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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 DERIVACIÓN TEMA 12.3 * 2º BCT
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.2 DERIVADA DE LA SUMA Sea y = f(x)+g(x) Aplicando la definición de derivada: f(x + x) + g(x + x) ‑ f(x) ‑ g(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ------------------------------ = x 0 x f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ -------- + ------------------------ = x 0 x x f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ --- + lím ------------------------ = x 0 x x 0 x y’ = f ’(x) + g ‘(x)
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.3 DERIVADA DEL PRODUCTO Sea y = f(x). g(x) Aplicando la definición de derivada: f(x + x). g(x + x) ‑ f(x). g(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ------------------------------ = x 0 x Sumamos y restamos f(x).g(x+ x) al numerador, quedando: f(x + x). g(x + x) ‑ f(x). g(x) + f(x).g(x+ x) - f(x).g(x+ x) = lím ‑‑ ------ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ------------------------------------------------------------- x 0 x Sacando factor común : [f(x + x) - f(x)]. g(x + x) + [g(x + x) - g(x)]. f(x ) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ --------------------------------------------------------------- x 0 x f(x + x) - f(x) g(x + x) - g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ---- g(x + x) + lím ---------------------- f(x) = x 0 x x 0 x y ’ = f ‘(x). g(x) + f(x). g ’(x)
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.4 DERIVADA DE LA INVERSA Sea y = k.f(x) Aplicando la definición de derivada: k. f(x + x) - k.f(x) k. [f(x + x) - f(x)] y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ---------- = lím ---------------------------- = k. f ‘(x) x 0 x x 0 x Sea y = 1 / f(x) Aplicando la definición de derivada: 1 / f(x + x) - 1 / f(x) f(x) - f(x + x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ -------------- = lím ---------------------------- = x 0 x x 0 f(x). f(x + x). x - [f(x + x) - f(x)] 1 1 - f ‘(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ -----. ------------------- = - f ‘(x). ---------- = ------- x 0 x f(x). f(x + x) f(x).f(x) f 2 (x)
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.5 DERIVADA DE LA DIVISIÓN Sea y = g(x) / f(x) Poniéndolo de la forma: y = g(x). 1 / f(x) y operando como producto de dos funciones: g ’(x) - f ‘(x) y ' = g ‘(x). 1 / f(x) + g(x).[ 1/f(x)]’ = --------- + g(x). -------- f(x) f 2 (x) y sacando mínimo común múltimo resulta: g ‘(x). f(x) - g(x). f ‘(x) y ‘ = ------------------------------------- f 2 (x)
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.6 OTRAS DERIVADAS MUY EMPLEADAS Sea y = √x Siempre se puede poner previamente como y = x 1/2 Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece: y ’ = 1 / 2√x Sea y = 1 / x Siempre se puede poner previamente como y = x – 1 Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece: y ’ = – 1/ x 2 Sea y = 1 / f (x) Sea cual sea el tipo de la función f(x) su derivada es: y ‘ = – f ‘(x) / f 2 (x) Por eso es importante memorizar su derivada, aunque no imprescindible.
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.7 DIFERENCIAL CONCEPTO Dada la función y = f(x), consideremos un punto (x, y) que satisfaga la función y = f(x). Incrementamos el valor de x en una cantidad muy pequeña (Δx), ese incremento se llama diferencial de la variable independiente x, y se escribe dx. Cabría esperar que la diferencial de y, (dy), fuese el incremento que experimenta y, (Δ y), pero esto no es así. La diferencial de y es dy = f '(x) dx.
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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.8 DIFERENCIAL EJEMPLO Consideremos la función y = x 2. El incremento de y, (Δ y), cuando incrementamos x, (Δ x), será: Δ y = (x + Δ x) 2 - x 2 = 2x Δ x + (Δ x) 2 En cambio, la diferencial de y, (dy) es: dy = 2x dx. El cuadrado de color rojo sería el trozo que no consideramos, al considerar Δ y = dy. A pesar de que no es lo mismo la diferencial de y que el incremento de y, cuando el incremento de x es muy pequeño, la diferencial de y se puede considerar una muy buena aproximación del incremento de y. x + Δx x
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