Hasta ahora: Lógica Proposicional. q. p:-q. r:-p. ------ ?-r. Si tienes un jaguar, conduces rápido. Tienes un jaguar. Es cierto que conduces rápido? p:-q.

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1 Hasta ahora: Lógica Proposicional. q. p:-q. r:-p. ------ ?-r. Si tienes un jaguar, conduces rápido. Tienes un jaguar. Es cierto que conduces rápido? p:-q. q. ------ ?-p. Lógica de predicados

2 Pero… Todos los alumnos de Lógica tienen un jaguar. Prolog: tiene(X,jaguar):-alumno(X,lógica). CP0: alumno_lógica->tiene_jaguar. Necesitamos: - predicados y funciones, - variables y constantes.

3 Pero… CP0: alumno_lógica->tiene_jaguar. CP1: alumno(X,lógica)->tiene(X,jaguar). Cual es la diferencia entre: Todos los alumnos de Lógica tienen un jaguar. Existe un alumno de Lógica que tiene un jaguar. Necesitamos: –cuantificadores:  X(alumno(X,lógica)->tiene(X,jaguar)).  X(alumno(X,lógica)->tiene(X,jaguar)).

4 Lógica de predicados (CP1) CP1 es una extensión de CP0 incluyendo las funciones, predicados, constantes, variables y cuantificadores. –Necesitamos redefinir sus componentes: Lenguaje Semántica Sistema formal

5 Lenguaje de CP1 El alfabeto  del lenguaje CP1 contiene: –Un conjunto de símbolos constantes {a1,a2,a3,…} –Un conjunto de variables: {x1,x2,x3,…} –Un conjunto de símbolos de funciones: {f1 m1,f2 m2,…} –Un conjunto de predicados: {p1 n1,p2 n2,…} –Un conjunto de conectivas lógicas { , , ,  } –Los cuantificadores { ,  } –Los símbolos de puntuación: {,, (, ) } La aritad de las funciones y predicados determinan el número de argumentos: f 2 => f(a1,a2)

6 Lenguaje CP1 Los elementos del lenguaje son: –Los términos Una constante Una variable El resultado de aplicar una función a tantos argumentos cuanto es su aritad Ejemplo: + 2 ( * 2 (x,x)1) Las fórmulas – son los elementos del lenguaje que se pueden evaluar

7 Que es una fórmula en CP1 Una fórmula atómica – un predicado aplicado a tantos términos cuanto es su aritad Df: Df: Una fórmula es: –Cada fórmula atómica es una fórmula –Si A y B son fórmulas,  A, A  B,A  B,A  B son fórmulas. –Si x es una variable y A es una fórmula,  xA y  xA son fórmulas. –No hay otra forma de componer fórmulas. Nota: Nota: Fijémonos, podemos cuantificar solo variables! Es un cálculo proposicional de I orden.

8 Cuantificación de las variables Df: Df: El campo del cuantificador es la fórmula atómica o cuantificada o en paréntesis que sigue inmediatamente la variable cuantificada.  xA  B,  x(A  B), Df. Una variable es ligada si sigue un cuantificador o pertenece al campo de un cuantificador  xA(x)  B(x),  x(A(x)  B(x)), Df. Df. Una variable es libre si no es ligada. Ejemplo:  xp(x,y)

9 Cuantificación de las variables  x  yA(x,y)  B(x,y),  x(A(x,y)   yB(x,y)), Son fórmulas de CP1?!: –  x (x  p(x)), –pq –  p  x  y (p(x)  p(y))

10 Clasificación de las fórmulas Df. Df. Fórmulas base: no contienen variables Df. Df. Fórmulas cerradas (enunciados): todas las variables están ligadas Df. Df. Fórmulas abiertas: alguna variable esta libre Nota: Para poder evaluar, necesitamos trabajar con fórmulas cerradas (enunciados). Df. Df. Matriz de una fórmula es la fórmula que sigue el cuantificador y la variable Ejemplo:  x  y (p(x)  p(y))

11 “No existe en la humanidad ninguna persona mas importante que Mister Dólar.” Ejercicio

12 Traduzcamos los siguientes ejemplos: “No existe en la humanidad ninguna persona mas importante que Mister Dólar.”   x(persona(x)  mas_importante(x,Mister$))  x(persona(x)   mas_importante(x,Mister$))  x(  persona(x)   mas_importante(x,Mister$))  x(  (persona(x)  mas_importante(x,Mister$))) Ejercicio

13 Traduzcamos los siguientes ejemplos: “Todas las cosas no negras no son cuervos.” Ejercicio

14 Traduzcamos los siguientes ejemplos: “Todas las cosas no negras no son cuervos.”  x(  negro(x)   cuervo(x))  x(  negro(x)  cuervo(x))  x(negro(x)   cuervo(x)) Ejercicio

15 Traduzcamos los siguientes ejemplos: “Ningún pájaro blanco llegara al Polo Sur”.

16 Ejercicio Traduzcamos los siguientes ejemplos: “Ningún pájaro blanco llegara al Polo Sur”.

17 Ejercicio Traduzcamos los siguientes ejemplos: “Ningún pájaro blanco llegara al Polo Sur”.  x (pájaro(x)  blanco(x)  llegara (x,PoloSur)), o  x (pájaro(x)  blanco(x)   llegara(x,PoloSur))  x (  pájaro(x)   blanco(x)   llegara(x,PoloSur))

18 Ejercicio Traduzcamos los siguientes ejemplos: “Entre cada par de vecinos, uno molesta.”

19 Ejercicio Traduzcamos los siguientes ejemplos: “Entre cada par de vecinos, uno molesta.”  x  y(vecinos(x,y)  molesta(x)  molesta(y))  x  y(  vecinos(x,y)  molesta(x)  molesta(y))

20 Semántica de CP1 Df. Df. Interpretación A=(D,I) de un lenguaje CP1 consiste en: –Un conjunto D no vació que denotaremos dominio o universo de la interpretación –Una aplicación I tal que: A cada constante a le hace corresponder un elemento I(a) de D A cada función n-aria f le hacer corresponder una aplicación f: D n -> D. A cada predicado n-ario p le asigna una relación (subconjunto) de D n p.e. padre -> {(x,y)  D | x es padre de y}

21 Semántica de CP1 Dada una interpretación A, una fórmula cerrada será falsa o cierta. Una fórmula abierta puede ser falsa o cierta, dependiendo de la cuantificación de las variables. Para tratar las variables libres, necesitamos una valoración es decir una aplicación que a cada variable libre le asigna un valor. Ejemplo: G=p(a,f(b,c)), la interpretación A=(D,I) donde D representa el conjunto de números naturales y la aplicación I es I(a)=2, I(b)=4, I(c)=6, I(f)=+, I(p)={(m,n) |m>n }

22 Ejemplo: Ejemplo: F=  x p(x,f(x))  q(g(a,z)), I(a)=2, I(f)=suc, I(g)=+, I(p)={(m,n)|m<n}, I(q)={m natural|m es primo}, Tenemos z – variable libre. Calcular el valor de la fórmula si utilizamos la valoración  (z)=3. Y si  (z)=2?! Df. Df. Si tenemos una interpretación A=(D,I) y una valoración  de las variables libres, la semántica de un termino es: –Si t es una constante, será I(t). –Si t es una variable libre, será  (t). –Si t es de la forma f(t 1,t 2,…t n ), será I(f)(I(t 1 ),I(t 2 ),…I(t n )).

23 Df Df. La semántica de una fórmula F por (A,  ) es: –Si F=p(t 1,t 2,…t n ), I(F)=1 sii I(p)(I(t 1 ),I(t 2 ),…I(t n )) es cierta y 0 en caso contrario. –Si F=  A, donde A es una fórmula, I(F)=1 sii I(A)=0 y viceversa. –Si F= A  B, donde A y B son fórmulas, I(F)=1 sii I(A)=1 y I(B)=1 y viceversa. –Si F= A  B, donde A y B son fórmulas, I(F)=1 sii I(A)=1 o I(B)=1, y viceversa. –Si F= A  B, donde A y B son fórmulas, I(F)=0 sii I(A)=1 y I(B)=0, y viceversa. –Si F=  x A(x), I(F)=1 sii  u  D, A(u)=1 y viceversa. –Si F=  x A(x), I(F)=1 sii  u  D, A(u)=1 y viceversa

24 Modelos en CP1 Df. Un modelo de una fórmula F es una interpretación A de la fórmula que la hace cierta. Decimos que F se satisface para la interpretación A.  A F Una fórmula es insatisfactible, si no tiene modelos. Una fórmula es satisfactible, si tiene modelos. Una fórmula es valida, si se satisface para cada interpretación.  F

25 Modelos en CP1 Dado un conjunto de fórmulas Г={F1,F2,…Fn}, decimos que A es un modelo de Г sii es un modelo de todas las fórmulas. Df. Df. A es un modelo de Г={F1,F2,…Fn} si A(F1  F2  …  Fn)=1 Un conjunto de fórmulas es satisfactible, si tiene por lo menos un modelo. Sino, es un conjunto contradictorio o insatisfactible.

26 Df. Df. Dado un conjunto de fórmulas Г={F1,F2,…Fn}, decimos que una fórmula es consecuencia lógica de Г, (o Г implica semánticamente B) sii cualquier modelo de Г es modelo de B.Propiedades: Prop. Prop. Una fórmula F es valida sii  F es insatisfactible. Prop. Prop. Г  B sii Г  B es insatisfactible. Prop. Prop. F1,F2,…Fn  B sii F1,F2,… Fn-1  (Fn  B) Df. Df. Dos fórmulas A y B son semánticamente equivalentes (A  B) sii A  B y B  A. Prop. Prop. Si C B es una fórmula que contiene B como subfórmula y B  D, entonces C B  C D.

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28 Sistemas formales en CP1 Nuestro objetivo es demostrar –Г ={F1,F2,…Fn}  B Para este objetivo utilizamos el teorema: Г  B sii Г  B es insatisfactible e.d. F1  F2  …  Fn  B es insatisfactible Lo podemos demostrar de dos maneras: –Semánticamente (p.e. utilizando la tabla de verdad) –Formalmente: F1  F2  …  Fn  B |- Ǡ siempre y cuando tenemos un sistema formal que sea sólido y completo por refutación

29 Ejemplo Para demostrar:  x gusta_nieve(x)->gusta_montanya(x) gusta_nieve(joan) ------------------  y gusta_montanya(y) Hemos de demostrar que es absurdo: gusta_nieve(joan)   x gusta_nieve(x)-> gusta_montanya(x)   y gusta_montanya(y) Pero como podemos demostrarlo?! Podemos utilizar la algebra de Boole?! Podemos utilizar el sistema formal basado en la resolucion?!

30 Equivalencias y leyes en CP1 Leyes de Morgan: “No existe ningún pájaro que llegue al horizonte” “Todos los pájaros no llegan al horizonte”  xF  x  F “No existe ninguna persona mas importante que Mister$” “No es cierto que a todos les apetece la opera”  xF  x  F “A todos les gusta el sol y hace buen tiempo” es eqivalente a “Para todos podemos decir que: les gusta el sol y hace buen tiempo” Si la variable x no figura en la fórmula G podemos decir:  xF(x)  G   x(F(x)  G)  xF(x)  G   x(F(x)  G)  xF(x)  G   x(F(x)  G)  xF(x)  G   x(F(x)  G)

31 Resumen de las equivalencias y leyes en CP1 Leyes de Morgan:  xF  x  F  xF  x  F Si la variable x no figura en la fórmula G podemos decir:  xF(x)  G   x(F(x)  G)  xF(x)  G   x(F(x)  G)  xF(x)  G   x(F(x)  G)  xF(x)  G   x(F(x)  G)  xF(x)   xG(x)   x(F(x)  G(x))  xF(x)   xG(x)   x(F(x)  G(x))  x  yG(x,y)   y  xG(x,y)  x  yG(x,y)   y  xG(x,y)

32 Equivalencias y Leyes Es equivalente decir: “A todos los gusta ir a cine y a todos les gusta la coca-cola” “ A todos les gusta: ir al cine y la coca-cola”  xF(x)   xG(x)   x(F(x)  G(x)) “Aqui hay gente con pelo rizado o hay gente con ojos azules.”  xF(x)   xG(x)   x(F(x)  G(x)) “A todas las personas todos los días les gusta ir al mar.” “Es cierto que todos los días a todas las personas les gusta ir al mar?!”  x  yG(x,y)   y  xG(x,y) “Existen plantas y existen animales que comen plantas.” “Es cierto que existen animales y plantas tales que los animales comen estas plantas?!”  x  yG(x,y)   y  xG(x,y)

33 Equivalencias y Leyes Pero!  xF(x)   xG(x)  x(F(x)  G(x)) Cada día como pizza o cada día como bocadillo. Es cierto que cada día como pizza o bocadillo?! Todas las fichas son blancas o negras. Es cierto que todas las fichas son blancas o todas las fichas son negras?!  xF(x)   xG(x)   x(F(x)  G(x))  xF(x)   xG(x)  x(F(x)  G(x)) Existen colores que les gustan a la gente y además son fuertes. Es cierto que existen colores que les gustan a la gente y que existen colores que son fuertes?! Existen días buenos y malos. Es cierto que existen días que son buenos y malos?!  xF(x)   xG(x)   x(F(x)  G(x))

34 Equivalencias y Leyes  x  yG(x,y)  y  xG(x,y) Existe un coche que a todos les gusta. Es cierto que para todos existe un coche que les gusta?! Para cada numero y existe un numero x que es sucesor de y. Existe un numero x tal que para cada numero y, x es sucesor de y?!  x  yG(x,y)   y  xG(x,y)

35 Ejercicios Ejercicio 1: Escribir la fórmula equivalente a:  (  x p(x,y)   x q(x))   w p(f(a,w)) sacando los cuantificadores adelante. Ejercicio 2: Escribir la fórmula equivalente a:  x  y p(x,f(y))   y (q(x,y)  r(x)) sacando los cuantificadores adelante.

36 Formas Normales para CP1 Df. Df. Una fórmula es en Forma Normal Prenexa (FNP) si tiene la forma: Q 1 x 1 Q 2 x 2 …Q n x n F donde Q i  { ,  } y F no contiene cuantificadores. Teorema: Teorema: Toda fórmula en CP1 es semánticamente equivalente a una fórmula escrita en FNP. Ejercicio:  x  a(x)  xb(x) Paso 1: Eliminar los condicionales Paso 2: Aplicar las reglas de transformación para que las negaciones esten aplicadas solo a fórmulas atómicas. Paso 3: Eliminar dobles negaciones Paso 4: Trasladar los cuantificadores a la izquierda renombrando las variables repetidas. Es la expresión obtenida única?!

37 Ejercicio: Escribir en FNP:  x  y (  z(p(x,y)  p(y,z))   u q(x,y,u)) Df. Df. Una fórmula esta escrita en Forma Normal de Skolem (FNS) si esta escrita en FNP con todas las variables cuantificadas universalmente. Algoritmo de skolemización: Paso 1: Renombrar las variables repetidas y pasar la fórmula en FNP. Paso 2: Cuantificar las variables libres como existenciales. Paso 3: Eliminar las variables existenciales de la siguiente forma: Si tenemos  x1  x2…  xn sin ningún cuantificador universal, sustituimos las variables existenciales con constantes. Si tenemos  x …  z  t, sustituimos t con una función que depende de todas las variables universales antes de t (t-> f(x,…z))

38 Ejercicio: Skolemizar la fórmula:  x  yp(x,y)   y  x p(x,y) Teorema: Teorema: Una fórmula es satisfactible sii su FNS es satisfactible. Df Df. Una fórmula está en Forma Normal Conjuntiva (FNC) si está escrita en FNS y su matriz es una conjunción de disyunciones de predicados o predicados negados. Ejemplo:  x  y (  p(x,f(x))  (p(x,g(y))  q(1))) Df. Df. Si una fórmula en FNC se representa como un conjunto de conjuntos de literales, decimos que está en forma clausal. Ejemplo: Ejemplo: {{  p(x,f(x))},{p(x,g(y)),q(1)}} Ejercicios: Ejercicios: Escribir en forma clausal: a)   x(p(x,z)   y q(x,f(y)))   y p(g(x,y),z) b)  x p(x)  (  x (q(x)  r(x))   x  y s(x,y)

39 Cálculo por resolución en CP1 Recordemos: –(+) el calculo por resolución tiene una única regla: la regla por resolución {p}{  p,q,  r} => {q,  r} –(-) necesita que las fórmulas estén en forma clausal. –(-) es sólida y completa por refutación. Si F|-, F es insatisfactible. Si F es insatisfactible, F|-

40 Cálculo por resolución en CP1 Df. Df. Dadas dos cláusulas C1 y C2 en CP1, decimos que R es resolvente de C1 y C2 si: existen las sustituciones s1 y s2: C1s1 y C2s2 no contienen variables en común. existen un conjunto de literales L y L’: L  C1 y  L’  C2 son unificables es decir L1s1=  L’s2 El resolvente es la unión del resto de literales aplicadas las sustituciones: R={C1\ L1}U{C2\  L’}s1s2

41 Ejercicio: Ejercicio: Encontrar el resolvente: FNC:  x  z  u((p(f(x))   q(z)  p(z))  (  p(u)  r(g(u),a)) Forma clausal: {{p(f(x)),  q(z),p(z)},{  p(u),r(g(u),a)}} Teorema: Teorema: Si F es una fórmula de CP1 en forma clausal y R es el resolvente de cláusulas de F, se cumple: F  F U R Las propiedades de solidez y completitud de CP1 son los idénticos a las del CP0. Teorema: Teorema: Una fórmula de CP1 en forma clausal es insatisfactible sii aplicando la regla de resolución se llega a la cláusula vacía: F es insatisfactible sii F  - Propiedad: Propiedad: Las estrategias son las mismas como en el caso de CP0. Lo único que cambia es la forma de obtener el resolvente.

42 Ejercicio Formalizar y demostrar en CP1 el siguiente problema: “Ningún chico rubio quiere cantar. No hay ningún chico alto que no quiere cantar. Todos mis profesores son rubios. Por lo tanto todos los profesores míos no son altos.” Paso 1: Formalizamos el problema Paso 2: Escribimos la formalización como una fórmula insatisfactible Paso 3: La pasamos a forma clausal (FNP, FNS, FNC) Paso 4: Aplicamos la regla de resolución usando la estrategia SLD.

43 Ejercicio Formalizar y demostrar en CP1 el siguiente problema: “Ningún chico rubio quiere cantar. No hay ningún chico alto que no quiere cantar. Todos mis profesores son rubios. Por lo tanto todos los profesores míos no son altos.” Formalizacion:  x(r(x)   c(x))  x(a(x)  c(x))  x(p(x)  r(x)) --------------  x(p(x)   a(x))

44 Ejercicio Formalizar y demostrar en CP1 el siguiente problema: “Pere es primo de Jose. Antonio es hermano de Jose. Todos los primos son familiares. Todos los hermanos son familiares. Quien es familiar de Jose?!”