Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 1 Fundamentos de Control Borroso.

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1 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 1 Fundamentos de Control Borroso

2 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 2 Control borroso: Elementos básicos Borrosificación (Fuzzification) Base conocimientio (Rule-base) Mecanismo inferencia (Inference mechanism) Desborrosificación (Defuzzification) Proceso (Process) Controlador Borroso (Fuzzy Controller) Reference Input r(t) Inputs u(t) Outputs y(t) Inputs e(t) Entradas borrosificadas Conclusiones borrosas comparador

3 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 3  Tener un conocimiento exhaustivo de la planta.  Tener claras las especificaciones de diseño (son similares a las de un control convencional).  Elección de las entradas y salidas del controlador borroso.  Elección de las técnicas de pre-procesamiento de entradas y post-procesamiento de las salidas.  Diseño de cada uno de los cuatro bloques del controlador borroso.  Evaluar el comportamiento (utilizando técnicas matemáticas, simulación y experimentación). Hay que tener presente que un controlador borroso es un control no lineal. Control borroso: Procedimiento

4 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 4 Acciones básicas Diseño de un controlador borroso Fase 1 Objetivo: Péndulo invertido u y 2l Péndulo invertido Reference Input r(t) Inputs u(t) Outputs y(t)  Objetivo: actuando sobre el carro con una fuerza u(t) mantener la barra con y(t)=0 (posición vertical).  El controlador borroso debe automatizar el comportamiento que un experto humano utilizaría para alcanzar el “objetivo”.

5 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 5 Diseño de un controlador borroso Fase 2 Elección de entradas y salidas  Entradas: el experto humano determina qué entradas le ayudarán a tomar decisiones sobre la acción del controlador. En este caso p.ej.: e(t) = r(t)-y(t), de(t)/dt En general: e(t), de(t)/dt, ∫e(t)dt  Salida: fuerza aplicada al móvil u(t).  Valor de la referencia [r(t)]: parece lógico que r(t) =0. Controlador Borroso Péndulo invertido d/dt r e uy _ + El experto, a partir de su conocimiento de la planta, es el que realiza la descripción lingüística para el diseño del controlador

6 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 6  Variables y valores lingüísticos: Variables: “error”, “cambio de error”, “fuerza aplicada” Valores (para cada variable): “neg. grande” (NG), “neg. pequeño” (NP), “cero” (CE), “pos. pequeño” (PP), “pos. grande” (PG).  Reglas básicas: La cuantificación lingüística que el experto hace conduce a las reglas básicas (if-then). En general, con “m” entradas y “p” valores lingüisticos para cada una se tienen p m reglas básicas.  Base de conocimiento: Diseño de un controlador borroso Fase 3 variables, valores, reglas “Fuerza” u(t) “Cambio de error” NGNPCEPPPG “error” NGPG PPCE NPPG PPCENP CEPGPPCENPNG PP CENPNG PGCENPNG

7 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 7 Diseño de un controlador borroso Ejemplos de reglas Diseño de un controlador borroso Ejemplos de reglas u u u  If error es CE and cambio de error es PP Then fuerza es NP If error es PG and cambio de error es NP Then fuerza es NP  If error es NG and cambio de error es NG Then fuerza es PG e<0 e>0 de/dt>0 de/dt<0 de/dt>0 de/dt<0 Criterio de signos

8 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 8 - π/2 -π/4 π/4 π/2 e(t), (rad) NG NP CE PP PG - π/4 -π/8 π/16 π/8 π/4 de(t)/dt, (rad/sec) NG NP CE PP PG -30 -20 -10 10 20 30 u(t), (N) NG NP CE PP PG Diseño de un controlador borroso Fase 4 Funciones de pertenencia Se debe tener presente que –π/2≤e(t) ≤π/2

9 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 9 Diseño de un controlador borroso Fase 5 Borrososificación  Determina para cada valor natural de las entradas el grado en que pertenecen a cada valor lingüístico: funciones de pertenencia.  La entrada del borrosificador es siempre un valor numérico (limitado al universo de discurso de la variable de entrada) y la salida es un grado de pertenencia ( μ i (x) siempre en el intervalo de 0 a 1).  Ejemplo: Borrosificador (Tipo: singleton) e(t) = e 1 (t) = π/4 e(t) = e 2 (t) = 0 e(t) = e 3 (t) = - π/4 μ PP [e 1 (t)]= 1, μ PG [e 1 (t)]= μ CE [e 1 (t)]= 0 μ CE [e 2 (t)]= 1, μ PP [e 2 (t)]= μ NP [e 2 (t)]= 0 μ NP [e 3 (t)]= 1, μ CE [e 3 (t)]= μ NG [e 3 (t)]= 0 e(t)=π/8 - π/2 -π/4 π/4 π/2 e(t), (rad) NG NP CE PP PG μ CE = μ PP =0.5, μ NG = μ NP = μ PG = 0 0.5 1.0

10 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 10 Diseño de un controlador borroso Fase 6 Mecanismo de inferencia - π/4 -π/8 π/16 π/8 π/4 de(t)/dt, (rad/sec) NG NP CE PP PG Reglas activas las que tienen premisas: “error es CE” “cambio de error es CE” “cambio de error es PP” - π/2 -π/4 π/4 π/2 e(t), (rad) NG NP CE PP PG “Fuerza” u(t) “Cambio de error” NGNPCEPPPG “error” NGPG PPCE NPPG PPCENP CEPGPPCENPNG PP CENPNG PGCENPNG Reglas activas Ejemplo de determinación qué reglas están activas. Caso e(t) =0 y de(t)/dt =(3π)/32

11 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 11 μ premisa (1) = mín {1, 0.25}=0.25 -π/8 π/16 π/8 de(t)/dt CE -π/4 π/4 e(t) CE μ CE (e i ), μ CE (de i /dt) 0.25 Premisa(1): “If error es CE and cambio de error es CE” Premisa(2): “If error es CE and cambio de error es PP” μ premisa (2) = mín {1, 0.75}=0.75 π/16 π/8 π/4 de(t)/dt -π/4 π/4 e(t) CE μ CE (e i ), 0.75 PP μ PP (de i /dt) Conectiva and: mínimo Ejemplo de cuantificación de las premisas de las reglas. Caso e(t) =0 y de(t)/dt =(3π)/32 Diseño de un controlador borroso Fase 6 Mecanismo de inferencia Diseño de un controlador borroso Fase 6 Mecanismo de inferencia

12 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 12 Diseño de un controlador borroso Fase 6 Mecanismo de inferencia Diseño de un controlador borroso Fase 6 Mecanismo de inferencia π/16 π/8 π/4 - π/4 π/4 - π/4 e(t), (rad) En tanto el valor de las entradas cambien con el tiempo, lo harán los valores de las funciones de pertenencia, y por tanto los valores de las funciones de pertenencia multidimensional de las premisas de las reglas Función de pertenencia de la premisa 2

13 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 13 If error es CE and cambio de error es CE then fuerza es CE -π/4 π/4 e(t) CE μ CE (e i ), μ CE (de i /dt) 0.25 -10 10 u(t) CE -π/8 π/16 π/8 de(t)/dt If error es CE and cambio de error es PP then fuerza es NP -π/4 π/4 e(t) CE μ CE (e i ), 0.75 PP μ PP (de i /dt) -20 -10 10 u(t) NP μ regla_1 (u)= mín {μ permias(1), μ CE (u)} μ regla_2 (u)= mín {μ permias(2), μ NP (u)} 0.25 0.75 Diseño de un controlador borroso Fase 7 Obtención de conclusiones

14 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 14 Diseño de un controlador borroso Fase 8 Desborrosificación: COG CE 0.25 -10 10 u(t) NP 0.75 -20 -10 10 u(t) b i = centro de la función de pertenencia.  μ regla_i = área bajo las funciones de pertenencia: μ regla_1 (u) y μ regla_2 (u) -20 -10 10 u(t), (N) NP CE 0.75 0.25  μ regla _i u=-6.81

15 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 15  En este caso se puede ver que se cumple:  En la práctica hay que tener presente los límites mínimo y máximo de las variables de actuación.  Esos limites dependen tanto de las funciones de pertenencia definidas como del desborrosificador utilizado. -30 -20 -10 10 20 30 u(t), (N) NG NP CE PP PG Diseño de un controlador borroso Valores extremos de las salidas

16 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 16 μ premisa (i) -20 -10 10 u(t), (N) NP CE 0.75 0.25 -7.5 μ premisa(i) Diseño de un controlador borroso Fase 8 Desborrosif.: Centros ponderados CE -10 10 u(t) NP μ regla_2 (u) = 0.75μ NP (u) -20 -10 10 u(t) μ regla_1 (u) = 0.25μ CE (u) 0.75 0.25 mín prod

17 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 17 Control Borroso: Resumen 2. If and Then 1. If and Then Entrada 1 Entrada 2 ….. Salida Inferencia Premisa Agregación Desborrosificación

18 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 18 Aspectos formales de la Lógica Borrosa

19 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 19 Variables lingüísticas y valores  Las entradas e i y salidas u i del sistema borroso pertenecen a dominios precisos (crisp) denominados “universo de discurso” E i e U i.  Generalmente E i e U i coinciden con el conjunto de números reales. e 1 e 2... e n u 1 u 2... u m Entradas (crisp) Salidas (crisp) Borrosificación (Fuzzification) Base conocimientio (Rule-base) Mecanismo inferencia (Inference mechanism) Desborrosificación (Defuzzification) Controlador Borroso (conjunto borroso) Entradas borrosificadas Conclusiones borrosas

20 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 20 definida sobre el universo de discusión E i puede tomar La variable cualquiera de los valores del conjunto definida sobre el universo de discusión U q puede tomar La variable cualquiera de los valores del conjunto Ejemplo: si representa la variable velocidad, se puede tener el conjunto lingüístico (valores): Variables lingüísticas y valores

21 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 21  Tipos: SISO, SIMO, MISO, MIMO  Ejemplo de MIMO:  Equivalente con MISO: Reglas

22 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 22  Si E i es el universo de discurso de la variable, con valores lingüísticos definidos por, la función μ(e i ) asociada a los valores que mapea la correspondencia entre el universo de discurso E i y el conjunto de valores reales [0,1], se conoce como función de pertenencia.  La función de pertenencia describe la certeza (certidumbre) con que una variable lingüística puede ser catalogada como  El conjunto borrosos asociado a la función de pertenencia se expresa: Conjuntos borrosos, Funciones de pertenencia

23 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 23  Función de pertenencia: Definición: Sea E i el conjunto de discurso de la variable, con valores definidos por La función μ(e i ) asociada a los valores que establece la correspondencia entre E i y el conjunto de valores reales [0, 1] se conoce como función de pertenencia. ¿Qué describe?: la certeza (certidumbre) con que una variable lingüística puede ser catalogada como.  Funciones de pertenencia.  Expresión de conjunto borroso: El conjunto borroso asociado a la función de pertenencia se expresa como: Conjuntos borrosos, Funciones de pertenencia μ eiei

24 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 24 Gaussian membership functions Left Centers Right 1 e cLcL e c 1 c R e 1 Conjuntos borrosos, Funciones de pertenencia

25 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 25 Conjuntos borrosos, Funciones de pertenencia Triangular membership functions Left Centers Right ωLωL e cLcL 1 1 e ω ω c c-ω/2 c+ω/2 ωRωR e cRcR 1

26 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 26  AAA i A iii iiii eeeE 1212   min{(),():}  AND: La intersección de dos conjuntos borrosos definidos en el universo de discurso E i, es el conjunto borroso con función de pertenencia:  Mínimo:  Producto: Las dos funciones anteriores se suelen denominar “norma triangular” y se expresan como: Funciones de lógicas  AAA i A iii iiii eeeE 1212   {()():}

27 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 27  AAA i A iii iiii eeeE 1212   max{(),():}  OR: La unión de dos conjuntos borrosos, definidos en el universo de discurso E i, es el conjunto borroso con función de pertenencia:  Máximo:  Suma: Las dos funciones anteriores se suelen denominar “co-norma triangular” y se expresan como: Funciones de lógicas  AAA i A i A i A iii iiiiii eeeeeE 121212   {()()()():}

28 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 28 Funciones de lógicas  Complemento (NOT): El complemento de un conjunto borroso con función de pertenencia :  Producto cartesiano: Es una operación en la que intervienen conjuntos borrosos con diferentes universos de discurso, resultando la siguiente función de pertenencia:

29 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 29 Base de conocimiento  La base de conocimiento ha de ser: Completa: todas las posibles entradas del controlador han de tener su conclusión. Consistente: no puede haber conflicto entre conclusiones de diferentes reglas.  Número de reglas: Si todas las posibles premisas participan en las reglas, y el conjunto de reglas contempla todas las posibles combinaciones de premisas, el número de reglas es:  Ejemplo: n = 2, N 1 = 4, N 2 =6, número de reglas =24

30 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 30 Borrosificación 1 1 1 1 1 ……. Funciones de pertenencia eiei Borrosificador singleton eiei Borrosificador no singleton eiei

31 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 31 Mecanismo de inferencia 1.Determinar el alcance de las regalas relevantes para cada situación de las “n” entradas (matching o correspondencia):  Obtener las reglas activas de la base de conocimiento.  Calcular la función de pertenencia de la premisa de la regla activa. Para un borrosificador la certidumbre asociada a la premisa de la regla “i” se expresa mediante el producto cartesiano: 2.Establecer las conclusiones en función de las entradas y de las reglas de la base de conocimiento (paso de inferencia). (1) (2)

32 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 32 Desborrosificación  Objetivo: calcular la salida “u q crisp ” a partir de cada una de las reglas implicadas o a partir de todas simultaneamente.  Si se hace a partir de las conclusiones de las reglas individualmente procesadas (1), los métodos más utilizados son COG y ponderación de centros.  En el caso de implicación simultánea de las reglas (2), el “Criterio Máximos” es el más utilizado.

33 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 33 Desborrosificación: COG  Sea una base de conocimiento con R reglas. Sea b p q el centro del conjunto borroso de la función de pertenencia implicada por la regla (j, k, ….. l; p) i, y el área de dicha función de pertenencia:  La salida es: La función de pertenencia de los términos del consecuente de las reglas no se saturan en los extremos para asegurar un valor finito de la salida Hay que asegurar que el denominador sea distinto de cero

34 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 34 Desborrosificación Ponderación de centros  El cálculo de la salida se obtiene a partir de los centros de las funciones de pertenencia de los consecuentes de las reglas implicadas y el valor máximo de certeza de tales funciones de pertenencia.  Siendo el valor máximo de la función de pertenencia del consecuente “q” afectado por la regla “i”.

35 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 35 Desborrosificación Ejemplos …. b 1 b 2 b 3 b i b N u q …. b 1 b 2 b 3 b i b N u q

36 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 36 Desborrosificación Criterio Máximo  Esta estrategia tiene en cuenta todos los conjuntos borrosos implicados simultáneamente.  La salida es el punto del universo de discurso de salida para el que la función de pertenencia del conjunto borroso B q es el máximo. Donde arg sup x {μ(x)} devuelve el valor de x para el cual la función μ(x) presenta un máximo.  Ejemplo: -20 -10 10 20 u q μ regla_1 u q crisp = -20 μ regla_2 μ regla_3 μ regla_4

37 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 37 Desborrosificación Centro de áreas  Al igual que la estrategia del “criterio maximo”, tiene en cuenta todos los conjuntos borrosos implicados simultáneamente.  La salida, u crisp, se elige como el centro del área del universo de discurso de salida.  Para un universo de salida continuo, el centro del área es:  Un inconveniente de esta estrategia es que computacionalmente es caro.

38 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 38 2. If and Then 1. If and Then Entrada 1 Entrada 2 ….. Salida Inferencia Premisa Agregación Desborrosificación Sistemas tipo Mandani

39 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 39 Sistemas tipo Takagi-Sugeno  El elemento diferenciador de un sistema tipo Takagi-Sugeno radica en la expresión del consecuente de las reglas de la base de conocimiento.  En los sistemas tipo Sugeno el consecuente es una función (o varias funciones de salida caso de sistemas SIMO, MIMO) de las variables de entrada.  Generalmente la función f i (consecuente) se reduce a una constante o una relación lineal de las entradas.  Ejemplo:

40 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 40 Sistemas tipo Takagi-Sugeno  Para la evaluación AND se suelen utilizar operadores mínimo o producto.  Para la desborrosificación se suele utilizar:  Ejemplo: e 1 =0: u crisp =(2+0)0.5 + (1+0) 0.5 =1.5 e 1 ≥1: u crisp =1+e 1 e 1 ≥1: u crisp =2+e 1 -1 1 e 1 1 μ1μ1 μ2μ2

41 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 41 Sistemas tipo Sugeno: Resumen 2. If and Then 1. If and Then Entrada 1 Entrada 2 ….. Salida Inferencia Premisa Agregación Desborrosificación

42 Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 42 Comparación: Sugeno vs Mamdani  Ventajas sistema Sugeno:  Eficiente en términos de computación. Funciona bien con técnicas lineales (PID por ejemplo). Funciona bien con técnicas de optimización y adaptativas Garantiza la continuidad en la superficie de salida del sistema. Se adapta mejor al análisis matemático.  Ventajas sistema Mamdani: Es más intuitivo. Está ampliamente aceptado. Se adapta mejor al lenguaje humano.