Monte Carlo: experimentos simulados Tema 2 Itziar Aretxaga.

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1 Monte Carlo: experimentos simulados Tema 2 Itziar Aretxaga

2 Números aleatorios: distribución uniforme 0 ≤ x ≤ 1 P(x)dx=dx Es el generador básico de números aleatorios. Todos los lenguajes de programación cuentan con uno de estos generadores:. Ejem. FORTRAN: iseed=1.. x=ran(iseed) 0 1 x P(x) 1 0 normalmente están basados en generadores lineales congruenciales:.. I j+1 =aI j +b (mod m) que sufren de: 1. Dados k números aleatorios, estos se distribuyen en un plano k-1. 2. Los bits de menor orden están más asociados que los de mayor orden Es por esto que se recomienda utilizar rutinas portátiles especializadas. En Numerical Recipes, por ejemplo:. ran0: tiene un periodo de repetición 2x10 9 y sufre los fallos de los generadores lineales congruenciales estándar.. ran1: es como ran0 pero sin los problemas de dimensionalidad y correlación. Es uno de los generadores recomendados.. ran2: tiene un periodo de 2x10 18, pero es más lento.... (Press et al., “Numerical Recipes”)

3 Números aleatorios (Cortesía de Leonardo Sandoval) Colección DIEHARD de tests de aleatoriedad (George Marsaglia, ftp://stat.fsu.edu/diehard/index.html) ftp://stat.fsu.edu/diehard/index.html Otros tests de aleatoriedad y generadores alternativos de números aleatorios (http://burtleburtle.net/bob/rand/testsfor.html)

4 Números aleatorios: método de transformación Supongamos que queremos generar números aleatorios que sigan una densidad de probabilidad P(y), que tiene asociada una probabilidad acumulada F(y) Esta distribución se puede asociar a la distribución uniforme P(x) si F(y) es invertible, entonces el número aleatorio y=F −1 (x). Por lo tanto, se generan números aleatorios x bajo una distribución uniforme, y se transforman en números aleatorios y bajo la distribución P(y). Ejemplo: distribución exponencial P(y)=e −y e −y dy=dx x=1−e −y y=−ln(1−x) 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ ∞ x = 1  e  y  y =  ln ( 1  x ) x1x1 0 y (Fig. © “Numerical Recipes”) (Press et al., “Numerical Recipes”)

5 Números aleatorios: gaussianas Sean x,y dos números aleatorios generados por distribuciones normales. Si son independientes, su distribución sobre un plano será x = 1  e  y  y =  ln ( 1  x ) o en coordenadas polares (R,θ) y haciendo d=R 2 lo que es equivalente al producto de una distribución exponencial de vida media 2, y una distribución uniforme definida en el intervalo [0,2π]. Ésta es la base de la transformación de Box-Müller: Sean dos números aleatorios u 1, u 2 derivados de una distribución uniforme. Se realizan las transformaciones que nos llevan a dos números aleatorios x,y cuya probabilidad sigue una distribución gaussiana. Puesto que las transformaciones dependen de funciones trigonométricas, no son muy eficientes para el cálculo computacional. (Press et al., “Numerical Recipes”)

6 Números aleatorios: gaussianas x = 1  e  y  y =  ln ( 1  x ) Para hacer el algoritmo de Box-Müller más rápido se definen las variables v 1 =2u 1 −1 v 2 =2u 2 −1 Se generan números hasta que (v 1,v 2 ) se encuentre dentro del círculo de radio R=1. v1v1 v2v2 R θ ) (−1,1) (−1,−1)(1,−1) (1,1) para d ≤ 1 Estas transformaciones modificadas. son más eficientes en el cálculo. (Press et al., “Numerical Recipes”)

7 Supongamos que queremos generar números aleatorios que sigan una densidad de probabilidad P(y), cuya probabilidad acumulada F(y), o bien no sea analítica o no sea invertible. Se busca una función envolvente f(y) que tenga una integral I(y)=∫ f(y)dy finita e invertible. Se genera un número aleatorio de distribución uniforme x en el intervalo (0,A), entonces y=F −1 (x) es un número aleatorio de la distribución envolvente f(y). Si ahora se genera un segundo número aleatorio de distribución uniforme x 2 en el intervalo (0,f(y)), entonces y es aleatorio de la distribución P(y) si x 2 ≤ P(y). Ejemplo: distribución poissoniana y se expande el área como si fuera una distribución continua Números aleatorios: método del rechazo x = 1  e  y  y =  ln ( 1  x ) (Fig. © “Numerical Recipes”) (Press et al., “Numerical Recipes”)

8 Monte Carlo: método de la fuerza bruta x y f(x) Simulación de los resultados de un experimento utilizando una computadora y un generador de números aleatorios. Este tipo de análisis se utiliza cuando un cálculo es difícil de realizar por otros métodos numéricos o algebraicos, o cuando somos demasiado vagos como para pensar en cómo solucionarlo por métodos más elegantes. Ejemplo clásico: área debajo de una curva. Dada un área A fácil de medir, que contiene una curva f(x) difícil de integrar, se puede calcular el área debajo de la curva mediante la generación N veces de dos números aleatorios (x,y) que representen las coordenadas. Se cuentan los puntos por encima y por debajo de la curva. Este argumento se puede aplicar también a volúmenes, por ejemplo para calcular el volumen comprendido por los censos de pincel. El error del cálculo es proporcional a

9 Ejemplo: cálculo del ángulo sólido observable por temporada, descontando el espacio ocupado por el plano galáctico. (O. Vega, 2001, MSc, INAOE) Monte Carlo: método de la fuerza bruta

10 Ejemplo: curvas de luz de cúmulos estelares de edades 10  60 Myr (Aretxaga & Terlevich 1994, MNRAS, 269, 462): Cada flecha señala el tiempo en el que explota una SN, derivado de una distribución uniforme en un intervalo grande de tiempo (10 3 años). Este método se aproxima a una distribución poissoniana de media igual a la tasa de explosiones señalada en cada recuadro. Por medio de un cálculo así, se pueden medir fácilmente propiedades tales como la desviación cuadrática media de las curvas de luz, etc. Monte Carlo: método de la fuerza bruta

11 Ejemplo: curvas de luz de cúmulos estelares de edades 10  60 Myr (Aretxaga & Terlevich 1994, MNRAS, 269, 462): Cada flecha señala el tiempo en el que explota una SN, derivado de una distribución uniforme en un intervalo grande de tiempo (10 3 años). Este método se aproxima a una distribución poissoniana de media igual a la tasa de explosiones señalada en cada recuadro. Por medio de un cálculo así, se pueden medir fácilmente propiedades tales como la desviación cuadrática media de las curvas de luz, etc. Monte Carlo: método de la fuerza bruta

12 Ejemplo: curva de luz real de NGC4151 (en el recuadro de arriba) y simulación utilizando la superposición de modelos simples de SN (en el recuadro de abajo). El Monte Carlo siempre resulta más convincente si se incluye además una simulación de las condiciones de observación, tales como errores fotométricos (que se pueden aproximar por distribuciones gaussianas), o el muestreo temporal de la curva de luz. (Aretxaga & Terlevich 1994)

13 Métodos de remuestreo: Monte Carlos rápidos y sucios Se suelen utilizar para calcular errores, estimar sesgos, etc. ♦ Filosofía: construir poblaciones hipotéticas derivadas del mismo conjunto de observaciones, cada una de las cuales se analiza para determinar cómo los indicadores estadísticos cambian con fluctuaciones aleatorias de los datos. ♦ Ventajas: no necesita ninguna suposición sobre la distribución subyaciente, y si existen efectos de selección en la muestra de datos, estos también se consideran. Remuestreos habituales (Feigelson & Babu, “Astrostatistics”) : mitad de la muestra (Mahalonovis 1946): Selecciona aleatoriamente la mitad de la muestra, n veces. “ jacknife” (navaja): selecciona las n muestras que contienen n−1 puntos diferentes de la muestra original. “bootstrap” (agujetas): genera un gran número de muestras con n puntos seleccionados al azar, cada una de las cuales puede contener puntos repetidos u omitidos de la muestra original.. “To pull oneself up by one´s bootstraps”

14 Métodos de remuestreo: bootstrap Ejemplo: cálculo del error en la medida de la mediana del índice x i  x que define la intensidad de la variabilidad de una muestra de QSOs (Hook et al 1994, MNRAS, 268, 305)

15 Métodos de remuestreo: bootstrap Ejemplo: cálculo del error en los parámetros derivados del ajuste de un modelo por la minimización de χ 2, y elipsoides de confianza asociados al cálculo. (Numerical Recipes, Press et al.)