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NUMEROS ALEATORIOS Por Gabriela Correa Correa Juan Pablo Gil Restrepo Santiago Hoyos.

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1 NUMEROS ALEATORIOS Por Gabriela Correa Correa Juan Pablo Gil Restrepo Santiago Hoyos

2 Que son? Son numeros que deben de cumplir los requisitos de espacio equiprobable, es decir, que todo elemento tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la elección de uno no dependa de la elección del otro.

3 ¿Qué son los números pseudoaleatorios? Son unos números generados por medio de una función (determinista, no aleatoria) y que aparentan ser aleatorios.

4 ¿Por qué hay que recurrir a los números pseudoaleatorios? Fundamentalmente porque las sucesiones de números pseudoaleatorios son más rápidas de generar que las de números aleatorios.

5 Generación de Semillas es una tarea difícil de llevar a cabo, por lo que se opta por generar números pseudoaleatorios, es decir, números que están cerca de ser aleatorios

6 Aplicaciones En la vida cotidiana se utilizan números aleatorios en situaciones como pueden ser los juegos de azar, Matemática Aplicada, Análisis Numérico, criptografía, etc.

7 ALGORITMO GENERADOR DE BITS PSEUDOALEATORIOS Entrada: Dos primos p,q, elegir e, tal que mcd (e, )=1, donde =(p-1)(q-1). Una semilla x 0 [1,n-1] Algoritmo: a) Para j=1 hasta k: a1) x j =(x j-1 ) e mod n a2) z j =el menor bit significativo de x j Salida: La sucesión z 1, z 2, …, z k.

8 EL GENERADOR BBS (BLUM BLUM SHUB) Elegir dos grandes primos p y q que al ser divididos por 4 den residuo 3 Sea n el producto de p por q Se elige un número aleatorio x primo como la semilla inicial para el generador s 0 = x 2 mod n s i+1 = si 2 mod n Se toman unos pocos bits del final de s i Se recomienda no usar log 2 (log 2 s i )

9 GENERADOR DE DSA (DIGITAL SIGNATURE STANDARD) Toda la aritmética se puede realizar en módulo 2 N, donde 160<=N<= El generador mantiene un estado interno xi que varía constantemente 2. El generador admite una entrada opcional W i, se asumirá que es cero cuando no se produzca 3. Cada salida se produce de la siguiente manera: a) Salida (i) = hash (W i + x i mod ) x i+1 = x i + salida (i) + 1 mod 2 160

10 GENERADOR DE CONGRUENCIA INVERSA X n = a (X n-1 ) -1 + b Mod m donde X -1 denota el inverso multiplicativo, es decir X(X -1 )=1 El periodo máximo es m X 2 -bX- a es un polinomio primitivo, el generador devuelve una secuencia de periodo máximo

11 GENERADOR DE CONGRUENCIA LINEAL COMBINADA Toma la salida de dos generadores diferentes básicos, para crear una nueva secuencia aleatoria. X i =(A 1 X i-1 +C 1 ) mod M 1 Y i =(A 2 Y i-1 +C 2 ) mod M 2 Z i =(X i +Y i ) mod max (M 1,M 2 ) Donde X, Y son secuencias de dos generadores de congruencia lineal independientes

12 GENERADOR LAGGED - FIBONNACI X n =(X n-j X n-k ) mod M donde j < k, M = 2 m es cualquier operador binario Periodo maximo (2 k – 1) 2 m-1

13 CONSIDERACIONES MÉTODOSVENTAJASDESVENTAJAS ManualesFacil generaciónLentos, simples y poco prácticos TablasFácil implementación Lentos y no reproducibles Comp Analógica Rápidos verdaderos No reproducibles Comp DigitalRápidosNo son verdaderos

14 MétodosVentajasDesventajas Lagged - FibonnaciPopular en procesamiento serial y paralelo, reduce la correlaciones, e incrementa el periodo de los GLC, se puede implementar con números en punto flotante. Necesita almacenar una tabla con parte de la serie de números Generador de Congruencia Inversa. Fácil escogencia de los parámetros costoso para realizar el proceso del inverso modular y desconocimiento Generador Congruencial Lineal Combinada Fácil de implementarVelocidad y consumo de memoria en comparación con el GLC Generación DecimalRápido, fácil de programarCorrelaciones de series y múltiplos Blum-Blum-Shub Estadísticamente bueno, simple, se puede calcular cualquier valor sin necesidad del anterior. Requiere de varios cálculos, consumo alto de memoria

15 MétodosVentajasDesventajas Cuadrados centralesFácil generaciónDifícil de analizar, lento, presenta problemas estadísticos Congruenciales lineales Programación, Uniformidad Independencia, reproducibles, bajo consumo de memoria Prueba estadística, totalmente determinísticos, presenta ciclos – este depende de la selección de los parámetros - AditivoRápido y fácil de implementar Periodos mayores que el módulo MultiplicativoSatisface estadísticamente, rápido, y bajo consumo de memoria, mayor grado de aleatoriedad. Presenta un periodo inferior al Mixto. Mixto –Lethmer-Mejor que el anterior, pérdida de periodicidad de los últimos dígitos. Es decir de periodo completo Tiene ciclos, algunas salidas parecen más aleatorias que otras


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