borde (a las 4 y 5).

50 Combinación de métodos de realce espacial
Hasta el momento, hemos enfocado nuestra atención principalmente al realce con métodos enfocados de manera individual. Frecuentemente, una tarea dada de realce puede involucrar la aplicación de varias técnicas de realce de manera complementaria para poder alcanzar una tarea muy difícil de realce. Aquí veremos, a través de un ejemplo, este tipo de combinaciones.

51 Combinación de métodos de realce espacial

52 Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas
(IIMAS)