Distribución de Probabilidades Discretas

Presentación del tema: "Distribución de Probabilidades Discretas"— Transcripción de la presentación:

1 Distribución de Probabilidades Discretas
Llegó el momento de estudiar la distribución de probabilidades, vamos a profundizar en este tema y a descubrir cómo se puede aplicar en los negocios para tomar mejores decisiones. © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

2 Variables Variables Aleatorias Variables Discretas Variables Continuas
Función o regla que asigna un número a cada resultado de un experimento. A su vez, el valor de una variable aleatoria es un evento numérico. Ej. En vez de hablar del evento de tiradas de monedas como {cara, cruz} pensamos en {1, 0} Antes de comenzar con el tema de distribución de probabilidades es imprescindible hablar sobre las variables aleatorias. Con anticipación no se sabe qué valor exacto tendrá la variable después de un experimento y es a través de la distribución de probabilidades que podemos conocer su ocurrencia. Ejemplo de una variable aleatoria discreta: “Un grupo de cinco niños que recibieron por lo menos un juguete electrónico en Navidad (0, 1, 2, 3, 4 o 5). No puede haber otro número entre estos valores como 2.5 niños.” Ejemplo de una variable aleatoria discreta: “La temperatura exacta en el exterior mientras estudias este taller, la cual puede ser grados Celsius, o cual quiera de una infinidad de otros valores en el intervalo de temperaturas dónde estás estudiando.” © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

3 Distribución de Probabilidades
Tabla, fórmula o gráfica que describe los valores de una variable al azar y la probabilidad asociada con dichos valores Distribución de Probabilidad Discreta Distribución de Probabilidad Continua Requerimientos: 0 < P (x) < 1 para todos los valores de x Σ P(x) = 1 Requerimientos: f (x) > o para todos los valores de x entre a y b El área total bajo la curva entre a y b es 1.00 En esta página encontrará la definición de la distribución de probabilidades, la cual ayuda a calcular las probabilidades de ocurrencia de las variables aleatorias. En otras palabras, presenta todos los posibles resultados de un experimento y la probabilidad asociada con cada uno de estos resultados. Las distribuciones de probabilidades pueden ser discretas o continuas. En este taller prestaremos mayor atención a la distribución discreta. Y de ella podemos mencionar que tiene tres características o requerimientos principales: * La probabilidad de un resultado en particular está entre 0 y 1 inclusive. * Los resultados son eventos mutuamente excluyentes. * La lista es exhaustiva, así que la suma de las probabilidades de los diversos eventos es igual a 1. Luego podemos observar los requerimientos de la distribución continua que se discutirá en el próximo taller. Finalmente, se identifican diversas herramientas para resolver problemas de ambos tipos de distribución de probabilidades: binomial, poisson, normal y exponencial. A continuación se definirán los conceptos, se presentarán las características y/o propiedades, así como ejemplos de aplicación de la distribución de probabilidades discretas: binomial y poisson. Distribución de Probabilidad Binomial Distribución de Probabilidad Poisson Distribución de Probabilidad Normal Distribución de Probabilidad Exponencial Anotación de la probabilidad es P(x) © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

4 Distribución Binomial
La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados o el resultado se puede reducir a dos opciones. Por ejemplo: al nacer un bebé puede ser varón o hembra, al lanzar un nuevo producto al mercado el mismo puede ser aceptado o rechazado por los consumidores. © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

5 © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011
Propiedades Se realizan dos o más intentos consecutivos En cada intento, sólo hay dos resultados posibles, usualmente llamados éxito o fracaso. Los intentos son estadísticamente independientes; es decir, el resultado de cualquier intento no es afectado por los resultados de intentos anteriores, ni afecta los resultados de intentos posteriores. La probabilidad de éxito no cambia de un intento a otro. La distribución de probabilidad binomial se basa en un proceso que se conoce como Bernoulli. Ejemplo: Pedro no es un buen estudiante en el curso de economía y debe tomar un examen la próxima semana. La prueba consiste de 10 preguntas de selección múltiple. Cada pregunta tiene 5 posibles contestaciones pero sólo una es correcta. La estrategia de Pedro consiste en adivinar la contestación de cada pregunta. Ahora nos cuestionamos ¿Es este un experimento binomial?  Hay un numero finito de pruebas (n=10).  Una contestación puede ser correcta o incorrecta. La probabilidad de la contestación correcta es (P(éxito)=.20) no cambia de pregunta a pregunta.  Cada contestación es independiente una de otra.. Como se cumplen con las cuatro propiedades se decide que este es un experimento binomial. © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

6 Fórmula La distribución binomial se puede calcular de diversas maneras por ejemplo, a través de la función binomial o sea la fórmula que se observa en esta página. Además, puede utilizarse la herramienta de Excel, como se explicará en la próximo vista y utilizando las tablas de distribución binomial. En este taller se resolverán los ejercicios en Excel ya que es una manera fácil y rápida de obtener los resultados. © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

7 =BINOMDIST() Excel… En Excel se puede obtener la función de la distribución binomial que puede ser usada para calcular estas probabilidades. Por ejemplo: # éxitos # intentos P(éxitos) A continuación se explicará cada detalle de la función de distribución binomial usando Excel: * # éxitos = es el valor de “x” que deseamos calcular * # de intentos = es el tamaño de la muestra * probabilidad = es la probabilidad de éxito * acumulado = para establecer si deseamos un resultado acumulado escribimos “TRUE” y si deseamos un resultado individual escribimos “FALSE” Inmediatamente se puede observar el resultado. acumulado (i.e. P(X≤x)?) resultado © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

8 Ejemplo Una encuesta reciente en Michigan reveló que el 60% de los vehículos que viajan por las autopistas, donde el límite de velocidad es de 70 millas por hora, excedían dicho límite. Considere que se registra aleatoriamente la velocidad de 10 vehículos en una autovía en particular. Recuerde que X representa el número de vehículos que exceden el limite de velocidad. Encontrar: P(X = 10) P(4 < X < 9) Luego de leer cuidadosamente el ejercicio hay que identificar los datos: * el tamaño de la muestra es 10 (n=10) * la probabilidad de éxito en este caso significa la probabilidad que un vehículo exceda el límite de velocidad (p=.60) n=10 p=.60 © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

9 Ejemplo P(X = 10) n=10 p=.60 En este caso se desea determinar la probabilidad que exactamente 10 vehículos excedan el límite de velocidad. Por lo tanto, al colocar los valores en Excel, en el primer recuadro se escribe 10 porque es la probabilidad que deseamos calcular, en el segundo recuadro colocamos el tamaño de la muestra, en el tercer recuadro se escribe la probabilidad de éxito y en el último recuadro se escribe “FALSE” porque solo se desea conocer la probabilidad de que exactamente 10 vehículos excedan el límite de velocidad. El resultado es: “Hay un 0.6% de probabilidad que exactamente 10 vehículos excedan el limite de velocidad. © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

10 Ejemplo P(4 < X < 9) n=10 p=.60 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .7874
En este caso se desea calcular la probabilidad que más de cuatro vehículos pero menos de nueve excedan el límite de velocidad. Esto significa que hay que calcular la probabilidad de 5, 6, 7 y 8 vehículos excedan el límite de velocidad. El resultado es: “Hay un 78.74% de probabilidad que mas de 4 vehículos pero menos de 9 excedan el limite de velocidad. Para resolver el problema se recomienda calcular la probabilidad acumulada de 4. Luego calcular la probabilidad acumulada de 8. Finalmente restar ambas cantidades para obtener el resultado deseado. .7874 .1662 .9536 © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

11 Distribución Poisson La distribución poisson se aplica a eventos para los cuales es muy pequeña la probabilidad que ocurran durante un periodo, un espacio o una distancia específicos. Ejemplo: Los defectos en los materiales fabricados, como el número de fallas en los productos de plástico durante un número específico de horas. Otros ejemplos que se pueden mencionar: El número de autos llegando a una estación de servicio en una hora. (El intervalo de tiempo es una hora) El número de defectos en un lote de ropa. (La región específica es el lote de ropa). El número de accidentes en un día, en un lugar específico de la autopista. (El intervalo es definido por el tiempo (un día) y el espacio (lugar específico de la autopista) © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

12 Características El número de éxitos que ocurre en un intervalo de tiempo es independiente del número de éxitos que ocurre en otro intervalo de tiempo. La probabilidad de éxito en un intervalo de tiempo es la misma para todos los intervalos de tiempo del mismo tamaño. La probabilidad de éxito es proporcional al tamaño del intervalo de tiempo. La probabilidad de más de un éxito en un método de intervalo 0 es el intervalo mas pequeño. Se presentará un ejemplo para entender las características de una distribución poisson. Considera la llegada de vehículos al auto servicio de un restaurante de comida rápida. * Si entre las 5:00 y las 6:00pm llegaron 20 vehículos, esta cantidad es independiente de la cantidad de vehículos que pueden llegar entre las 6:00 y las 7:00pm. * Si la probabilidad que llegue un vehículo en un lapso de tiempo de una hora es de un 80%, esa misma probabilidad se mantiene por periodos de tiempo de una hora. * Pero si el lapso de tiempo se reduce a la mitad la probabilidad también se reduce en la misma proporción. © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

13 Fórmula La distribución poisson al igual que la distribución binomial se puede calcular de diversas maneras como por ejemplo por medio de la función poisson o sea la fórmula que se observa en esta página. Además, se puede utilizar la herramienta de Excel, como se explicará en la próximo vista y utilizando las tablas de distribución poisson. En este taller se resolverán los ejercicios con Excel ya que es una manera fácil y rápida de obtener los resultados. © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

14 =POISSON Excel… En Excel se puede obtener la función de la distribución poisson que puede ser usada para calcular estas probabilidades. Por ejemplo: x media acumulado A continuación se explicará cada detalle de la función de distribución poisson usando Excel: * x = es el valor que se desea calcular. * media= es el promedio * acumulado = para establecer si deseamos un resultado acumulado escribimos “TRUE” y si deseamos un resultado individual escribimos “FALSE” Inmediatamente se puede observar el resultado. resultado © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

15 Ejemplo El número de apagones en una planta nuclear tiene una distribución poisson con una media de 6 apagones por año. Calcular: La probabilidad de que ocurran exactamente 3 apagones en un año. La probabilidad de que ocurran como mínimo 3 apagones al año. Lee cuidadosamente el problema e identifica la información relevante. © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

16 Ejemplo La probabilidad de que ocurran exactamente 3 apagones en un año. P(X=3) Media=6 En el problema hay que calcular la probabilidad de exactamente 3 apagones. Por tal motivo hay que determinar los valores que se colocarán en Excel. * x =3 * media = 6 * acumulado = FALSE porque deseo el valor individual y no acumulado. El resultado es Hay un 8.92% de probabilidad de que ocurran tres apagones en un año. © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

17 Ejemplo La probabilidad de que ocurran como mínimo 3 apagones apagones al año. P(x>3) ….. Este problema requiere que se determine la probabilidad que como mínimo ocurran tres apagones al año en una planta nuclear. Esto significa que son como mínimo tres apagones pero podrían ser más, pero no se sabe cuántos más. Sin embargo, de acuerdo a los requerimientos de la distribución de probabilidad discreta, la sumatoria de las probabilidades es igual a 1. Entonces, si se calcula la probabilidad acumulada de 2 apagones y se lo restamos a 1, se obtendrá el resultado de tres apagones o más. El resultado es la probabilidad es de un 93.8%. .938 .062 1 © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011

18 © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011
Fin Felicitaciones, culminaste con la presentación del Taller Cuatro. Te invito a realizar las tareas del Taller Cuatro. © Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2011