Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de la incertidumbre Tema 2. Incertidumbre y Probabilidad Indice 1) Sucesos Aleatorios. 2) Espacio Muestral.

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1 Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de la incertidumbre Tema 2. Incertidumbre y Probabilidad Indice 1) Sucesos Aleatorios. 2) Espacio Muestral. 3) Operaciones con Sucesos. 4) Enfoques de la Probabilidad. 5) Axiomas de Kolmogorov. 6) Axiomas de la Probabilidad Subjetiva. 7) Resultados Básicos con Probabilidades. 8) Variables Aleatorias. 9) Educción de Probabilidades.

2 Modelización de la incertidumbre Resultados Básicos con Probabilidades Probabilidades condicionadas: P( A | B) = P(A  B) / P(B), P( B | A) = P(A  B) / P(A), P(A | B  C) = P(A  B  C) / P(B  C),…. (E, A, P(. | B)) espacio de probabilidad condicionado a B   (E), P(B) > 0. Probabilidad de la intersección  Regla de multiplicación o T ma de producto P(A  B) = P(A | B) P(B) = P(B| A) P(A) P(A  B  C) = P(A) P(B | A) P(C | A  B) = P(B) P(A | B) P(C | A  B),…. Independencia e independencia mutua. P( A | B) = P(A), P( B | A) = P(B),  P(A  B) = P(A) P(B) P(A  B  C) = P(A) P(B) P(C), P(A  B) = P(A) P(B), P(A  C) = P(A) P(C), P(B  C) = P(B) P(C), en general, 2 n -1 condiciones necesarias y suficientes para la independencia de n sucesos. Teorema de la Probabilidad Total 1. A 1,..A n, n sucesos tales que A i  A j = , i  j,   i=1 A i = E y se conocen P(A i ), 2. B   (E), tal que se conocen (B | A i )  P(B) = P(B  E) = P( B  (   i=1 A i )) =   i=1 P(B | A i ) P(A i ) {A i }  i=1  A: partición o sistema completo de sucesos

3 A, B y C  (E, A, P) Probabilidad de la unión: P(A  B) = P(A)+P(B)-P(A  B) P(A  B  C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A  B)-P(A  C)-P(B  C)+P(A  B  C) Probabilidades conjuntas: P(A  B), P(A  ¬B), P(¬A  B), P(¬A  ¬B) 2 2 sucesos Incompatibles. Tabla de doble entrada, dos dimensiones. P(A  B  C), P(A  B  ¬C), P(A  ¬B  C), P(A  ¬B  ¬C) P(¬A  B  C), P(¬A  B  ¬C), P(¬A  ¬B  C), P(¬A  ¬B  ¬C). 2 3 sucesos Incompatibles. Tabla de triple entrada, tres dimensiones. Probabilidades marginales (sucesos incompatibles, suma por dimensiones): P(A) = P(A  B  C)+P(A  B  ¬C)+P(A  ¬B  C)+P(A  ¬B  ¬C) P(A) = P(A  B  C  A  B  ¬C)+P(A  ¬B  C  A  ¬B  ¬C) P(A) = P(A  B  (C  ¬C)) + P(A  ¬B  (C  ¬C)) P(A) = P(A  B  E)+P(A  ¬B  E) = P(A  B  A  ¬B ) = P(A  E) = P(A) Modelización de la incertidumbre Resultados Básicos con Probabilidades

4 Modelización de la incertidumbre Resultados Básicos con Probabilidades Árboles de probabilidades Herramienta de cálculo de probabilidades, Factorización de la probabilidad conjunta Experimentos estructurados en etapas Diagrama de árbol de la regla de multiplicación (regla de la cadena) Ciertas direcciones de asignación son más sencillas, causalidad. P(A,B,C)=P(A)*P(B|A)*P(C|A,B) P(A,B,C)=P(C)*P(B|C)*P(A|B,C) Posibles alternativas para factorizar y calcular la probabilidad. P(T1)=0.7, P(T2)=1-P(T1), P(Abs|T1)=0.4,P(Abs|T2)=0.8 T1 T2 Abs Ind Abs Ind P(Ind)=?

5 Modelización de la incertidumbre Resultados Básicos con Probabilidades Árboles de probabilidades EJEMPLO: Cadena de tiendas. Tres marcas de grabadoras de DVD: M1 M2 M3. Ventas 50%, 30% y 20%, respect. Un año de garantía. 25% de M1, 20% de M2, 10% de M3 tienen avería en el periodo de garantía. R: necesita reparación M1 M2 M3 R R R ¬R 0.5 0.3 0.2 0.25 0.75 0.2 0.8 0.1 0.9 P(R | M1) P(M1) = P(R  M1) = 0.125 P(R | M2) P(M2) = P(R  M2) = 0.06 P(R | M3) P(M3) = P(R  M3) = 0.02

6 Modelización de la incertidumbre Resultados Básicos con Probabilidades Revisión de juicios y teorema de Bayes. Interpretación de pruebas diagnósticas y toma de decisiones La dependencia entre sucesos conduce a modelos más complejos pero da la oportunidad de aprender Proceso diagnóstico: 1.Observación y formulación e hipotesis 2.Observación de nuvos datos (pruebas) 3.Revisión de las creencias en las hipotesis (Teorema de Bayes) 1. Probabilidad a priori, juicio inicial (antecedentes, exploración, experiencia, literatura,…): 2ª opinión, Heurísticas cognitivas: asignaciones sesgadas, combinación de Probabilidades objetivas y subjetivas (+imprecisión) 2. Test diagnóstico para reducir la incertidumbre 3. Probabilidad a posteriori (Bayes)

7 Modelización de la incertidumbre Resultados Básicos con Probabilidades Revisión de juicios y teorema de Bayes. Observaciones  Juicio Inicial  1. Hipótesis: Probabilidades a priori  2. Conocimiento Experto, Protocolo SRI, Heurísticas y Sesgos, Imprecisión  3. Nuevos datos y resultados  revisión de las Hipótesis: a posteriori Precisión de los resultados de una prueba o test. Tabla de contingencia. CausaPreAus R: resultados totales TestPosVPFP R = VP+FN+FP+VN NegFNVN Marginales:P(Causa=Presente) = (VP+FN)/R, P(Test=Pos) = (VP+FP)/R Rendimiento del Test - Medidas de Concordancia | Discordancia, tasas: Sensibilidad TVP = VP / (VP+FN) TFP = FP / (VN+FP) = 1-TVN Especificidad TVN = VN / (FP+VN) TFN = FN / (VP+FN) = 1-TVP

8 Modelización de la incertidumbre Resultados Básicos con Probabilidades Revisión de juicios y teorema de Bayes. Pruebas: Resultado Positivo (antagonismo de tasas: +TVP → -TVN) Decisión: mejor un FP ó mejor un FN?, depende! Minimizar el % de errores p* ponderado con un coste asociado al error En general, considerar costes por cometer errores y otros factores como riesgos, malestar, demoras,…

9 Modelización de la incertidumbre Resultados Básicos con Probabilidades Ejemplo clínico: Test de tolerancia a esfuerzo, criterio de resultado +: caida 1mm del segmento TS (electrocardiograma)  punto de decisión EnfermPreAustotal TestPos840117957 Neg210333543 total10504501500 Sensibilidad TVP = 80%, Especificidad TVN = 74%, TFN = 20%, TFP = 26% Si cambia el criterio cambia TVP y TVN. 2mm TVP , TVN , es más estricto El rendimiento del test depende del punto de decisión, que depende del problema, objetivos del test y tratamientos. enfermedad rara: alta especifidad, enfermedad grave + terapia segura: mínimo de falsos negativos enfermedad leve + terapia de riesgo: mínimo de falsos positivos

10 Modelización de la incertidumbre Resultados Básicos con Probabilidades Curva ROC (Receiver Operator Characteristic) Relación entra tasas de verdaderos y falsos positivos al variar el punto de corte Decisión del punto de corte óptimo Criterio restrictivo: curva-izq-baja, menos sensible test confirma la hipótesis Criterio relajado: curva-der-arriba, más sensible test descarta la hipótesis Comparación de varios test de una enfermedad Curva dominante en el test que discrimina más Otros factores (coste, riesgo, disponibilidad,…) para elegir un test diagnóstico TFP(1-especif) TVP(sensib)

11 Modelización de la incertidumbre Resultados Básicos con Probabilidades Teorema de Bayes: actualización de creencias. A: enfermedad presente / ausente. B: a priori. C: condicionado al test T(+/-). Presente Ausente Presente Ausente P(S i | R) = P(S i  R) / P(R) = definición de probabilidad condicionada y teorema probabilidad total = P(R | S i ) P(S i ) / P(R) = P(R | S i ) P(S i ) / (  n i=1 P(R | S i ) P(C i )) (E, A, P), R  A S i : sistema completo de sucesos, P(S i ) > 0 S i causas (avería, enfermedad, tratamiento,…), R efecto (evidencia, observación, prueba, test,…)

12 Modelización de la incertidumbre Resultados Básicos con Probabilidades Teorema de Bayes: actualización de creencias. A: enfermedad (presente / ausente). Test T(+/-). P(A) = 0.77,P(¬A) = 0.22 P(T+| A) = 0.71,P(T+| ¬A) = 0.15 P(T-| A) = 0.29,P(T-| ¬A) = 0.85 P(T+) = (P(T+| A) P(A)+P(T+| ¬A) P(¬A)) = 0.579. P(T-) = (P(T-| A) P(A)+P(T-| ¬A) P(¬A)) = 0.410. P(A| T+) = P(T+| A) P(A) / P(T+) = 0.71*0.77 / (0.71*0.77+0.15*0.22) = 0.943 P(¬A| T+) = P(T+| ¬A) P(¬A) / P(T+) = 0.15*0.22 / (0.71*0.77+0.15*0.22) = 0.056 P(A| T-) = P(T-| A) P(A) / P(T-) = 0.29*0.77 / (0.29*0.77+0.85*0.22) = 0.544 P(¬A| T-) = P(T-| ¬A) P(¬A) / P(T-) = 0.85*0.22 / (0.29*0.77+0.85*0.22) = 0.455 P(T+)+P(T-)=1.0. P(A|T+)+P(¬A|T+)=1.0. P(A|T-)+P(¬A|T-)=1.0. Interpretación