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Publicada porÁlvaro Candella Modificado hace 9 años
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Departament d’Estadística Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques Generación de números aleatorios Programa de doctorado en Biometría y Estadística Simulación numérica de modelos estocásticos
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Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 2 Contenido: ¿Qué entendemos por secuencia de números aleatorios? Cómo se generan n. aleatorios Generadores congruenciales lineales Propiedades de los GCL Otros tipos de generadores –De Tausworthe (“feedback shift register”) –“Barajados” (??) (“shuffled”)
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Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 3 ¿Qué entendemos por secuencia de números aleatorios? En teoría, realización de secuencia de v.a. R 1, R 2,..., R n,... iid, R i U(0,1) En la práctica criterios menos estrictos: –n-distributividad: todas las n-tuplas {(R i, R i+1..., R i+n-1 )} uniformes sobre (0,1) n –(k,n)-distributividad: cada k-ésima subsecuencia de longitud n uniforme (0,1) n p.e. (5,2) seria {(R 5i,R 5i+1 )}, {(R 5i+1,R 5i+2 )}, {(R 5i+2,R 5i+3 )}, {(R 5i+3,R 5i+4 )}, {(R 5i+4,R 5i+5 )} uniformes sobre (0,1)x(0,1)
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Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 4 Cómo se generan n. aleatorios Dispositivos físicos “aleatorios” (ruletas, contadores de rayos cósmicos,...) ± auténticamente aleatorios no repetible, difícil conexión con programas Algoritmo recursivo (determinista) repetible (total control sobre la secuencia generada), informáticamente “natural” “pseudoaleatorio”, limitaciones intrínsecas a aleatoriedad: ciclos, autocorrelación,...
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Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 5 Generadores congruenciales lineales (GCL) Producen secuencia de enteros no negativos {X i }, 0 £ X i < m-1, a partir de semilla inicial X 0, mediante Y secuencia de “números aleatorios” mediante R i = X i /m, R i Î [0,1) módulo multiplicador incremento
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Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 6 Propiedades de los GCL A pesar de sus limitaciones son los más usados (y mejor conocidos): –Período: menor entero k tal que X k =X 0 (¡y la secuencia se repite!). Siempre k £ m. –Período completo sii k = m. Condición necesaria y suficiente (Hull y Dobell): c primo respecto de m (a-1) múltiplo de q, para todo factor primo q de m (a-1) múltiplo de 4, si m lo es
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Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 7 GCL mixtos (c > 0) Ordenadores binarios: si m = 2 b, mod es simple desplazamiento de bits. Si 32 bits: m = 2 31 o m = 2 32 (período alcanzable 4,29 · 10 9 ), (16 bits período alcanzable 2 15 =32767 o 2 16 =65534) En este caso período completo si c impar y (a-1) múltiplo de 4. Pega: período de los últimos d bits también del orden de 2 d
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Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 8 GCL multiplicativos (c = 0) 1ª condición de Hull y Dobell imposible de cumplir nunca período completo. Recomendable m primo. Si a es un elemento primitivo módulo (EPM) m período igual a m-1 (Knuth) Escoger m primo lo más grande posible (cerca de 2 b, b núm. bits) y a EPM m m primo y m = 2 h -1 (primo de Mersene) mod eficiente (ideal h=b)
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Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 9 Los tres tipos de GCL en el software actual Información escasa, en general: Tipo A: mixtos de período completo, m = 2 b, a-1 múltiplo de 4, c impar (NAG?) Tipo B: multiplicativos de período máximo dado m (es decir, período m-1), m primo, a elemento primitivo modulo m (Simpscript II) Tipo C: multiplicativos, m=2 b, a-5 múltiplo de 8, período = m/4.
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Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 10 Propiedades estadísticas calculables teóricamente Autocorrelación: solamente algunas cotas, complicadas y no muy útiles. Estructuras de mayor orden (n-distributividad) propiedades en general muy malas en este tipo de generadores, especialmente para pocos bits.
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Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 11 Otros tipos de generadores Generador lineal congruencial general No hay repetición hasta que Potencialmente, período máximo m p - 1. p=2, a 1 =a 2 =1: de Fibonacci (muy malos)
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Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 12 Generadores de Tausworthe. I Caso de generador lineal congruencial general con m primo. Período máximo si x p - a 1 x p-1... - a p es un polinomio primitivo módulo m Tausworthe: si m=2: secuencia de bits, a i = 0 ó 1. Suelen emplearse trinomiales de forma x p + x q + 1, p > q recurrencia:
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Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 13 Generadores de Tausworthe. II Posteriormente estos bits agrupados en enteros de longitud L (L p), según bits por entero deseados. Q bits de espacio para siguiente entero (Q L). Más independientes de la máquina Propiedades estadísticas de primer y segundo orden y n-distributividad mucho mejores que en congruenciales.
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Dep. d’Estadística. Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques 14 Otros métodos “Shuffled”: propuestos diversos algoritmos para “barajar” de alguna manera la salida de otro generador. Otra posibilidad es combinar generadores, p.e. mediante xor –Se puede demostrar que si X i e Y i son aleatorias, Z i = X i xor Y i también lo es Poco conocidos teóricamente, principal ventaja parece mejor n-distributividad
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