PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS

Presentación del tema: "PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS"— Transcripción de la presentación:

1 PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS
Universidad Autónoma de Sinaloa Esc. Ciencias de la Tierra Dr. Juan M. Aguilar Villegas PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS Profr. Juan Martin Aguilar Villegas

2 I. CARTOGRAFÍA 1.1. DEFINICIONES
CARTOGRAFÍA es la rama de la ciencia, de la técnica y de la producción que contempla la elaboración, estudio y utilización de las creaciones cartográficas. CARTOGRAFÍA es la ciencia de los mapas geográficos, sus propiedades, métodos de elaboración y utilización. LA CARTOGRAFÍA consiste de un grupo de técnicas que conciernen fundamentalmente con la reducción de las características de una gran extensión – de una porción o de toda la Tierra u otro cuerpo celeste – y su representación en forma de mapa para hacerla observable.

3 CARTA es una imagen matemáticamente determinada, disminuida y generalizada de la superficie de la tierra, de otro cuerpo celeste o del espacio cósmico, que muestra la distribución o proyección en ella de los objetos contenidos, mediante un sistema de símbolos convencionales determinados. OBJETO DE CARTOGRAFIADO se denomina a cualquier cosa, fenómeno o proceso que se pueda representar en una carta. MAPA es una representación convencional de la superficie terrestre a la que se agregan rótulos, para la identificación de los detalles mas importantes. PLANO es un mapa detallado definido mediante mediciones y representado a escala grande, el cual es construido generalmente con fines específicos. PORTULANO se llamó a los planos que se utilizaron en la época medieval, los cuales eran adornados con dibujos de animales, casas, barcos y otras imágenes.

4 1.2. ESTRUCTURA DE LA CARTOGRAFÍA
La cartografía esta estructurada de un conjunto de disciplinas técnicas y científicas que se encuentran estrechamente relacionadas entre sí, sin embargo cada una de ellas es especifica en su campo de acción dentro de esta rama científica. CARTOGRAFIA HISTORICA – Estudia la historia de las ideas, representación y métodos de la cartografía, desarrollo de la producción cartográfica, así como también los antiguos materiales cartográficos. CARTOLOGIA – Estudia la problemática general, objeto y métodos de la cartografía como ciencia, además algunos problemas de metodología para la creación de cartas. CARTOGRAFIA MATEMATICA – Esta disciplina estudia la base matemática de las cartas, elabora la teoría de las proyecciones cartográficas, los métodos de construcción de las redes cartográficas, el análisis y distribución de sus deformaciones. PROYECCION Y COMPOSICION DE LAS CARTAS – Estudia la elaboración de proyectos, métodos y la tecnología de gabinete y laboratorio para la preparación de cartas.

5 EDICION DE CARTAS – Estudia y elabora la técnica de impresión, reproducción, representación poligráfica de las cartas, atlas y otros productos cartográficos. ECONOMIA Y ORGANIZACION DE LA PRODUCCION CARTOGRAFICA – Estudia los problemas de organización óptima y planificación de la producción, utilización de instrumentos, materiales, recursos laborales y la productividad. TOPONIMIA CARTOGRAFICA – Estudia los nombres geográficos y su significado para su correcto traslado a las cartas. INFORMATICA CARTOGRAFICA – Estudia y elabora los métodos de recolección, conservación y entrega de la información sobre fuentes y productos cartográficos.

6 CLASIFICACION DEL CARTOGRAFIADO
El cartografiado puede ser clasificado principalmente en cuatro grupos, dependiendo de la característica principal del mismo, como son: Por objeto, por temática, por método y por escala. Estos a su ves tienen sus subclasificaciones. POR OBJETO: TERRESTRE ( Continental ó marítima ); PLANETARIA; ASTRONOMICA. POR TEMATICA: GEOGRÁFICO – GENERAL (Topográfico); TEMÁTICO ( Natural o social ); ESPECIAL POR METODO: TERRESTRE; AEROCOSMICO; SUBMARINO. POR ESCALA: A ESCALA GRANDE; A ESCALA MEDIANA; A ESCALA PEQUEÑA.

7 TERRESTRE ASTRONOMICO PLANETARIO POR TEMATICA:
Esta clasificación y su interrelación se representa gráficamente en la forma siguiente: CARTOGRAFIADO POR OBJETO: TERRESTRE ASTRONOMICO PLANETARIO POR TEMATICA: GEOGRAFICO – GENERAL TEMATICO ESPECIAL POR METODO: TERRESTRE AEROCOSMICO SUBMARINO POR ESCALA: GRANDE MEDIANO CHICO Fig. 1

8 1.3. PROCESO HISTORICO DE LA CARTOGRAFÍA EN MEXICO
Actividad en la Época Prehispánica Sin lugar a dudas, México cuenta con una tradición cartográfica que se remonta a la época prehispánica, tal como lo demuestran algunos de los códices que se conservan hoy en día, así como los testimonios que en este sentido dejaron los cronistas de la época. De estas reproducciones se hacen dos grandes divisiones, agrupando en la primera las cartas que reproducen itinerarios ("Peregrinación de los Aztecas") y en la segunda a zonas claramente determinadas("Códice Cuauhtlinchan"). Esta información cartográfica, como es comprensible, dados los conocimientos y necesidades de la época, los cartógrafos consideraron la Tierra como plana. Asimismo y si bien no se hacía uso de las abstracciones y convenciones que hoy son usuales en cartografía, los colores y símbolos utilizados, permitían identificar los accidentes geográficos así como información necesaria para los viajeros. Por ejemplo, la línea de costa se delineaba en color azul, la representación de los caminos se realizaba mediante el trazo de líneas paralelas, unas veces iluminadas con amarillo y otras sin color.

9 En algunos códices se incluye la huella de un pie desnudo, lo que hace suponer que el intervalo corresponde a alguna distancia determinada. Asimismo se incluían elementos descriptivos que permitiesen conocer rasgos característicos de la región, por ejemplo, si en la región abundaba un árbol o animal, en el códice aparece su figura cubriendo el área de dispersión. Los cerros o montañas generalmente se representaban mediante conos o vasijas invertidas, ya que existía la creencia que éstos accidentes geográficos estaban llenos de agua. Si el cerro estaba cubierto de vegetación, se iluminaba de verde y si carecía de ésta, de amarillo. Para los volcanes, en caso de que presentasen actividad, se le dibujaban lenguas de fuego. Para indicar la orientación en los códices se utiliza el signo del sol naciente para indicar el Este; y el signo conejo para indicar el Sur. La ubicación de los pueblos o localidades se establecía utilizando un cuadrado para representar la plaza central y una pirámide símbolo del teocalli.

10 Actividad en la Época Colonial
La producción colonial puede señalarse inicia con los trabajos realizados por Alonso García Bravo y Bernardino Vázquez Tapia, quienes auxiliados por dos aztecas, levantan el primer plano de la ciudad de México. El segundo lo elabora Juan Gómez de la T en También pueden mencionarse los primeros trabajos cartográficos con fines de identificación de los límites prediales, mismos que se realizaron conjugando la filosofía europea con la indígena Adicionalmente también fue elaborada una gran cantidad de cartas marinas, sustentadas en la exploración de costas, para las que se usaron el rumbo y distancia que se consignaron en los itinerarios, empleando generalmente una proyección de paralelos y meridianos equidistantes que Orozco y Berra denominó "proyección tradicional conforme" . Hacia las autoridades municipales y eclesiásticas, atendiendo instrucciones de Felipe 11,prepararon una descripción de la zona de su jurisdicción que acompañaron de diversas cartas, mismas que sirvieron de base para la elaboración de la "Descripción Geográfica de los reinos de Galicia, Vizcaya y León" , las "Relaciones Geográficas" y la "Geografía y Estadística" , ésta última de Francisco del Paso y Troncoso.

11 En el siglo XVII, obedeciendo a los requerimientos de un mejor conocimiento, se observa una mejora en la representación del interior del país, y en los mapas generales comienzan a incluirse escalas referidas a las latitudes y longitudes. Es a principios del siglo XVII que Enrico Martínez publica las obras denominadas "Descripción de la comarca de México" y "Desagüe de la laguna", que sintetizan la información geográfica existente sobre la cuenca del valle de México. A finales del siglo XVII se elaboran numerosas cartas, debidas principalmente a Don Carlos de Sigüenza y Góngora quien está considerado como el primer autor mexicano de una carta general de Nueva España. En 1768, el padre José Antonio de Alzate Ramírez elabora el "Nuevo Mapa Geográfico de la América Septentrional" impreso en París, y que se consideró la mejor recopilación de datos, superado sólo por los trabajos de Humboldt. En este mapa el país aparece deformado; destacándose la zona que corresponde a la península de Baja California, ya que en esas fechas existía controversia sobre la verdadera forma de dicha península.

12 Actividad en el Siglo XIX
Derivado de los trabajos de investigación en nuestro país del ilustre barón Alejandro de Humboldt, se elabora el "Atlas Geográfico y Físico del Reino de la Nueva España" en el que figuran dos cartas generales de nuestro país, varias cartas parciales y algunos perfiles. Otra importante obra de recopilación, es el "Atlas de Portulano", publicado en 1825 por instrucciones del presidente Guadalupe Victoria. Esta obra se deriva principalmente de los levantamientos hidrográficos realizados por la marina española a fines del siglo XVIII y principios del XIX. Por lo que refiere a levantamientos cartográficos del interior de la República podemos mencionar los realizados en para el Distrito Federal y el estado de México. Actividades similares se realizan para los estados de Querétaro de Artega, Chihuahua y Yucatán, que concluyen en 1831, 1832 Y 1848 respectivamente. Para mejorar el conocimiento de nuestro país se realiza, en 1850, la "Carta General de la República. . ." por la Sociedad Mexicana de Geografía y Estadística, misma que, en proceso de elaboración, fue utilizada en 1847 para demarcar los límites con Estados Unidos, siendo aprobada en 1851 por el presidente de la República.

13 Se publica en 1856 la compilación realizada por el ingeniero Antonio
García Cubas bajo el nombre de "Atlas Estadístico e Histórico de la República Mexicana,..." la que integra los trabajos de la Sociedad Mexicana de Geografía y Estadística, de Humboldt, García Conde, Narváez, Mier y Terán, del Moral, la Comisión de Límites con los Estados Unidos y otros numerosos estudios. Posteriormente en 1863, Antonio García Cubas presenta "La Carta General de la República Mexicana", a escala 1: en la que, con apoyo del ingeniero Francisco Díaz Covarrubias, se integra nueva información y se corrigen errores de la carta anterior. En 1869 se levanta el plano de la Ciudad de México, y en 1880 se actualiza dicho plano en virtud del crecimiento de la ciudad. Por esta época, Orozco y Berra promueve la formación de un Atlas Nacional de Historia y Geografía, en tanto que el ingeniero Francisco Díaz Covarrubias lleva a cabo los trabajos geodésicos necesarios para obtener la "Carta Hidrológica del Valle". En 1871 con el fin de obtener cartas de ayuda para la navegación, se iniciaron trabajos en los litorales de México, por personal de los barcos estadounidenses, los cuales fueron concluidos hasta 1901.

14 A finales de 1877 se crea la Comisión Geográfico-Exploradora, con el objetivo de elaborar la "Carta General de la República Mexicana" fraccionada en hojas de gran escala; cartas de conjunto o estatales; cartas hidrológicas de costas, lagos y ríos; de poblaciones y lugares importantes y cartas militares y de reconocimiento. Esta institución desapareció en septiembre de 1914, y en sus 36 años de vida logró publicar 204 hojas de la "Carta General de la República Mexicana", escala 1:100000, realizó trabajos en los estados de Puebla, Veracruz, Tamaulipas, San Luis Potosí, Nuevo León, Tlaxcala y Morelos que le permitieron publicar las cartas de Tlaxcala, Veracruz y Nuevo León a diferentes escalas. Además, obtuvo información, principalmente astronómica, de Hidalgo, Yucatán, Chihuahua y la mayor parte de Oaxaca. Levantó los límites entre Nuevo León y Tamaulipas, e hizo algunos levantamientos aislados en Sonora. Es a finales de este siglo que se publica por parte de la Secretaría de Fomento de "La Carta General de la República Mexicana" , escala 1: , en tanto que en el Distrito Federal se implementaba un Sistema Catastral que integraba redes trigonométricas de cuatro ordenes, líneas de poligonación y nivelación así como productos cartográficos multifinalitarios.

15 Actividad en el Siglo XX
En 1915 se crea la Dirección de Estudios Geográficos y Climatológicos, la cual cambia su nombre en 1926 adoptando el de Dirección de Geografía, Meteorología e Hidrología y posteriormente adoptó el nombre de Dirección de Geografía y Meteorología. Esta institución se ocupó de disponer de cartas generales del país o de sus entidades federativas para usos administrativos, y continuar los trabajos de la Comisión Geográfico-Exploradora. Esta dependencia logra concretar sus esfuerzos en diferentes productos cartográficos entre ellos el "Atlas de la República", formado por varias hojas a escala de 1:500000, el "Atlas de las entidades federativas" con mapas a escala variable, "La Carta General de la República Mexicana", escala 1: , la "Carta del Valle de México" escala 1:50000, así como mapas urbanos de las ciudades capitales. En febrero de 1938 fue creada la Comisión Geográfica Militar, con el encargo de formar la "Carta General Militar del País", perfeccionar en lo que corresponde a nuestro país la "Carta Aeronáutica del Mundo" ambas a escala 1: , elaborar las cartas tácticas a escala 1: Y de realizar la cartografía militar de nuestra nación. Esta Institución utiliza la fotogrametría como método de compilación y adopta la proyección Universal Transversa de Mercator (UTM) ideada por el Servicio Cartográfico de la Armada de los Estados Unidos. Con estos elementos se prepara la "Carta General de los Estados Unidos Mexicanos" a escala 1:

16 Posteriormente esta dependencia cambia de nombre, designándose Departamento Cartográfico Militar y hacia 1951 publica nueve hojas de la "Carta Táctica del Valle de México" a escala 1:25000. Entre 1941 y 1942, la Dirección de Geografía y Meteoreología publica las cartas de Zacatecas y Jalisco escala 1:500000, en 1946 la de Tabasco escala 1:200000, y en 1948 la de Coahuila a escala 1: Otra dependencia que resalta por su producción cartográfica es la Secretaría de Comunicaciones y Obras Públicas que en 1931 edita la "Carta General de Comunicaciones de los Estados Unidos Mexicanos", en 1932 las cartas aéreas de las rutas Oaxaca-Salina Cruz, a escala 1:560000, Oaxaca-Tapachula, a escala 1:700000, y Méxica-Ixtepec, escala 1: y publicada en 1943. Otras obras relevantes son la "Carta General de Comunicaciones de la parte central de la República Mexicana", escala 1:500000, y la "Carta General de Comunicaciones de los Estados Unidos Mexicanos", escala 1:

17 En febrero de se crea el Comité Coordinador para el levantamiento de la Carta de la República Mexicana, que produce la "Carta de la República Mexicana" a escala 1: Este organismo es sustituido el 20 de diciembre de 1955, por la Comisión Intersecretarial Coordinadora del Levantamiento de la Carta Geográfica de la República Mexicana, integrada por representantes de las secretarías de Comunicaciones y Transportes, Defensa Nacional, Educación, Marina, Agricultura y Desarrollo Rural; además de Petróleos Mexicanos, el Banco de México, la Universidad Nacional Autónoma de México y la Sociedad Mexicana de Geografía y Estadística. El acuerdo fue publicado en el Diario Oficial de la Federación el 2 de enero de 1 956, Y de inmediato entró en vigor. Este organismo elabora, por primera vez, cartografía con cubrimiento nacional a escala 1: con la denominada "Carta Geográfica de la República Mexicana". Es a partir de la década de los 60 que se inicia una febril actividad cartográfica por parte de los diferentes organismos públicos, empresas privadas e investigadores, sin embargo,. mucho del esfuerzo se orienta a aplicaciones específicas, sin que exista un organismo que tenga una visión general. Con el fin de satisfacer esta necesidad, en octubre de 1968 se crea un organismo federal encargado de elaborar la cartografía del país. Esta institución cartográfica se denominó Comisión de Estudios del Territorio Nacional y Planeación (CETENAP), y quedó adscrita a la Secretaría de la Presidencia.

18 Dos años después, se le suprimen las funciones de planeación denominándose por esta razón Comisión de Estudios del Territorio Nacional (CETENAL). Posteriormente, en 1980, la CETENAL pasó a ser la Dirección General de Estudios del Territorio Nacional (DETENAL)yen 1982 la Dirección General de Geografía del Territorio Nacional (DIGETENAL). En enero de 1983, al crearse el INEGI, se transformó en la Dirección General de Geografía, y es actualmente la institución oficial responsable de normar el funcionamiento y de promover la integración y desarrollo del Sistema Nacional de Información Geográfica; establecer las políticas, normas y técnicas para uniformar y racionalizar la captación, producción y procesamiento de la información geográfica del país, donde la Cartografía, como expresión final de los trabajos es un elemento de vital importancia.

19 1.4. RELACION DE LA CARTOGRAFIA CON OTRAS CIENCIAS
Geodesia Comunicación gráfica Matemáticas CARTOGRAFÍA Medio ambiente Geología Geofísica etc. oceanografía Fig. 2

20 1.5. INTERRELACION DE LA CARTOGRAFIA CON LA GEOINFORMATICA
K PR K SIG PR SIG Modelo lineal Fig. 3 Modelo preponderante cartográfico Fig. 4 SIG PR K PR K SIG Modelo preponderante de sistema de información geográfica Modelo de interdependencia triple Fig. 5 Fig. 6

21 II. CARTAS 2.1. TÉRMINOS Y DEFINICIONES
Universidad Autónoma de Sinaloa Esc. Ciencias de la Tierra Dr. Juan M. Aguilar Villegas II. CARTAS 2.1. TÉRMINOS Y DEFINICIONES CARTA es una imagen matemáticamente determinada, disminuida y generalizada de la superficie de la tierra, de otro cuerpo celeste o del espacio cósmico, que muestra la distribución o proyección en ella de los objetos contenidos, mediante un sistema de símbolos convencionales determinados. Proyección de cartas.- Es la elaboración del proyecto de creación de una carta nueva o bien de la actualización de una ya existente. Entre los trabajos que se llevan acabo en la proyección de cartas, principalmente son los siguientes: Elaboración de la base matemática de la carta (escala, proyección, composición, formato y para los atlas la composición de la maqueta); Elaboración del contenido de la carta, signos convencionales, materiales de dibujo y creación de los borradores; Definición de la tecnología en función de racionalidad y economía; Elaboración del estudio técnico – económico del proyecto. Preparación de las exigencias técnicas de la carta en conjunto con el solicitante;

22 Como resultado del proyecto se obtiene un documento que determina los elementos siguientes:
Región a cartografiar; Designación; Forma; Tipo y temática; Base matemática; Contenido; Principios de generalización; Método de dibujo y sistema de simbolización; Fuentes y orden de su uso; Confección tecnológica de la carta.

23 Contenido y secuencia entre los trabajos del proyecto general de una carta:
PROBLEMAS TECNICOS BASE MATEMATICA CONTENIDO Y PRESENTACION DE LACARTA ESCALA FORMATO BORRADORES PROYECCION TECNOLOGIA COMPOSICION REDACCION PREPARACION PARA LA EDICION COMPOSICION DE LA MAQUETA ELEMENTOS DECONTENIDO Y SU CLASIFICACION EDICION MATERIALES Y MEDIOS DE DIBUJO EMPRESA LEYENDA Y SIMBOLOS CONVENCIONALES CALCULO DE TRABAJO PLANEADO FUNDAMENTACION TECNICO – ECONOMICA DEL PROYECTO CONTENIDO ESPECIAL PERDIDAS MATERIALES Y DE TRABAJO BASE GEOGRAFICA DIFICULTADES Y VOLUMEN DE TRABAJO METODICA Y TECNOLOGIA DEL TRABAJO

24 2.2. ELEMENTOS DE LAS CARTAS
Los principales elementos de las cartas son: Elementos geográficos ( son aquellos elementos que nos ayudan a determinar la posición geográfica de los elementos físicos que se representan en la carta, así como también su orientación ); Elementos gráficos (Todos aquellos elementos físico-geográficos o culturales que se representan en la carta mediante dibujos, colores o símbolos convencionales); Elementos descriptivos ( son los elementos que proporcionan los datos suficientes para la correcta lectura e interpretación de los elementos gráficos); Elementos informativos (Son aquellos que se incluyen de manera explicita y ayudan a relacionar la carta con el proceso de su creación y actualización); Elementos decorativos ( elementos que se agregan para mejorar y agradar la presentación de la carta ante el usuario).

25 2.3. PROPIEDADES DE LAS CARTAS
Las propiedades que debe de conservar una carta son: Que las comarcas conserven sus tamaños relativos; Que se conserven los valores verdaderos de los azimuts desde un punto determinado; Que un arco de circulo máximo que representa la distancia mas corta entre dos puntos sobre la tierra, sea representado por una línea recta, ya que representa la distancia mas corta en la superficie plana ; Que la latitud y longitud geográficas se determinen fácilmente mediante la posición de puntos respectivos en la carta e inversamente, la posición de los puntos en la carta a partir de las respectivas latitud y longitud. Que las distancias tomadas desde el centro de la carta a los diversos puntos de la misma sean verdaderos.

26 2.4. CLASIFICACIÓN DE LAS CARTAS
La clasificación de las cartas por diferentes características sehace indispensable para su estudio, organización, conservación y consulta. Se clasifican básicamente en función de: El espacio cubierto; La escala; El contenido; Aplicación. En función del espacio cubierto: Cartas mundiales (totales o por emisferios); Cartas continentales; Cartas oceánicas; Cartas regionales. En función de la escala: Escala grande (> 1: ); Escala media (1: – 1: ); Escala pequeña (< 1: )

27 En función del contenido:
Cartas físico-geográficas.- estas contienen información sobre la distribución geográfica de los principales elementos de interés para la estimación y proyección de obras ingenieriles, como son: relieve, hidrografía, vegetación, centros de población, vías de comunicación, etc.); Cartas temáticas ( naturaleza, social, especial).- estas contienen elementos de un tema en especifico sobre una base geográfica; Cartas especiales.- estas combinan elementos de varios temas relacionados entre sí y una base geográfica. En función de su aplicación: Cartas militares; Cartas de navegación; Cartas de uso civil.

28 2.5. OTROS PRODUCTOS CARTOGRÁFICOS
Carta anaglífica.- esta se imprime a dos colores (rojo-azul o rojo verde), para que con ayuda de lentes especiales se observe una imagen estereoscópica. Carta a relieve.- esta se crea en tres dimensiones con material plástico. Fotocarta.- esta se realiza con ayuda de imágenes fotográficas y métodos fotogramétricos. Carta digital.- modelo matemático sobre una base de datos computacional representada gráficamente mediante un proceso de vectorización. Carta en microfilme.- carta en miniatura sobre película fotosensible. Globo.- modelo esférico de la tierra u otro cuerpo celeste. Atlas.- compilación sistemática de cartas, realizada de acuerdo a un programa general como un todo.

29 III. FUNDAMENTO GEODÉSICO DE LAS CARTAS
La base geodésica para la cartografía comprende todos los datos sobre los modelos matemáticos de los cuerpos a cartografiar. Los parámetros que caracterizan la forma y las dimensiones de estos cuerpos permiten calcular las longitudes de arcos de paralelos, las longitudes de arco de meridianos, las superficies de los trapecios y realizar los cálculos necesarios para la construcción de las proyecciones cartográficas en la realización de las cartas. Se utilizan también los sistemas de coordenadas y los datos de las coordenadas de las redes geodésicas. 3.1. MODELO ESFÉRICO DE LOS CUERPOS A CARTOGRAFIAR Para la cartografía de muchos cuerpos celestes se utiliza un modelo de referencia esférico aproximado. Para el caso de la Tierra se consideran los radios de los semiejes para obtener un radio de la esfera modelo:

30 r = R cos φ s = r (λ2 – λ1) S = R· φ
En la esfera los paralelos son arcos de círculos, cuyo radio “r” depende de la latitud y se obtiene con la ecuación: r = R cos φ La longitud de arco de paralelo entre dos puntos se obtiene de la manera siguiente: s = r (λ2 – λ1) Longitud expresada en radianes. Los arcos de meridianos entre el ecuador y un punto será: S = R· φ Latitud en radianes. Tierra: radio ecuatorial: ; radio polar: ; radio esfera: km. Fig. 7

31 3.2. MODELO ESFEROIDAL DE LOS CUERPOS A CARTOGRAFIAR
Para mayor precisión se utiliza el modelo simple del esferoide, es decir el elipse en revolución (elipsoide) . los parámetros de este son: a.- Semieje mayor b.- Semieje menor α = (a – b)/ a e2 = (a2 – b2)/a2 e´2 = (a2 – b2)/b2 El radio del arco de Meridiano: M = a(1-e2) / (1-e2 sin2B)3/2 Radio de la primer vertical: N = a / (1-e2sin2B)1/2 Radio medio de curvatura: R = (MN)1/2 Radio del paralelo: r = N cos B Fig. 8

32 Algunos elipsoides de referencia:
Año Semieje mayor a, M Achatamiento Delamber 1800 1/334 Valbec 1819 1/303 Eyri 1830 1/299,3250 Everect 1/300,8017 Bessel 1841 1/299,15 Clarck 1866 1/294,98 1880 1/293,46 Geiford 1909 1/297 Krasovskiy 1940 1/298,3 Australia 1965 1/298,25 GRS-67 1967 1/298,2472 WGS-72 1972 1/298,26 GRS-80 1979 1/298,25722 WGS-84 1984 PZ-90 1990 1/298,25782

33 3.3. SUSITUCIÓN DEL ELIPSOIDE POR LA ESFERA
En los casos en que la precisión de los trabajos lo permita, el elipsoide o parte de su superficie se puede sustituir por la esfera. Esto funciona para el cartografiado a escala muy pequeña, o en algunos casos se requiere primero proyectar en la esfera y luego en el plano. Para la proyección del elipsoide a la esfera, se requiere elegir el radio de la esfera y el método de transformación de la latitud (B) y longitud (L) del elipsoide a la latitud (φ) y longitud () de la esfera. Generalmente se hacen coincidir los centros, el eje de rotación y el plano del meridiano base. En estas condiciones las longitudes no se alteran y se requiere solo la transformación de las latitudes, mismas que en los polos y el ecuador son coincidentes. Los valores de la latitud esférica y la elección del radio de la esfera se determina mediante el reflejo del elipsoide en la esfera, para lo cual existen varios métodos.

34 REPRESENTACIÓN ESFERICA
REPRESENTACIÓN ESFERICA.- En este caso las normales a los puntos respectivos de la esfera y del elipsoide se consideran paralelas y por ello las latitudes esférica y geodésicas son iguales una a la otra. φ = B Para territorios pequeños el radio de la esfera (R), se iguala en el centro de la carta. Cuando se considera toda la superficie terrestre el radio de la esfera se calcula como la media aritmética de los tres valores siguientes: del radio de la esfera igual al valor medio de los semiejes del elipsoide. del radio de la esfera con igual superficie a la del elipsoide. del radio de la esfera con igual volumen al del elipsoide. Para la tierra, el radio medio de la esfera R=6371 km es muy cercano en dimensiones, superficie y volumen al elipsoide. En esta esfera el arco de meridiano entre el ecuador y el polo es mayor en 5.6 km (0.05%) y el arco de un cuarto del ecuador es menor 11.2 km (0.1 %) con respecto al elipsoide. Este tipo de errores no suelen ser representativos para el cartografiado geográfico a escalas pequeñas.

35 REPRESENTACIÓN CONFORME
REPRESENTACIÓN CONFORME.- en este caso los ángulos del elipsoide se trasladan a la esfera sin deformación. En el método de Mollweide C. B. usado en el año1807, el radio de la esfera se iguala al semieje mayor del elipsoide y la latitud en radianes se calcula con la formula: donde: La deformación longitudinal mayor se da en los polos y tiene un valor alrededor de un 0.3%. La diferencia mayor en latitud entre el elipsoide y la esfera se da a los 45°, alcanzando un valor alrededor de 11´30´´. Esto significa que dicho paralelo sobre la esfera se desplaza hacia el ecuador aproximadamente km.

36 REPRESENTACIÓN EQUIVALENTE
REPRESENTACIÓN EQUIVALENTE.- Esta representación guarda la proporción en las áreas, es decir, la superficie de los objetos en la esfera es igual a su área correspondiente en el elipsoide. La latitud esférica en radianes se calcula con la formula: donde: El radio de la esfera se determina por la condición de igualdad de áreas de la superficie en la esfera y en el elipsoide, para lo cual se emplea la formula: La deformación máxima lineal y angular se da en los puntos sobre el ecuador, alrededor de un 0.1% y 3.8´correspondientemente. En cuanto a latitud, la deformación máxima se da a los 45°, alcanzando un valor alrededor de 7´40´´. Esto significa que dicho paralelo sobre la esfera se desplaza hacia el ecuador aproximadamente km.

37 REPRESENTACIÓN EQUIDISTANTE
REPRESENTACIÓN EQUIDISTANTE.- Esta puede conservar la distancia a lo largo de los meridianos o bien a lo largo de los paralelos, tanto en la esfera como en el elipsoide. En el caso de los meridianos la latitud esférica en radianes y el radio de la esfera se calculan con las formulas: En el caso de los paralelos, el radio de la esfera se iguala al semieje mayor del elipsoide y la latitud esférica se calcula con la formula:

38 3.4. REPRESENTACIÓN DE LA ESFERA EN LA ESFERA
En algunos casos se requiere construir una proyección cartográfica de un modelo esférico en la superficie de otra esfera determinada, es decir, proyectar la esfera en otra esfera. E. N. Gilbert utilizó este método en su proyección “Los dos mundos”, en el que representó toda la superficie terrestre en media esfera, bajo la condición de representación conforme. En este caso las latitudes y longitudes del modelo terrestre se calculan para la nueva esfera, con las formulas siguientes: Fig. 9

39 3.5. COORDENADAS ESFÉRICAS POLARES
Sobre la esfera y en algunas circunstancias es cómodo utilizar un sistema de coordenadas polares, para lo cual se elige en la esfera un punto que se establece como origen del sistema de coordenadas polares (polo convencional). El circulo máximo alejado 90° de este polo convencional, se denomina ecuador convencional y con respecto a estos nuevos parámetros se construye una nueva red de paralelos y meridianos convencionales. Una vez proyectada la esfera, cualquier punto tendrá nuevas coordenadas esféricas: Latitud convencional(φ´) y Longitud convencional (´). En lugar de la latitud convencional se puede usar su complemento al ángulo recto, llamada: Distancia zenital (Z). Fig. 10

40 A cada paralelo convencional corresponde un valor constante de distancia zenital. A la línea de igual distancia zenital se le denomina: Almicantarada. Cada meridiano convencional parte del polo convencional con determinado azimut (a), el cual se denomina Vertical. Este azimut se puede interpretar com la longitud convencional. En la figura 10, se representan los siguientes elementos: Paralelos; Meridianos; Polo convencional; Almicantaradas; Verticales. Diferentes sistemas de coordenadas polares: Sistema normal .- El polo convencional coincide con el polo geográfico. Sistema transversal .- El polo convencional se encuentra en el ecuador geográfico. Sistema oblicuo .- El polo convencional se encuentra entre el polo y el ecuador geográficos.

41 φ0 - latitud del polo convencional.
El cálculo de la latitud convencional φ´ y la distancia zenital Z de un punto cualquiera en el sistema de coordenadas polares, en función de su latitud geográfica y su longitud geográfica considerada a partir del meridiano central, se obtiene mediante las formulas: donde: φ0 - latitud del polo convencional. El azimut a del meridiano convencional (vertical), se calcula con la formula:

42 IV. ELEMENTOS DE LA BASE MATEMÁTICA DE LAS CARTAS
4.1. ESCALAS DE LAS CARTAS La escala de la carta, es el elemento matemático que permite representar sobre el plano la totalidad o una porción de la superficie terrestre, guardando una relación de correspondencia para lograr la semejanza entre la realidad y la representación. La escala representa la relación existente entre una dimensión en la carta y la correspondiente dimensión en la superficie física cartografiada. donde: d- dimensión en la carta; D- dimensión física.

43 ESCALA NUMÉRICA.- Es la representación de la escala mediante una expresión matemática y es la de uso mas común, para establecer la proporción entre las distancias en la carta y sobre la superficie terrestre. o ESCALA GRÁFICA.- esta se representa mediante segmentos de líneas graduadas. Mts. Fig. 11

44 4.2. DIVISIÓN Y NOMENCLATURA DE LAS CARTAS
Para efectos de realizar la cartografía de la superficie terrestre, se utiliza un sistema de división internacional de la misma, tanto en el sentido de las latitudes (cada 4°), como en las longitudes (cada 6°), generando con ello pequeñas secciones llamadas trapecio, mismo que se usan para la elaboración de las cartas a una escala base (1: ). Fig. 12

45 Para los conjuntos de datos escala 1: con formato de 4° de latitud por 6° de longitud, la nomenclatura es la correspondiente a la letra de la "faja" y los dígitos de la "zona", ejemplo: "G13" Fig. 13 La cartografía puede imprimirse en otro formato, en tal caso, a cada carta se le asigna el nombre de una ciudad, no la clave alfanumérica de los conjuntos de datos digitales.

46 Para obtener cada uno de los conjuntos de datos en escala 1: con formato de 1° de latitud por 2° de longitud, las áreas de 4° x 6° se dividen en 12 partes, cada una identificada con la clave de la "faja" y de la "zona", más el dígito correspondiente del uno al doce, para así ubicar de manera única a cada conjunto, por ejemplo G1312. La Serie escala 1: se imprime en su mayoría con este formato y a cada mapa se le asigna una clave y el nombre propio de un rasgo geográfico importante, por lo general, el de una localidad. Fig. 14

47 Para obtener los conjuntos de datos de la escala 1: debemos considerar los cuadrantes de la división para la escala 1: obtenidos a partir de las "fajas" de 4° de latitud y de las "zonas“ de 6° de longitud. Cada cuadrante de 4° x 6° es subdividido en cuatro "sectores" iguales, por medio del meridiano central de cada "zona " y del paralelo medio de cada "faja". Fig. 15

48 Los "sectores" obtenidos tienen un formato de 2° de latitud por 3° de longitud y se nombran A,B,C,D, con lo que cada "sector" se identifica de modo único, por ejemplo, G 13 A, G 13 B, G13 C, G13 D. Cada uno de los "sectores" (como el G13 D), se divide en 8 renglones de 15' de latitud y en 9 columnas de 20' de longitud. Por lo que los conjuntos de datos y los mapas impresos de escala 1: se presentan en formato de 15' de latitud por 20' de longitud. Como parte de la nomenclatura, cada conjunto de datos y mapa impreso de la serie escala 1:50 000, lleva un par de números que los caracterizan. Estos pares se forman de la combinación de un dígito de renglón y de un dígito de columna (en ese orden). Fig. 16

49 Los conjuntos de datos de escala 1: del INEGI presentan un formato de 7´ 30´´ de latitud por 6´ 40´´ de longitud, por lo que cada uno de los conjuntos de datos de escala 1: (como el G13 D 89), se subdivide en 6 cuadrángulos iguales denominados a, b, c, d, e, f. Por ejemplo, G 13 D 89 f. Fig. 17

50 Los conjuntos de datos de escala 1: del INEGI presentan un formato de 3´ 45´´ de latitud por 3´ 20´´ de longitud, por lo que cada uno de los conjuntos de datos de escala 1: (como el G13 D 89 f), se subdivide en 4 cuadrángulos iguales denominados 1, 2, 3, 4. Por ejemplo, G 13 D 89 f 4. Los conjuntos de datos de escala 1:5 000 del INEGI presentan un formato de 1´ 52.5´´ de latitud por 1´ 40´´ de longitud, por lo que cada uno de los conjuntos de datos de escala 1: (como el G13 D 89 f 4), se subdivide en 4 cuadrángulos iguales denominados a, b, c, d. Por ejemplo, G 13 D 89 f 4 d. Fig. 18

51 Los conjuntos de datos de escala 1: del INEGI presentan un formato de ´´ de latitud por 50´´ de longitud, por lo que cada uno de los conjuntos de datos de escala 1:5 000 (como el G13 D 89 f 4 d), se subdivide en 4 cuadrángulos iguales denominados 1, 2, 3, 4. Por ejemplo, G 13 D 89 f 4 d 3. Los conjuntos de datos de escala 1:1 000 del INEGI presentan un formato de ´´ de latitud por 25´´ de longitud, por lo que cada uno de los conjuntos de datos de escala 1:2 000 (como el G13 D 89 f 4 d 3), se subdivide en 4 cuadrángulos iguales denominados a, b, c, d. Por ejemplo, G 13 D 89 f 4 d 3 b. Fig. 19

52 4.3. PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA
Para representar la superficie física de la Tierra en el plano, es necesario primero proyectar la superficie terrestre en la superficie del elipsoide de referencia, lo cual se logra mediante el tratamiento analítico de las mediciones geodésicas y astronómicas y después de esto se representa en la superficie plana, mediante proyecciones cartográficas. La proyección cartográfica es un método matemático de representación de la superficie del elipsoide en el plano que establece la relación analítica de las correspondientes coordenadas del elipsoide y el plano. Ecuación de la proyección cartográfica: La representación ininterrumpida en el plano de la superficie del elipsoide se obtiene con ayuda de las deformaciones de la misma. Si se corta la superficie del elipsoide por los meridianos y se mantiene unida por la línea del Ecuador, se producen interrupciones en ella, de tal manera que aumentan a medida que la latitud es mas cercana a los polos.

53 Fig. 20 Para eliminar estos intervalos y conservar la representación ininterrumpida, es necesario cambiar las longitudes de las líneas, su dirección y sus áreas

54 En la figura siguiente, las deformaciones de los elementos representados con respecto al elipsoide, no son considerables cerca del Ecuador, pero aumentan a medida que se alejan de él. Fig. 21

55 4.4. REDES CARTOGRÁFICAS Se denomina red cartográfica a la representación de la red de meridianos y paralelos en la carta y es la base de la proyección, misma que se diferencia una de otra dependiendo el tipo de proyección empleada. En algunas cartas la red cartográfica puede no ser representada, lo no implica que la carta no tenga proyección, como es el caso de algunas cartas temáticas a escala grande. Esto para no cargar demasiado el dibujo de la carta o para cuidar la presentación a la vista. La ecuación de la proyección cartográfica es también la ecuación de la red cartográfica y esta define la forma de sus meridianos y paralelos, la cual puede ser: Lineales; Arcos; Sinusoidales; Elipsoidales; Parabólicos; Hiperbólicos; etc.

56 Fig. 22

57 Fig. 23

58 Fig. 24

59 Fig. 25

60 Densidad en función de las escalas
Densidad de la red cartográfica.- es la distancia entre meridianos y paralelos. Muy densa genera una imagen muy cargada y no grata a la vista. Poco densa complica las mediciones y disminuye su precisión. Densidades cartográficas mas comunes: Tipo de carta Densidad en función de las escalas 1: – 1: 1: 1: – 1: De mesa 1° 2° 5° De pared 4° – 6° 10° La red cartográfica ortogonal es aquella donde los meridianos y paralelos se interceptan en ángulos rectos. Se denomina punto convencional de la red cartográfica a los puntos de intercepción de los meridianos con los paralelos.

61 4.5. MARCOS DE LA CARTA Y RED DE COORDENADAS
En las cartas los marcos bordean y decoran , tanto la zona de dibujo como el formato mismo de la carta. Como elemento matemático el marco de interés es el que delimita la zona de dibujo cartográfico, denominado Marco interno de la carta. Regularmente el marco interno presenta una forma rectangular o trapezoidal, sin embargo puede presentarse en otras formas como circular, ovalado, etc. Fig. 26

62 Dentro de este marco puede contenerse otros marcos en los extremos que contengan información gráfica, como parte de la carta a otra escala, fotografía aérea de la zona, fotoplano, block esquema, diagrama, etc., con la intensión de complementar la información de la carta o explicar algún proceso que haya tenido lugar en la zona representada en la carta. Se emplean también, los marcos que muestran los grados y minutos correspondientes a los meridianos y paralelos de la red cartográfica, con su notación numérica de longitud y latitud respectivamente, la cual se conoce como Gradícula. La red de coordenadas de la carta, es la red de líneas que se emplean en la carta para establecer las coordenadas de la proyección en las direcciones principales (cuadricula de coordenadas). La red de coordenadas de la carta empleada en México, se da en la proyección cartográfica Universal Transversa de Mercator y se establece con un intervalo de kilometros en dependencia de la escala. En las cartas de navegación la red de coordenadas se puede representar como una red de círculos o de hipérbolas.

63 4.6. MERIDIANO CENTRAL DE LA PROYECCIÓN
El meridiano central de la proyección es aquel que se toma como origen para las mediciones de la longitud en una determinada proyección cartográfica. En la representación de la superficie mundial, el meridiano central por regla se ubica al centro de la imagen de la carta con una línea recta, sin embargo en la representación parcial de la superficie y a escala grande, el meridiano central puede no quedar representado. Fig. 27 Fig. 28

64 El meridiano central sirve también para hacer representaciones animadas a partir de varias representaciones cartográficas. Por ejemplo la rotación terrestre sobre su propio eje: Fig. 29

65 Animación: Fig. 30

66 En la proyección UTM, el meridiano central se establece para cada una de las zonas de 6° de longitud, con que se trabaje. Para efecto de trabajar con valores positivos en las coordenadas horizontales (abscisas), se establece un valor grande de la coordenada en este sentido al meridiano central ( ). Fig. 31

67 4.7. ELEMENTOS MÉTRICOS DE LA SUPERFICIE Y SUS DEFORMACIONES
Los elementos métricos de la superficie terrestre son: Distancia; Ángulo; Área. La comparación de los elementos métricos entre la superficie y al proyección se emplea para estudiar sus propiedades y sus deformaciones. El estudio métrico de la superficie requiere del uso de la geometría diferencial. Ecuación de la proyección cartográfica: Al desplazamiento infinitamente pequeño en latitud y longitud, corresponde un desplazamiento proporcional en la proyección: _ son las derivadas parciales.

68 Usando coeficientes: En cartografía matemática se denomina a estos valores como Coeficientes de Gauss. Conociendo los coeficientes de Gauss se puede n determinar las distancias, los ángulos y las áreas en la superficie del modelo y en el plano. Es decir se puede determinar los elementos métricos de la superficie terrestre.

69 Formulas para el análisis de los elementos métricos en el plano
Distancia elemental dl Distancia de arco de meridiano dlM y de paralelo dlP Ángulo θ entre las direcciones positivas de los meridianos y paralelos Azimut de dirección α Área dF del paralelogramo elemental con lados dlM y dlP y ángulo θ

70 Formulas para el análisis de los elementos métricos en el elipsoide
Distancia elemental dD Distancia de arco de meridiano dS y de paralelo ds Ángulo θ entre las direcciones positivas de los meridianos y paralelos Azimut de dirección A Área dF del trapecio elemental en el elipsoide

71 m- escala lineal parcial en los meridianos;
DEFORMACIÓN LINEAL La deformación lineal en la carta se manifiesta cuando la escala lineal varia con el cambio de posición de los puntos y como consecuencia de ello la relación entre las distancias correspondientes en la tierra y en la carta no se mantiene. Para conocer la deformación lineal se analiza la escala lineal parcialmente en tres direcciones en una superficie infinitamente pequeña: m- escala lineal parcial en los meridianos; n - escala lineal parcial en los paralelos; µ - escala lineal parcial en cualquier otra dirección. Usando los parámetros de Gaus:

72 Donde: A – azimut en el elipsoide de una dirección para la cual se determina la escala lineal parcil µ. θ – ángulo entre meridiano y paralelo en dado punto sobre la carta. Para el trabajo con la carta es mas común el uso de la siguiente ecuación: α – azimut medido en la carta para la dirección en la que se quiere µ. Para α = 0 se tiene µ = m. Para α = θ se tiene µ = n. La deformación lineal en la proyección se puede determinar con cualquiera de las ecuaciones:

73 DEFORMACIÓN EN LA SUPERFICIE
Para determinar la escala parcial de superficie se emplea una de las ecuaciones: Para determinar la deformación de superficie se emplea la ecuación: Fig. 32

74 DEFORMACIÓN ANGULAR La dependencia entre los azimuts en el elipsoide y la carta se establece con la ecuación: La deformación angular: En la carta se emplean los coeficientes de Gauss:

75 V. PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS
5.1. CLASIFICACIÓN DE LAS PROYECCIONES POR EL TIPO DE DEFORMACION Cualesquier sistema de proyecciones presenta algunas o todas de las siguientes deformaciones: Angulos similares en diferentes puntos sobre la tierra pueden o no aparecer como ángulos semejantes en la carta; El área de una sección puede o no aparecer aumentada o reducida en proporción al área de otras secciones; Puede existir deformación sobre las distancias entre los puntos; Deformaciones entre puntos divergentes. En función de las deformaciones que no presentan, las proyecciones pueden ser clasificadas en las siguientes: Proyecciones equivalentes: Son aquellas que no presentan deformaciones en las áreas de las zonas;

76 5.2. CLASIFICACIÓN DE LAS PROYECCIONES POR EL TIPO DE RED CARTOGRÁFICA
Proyecciones equidistantes: Son las que conservan la escala en todas las direcciones a partir de un punto; Proyecciones acimutales: Este tipo no presenta alteraciones en las direcciones. 5.2. CLASIFICACIÓN DE LAS PROYECCIONES POR EL TIPO DE RED CARTOGRÁFICA Se denomina modelo de deformación a los cuerpos en cuya superficie se proyecta la superficie del elipsoide. Los modelos empleados en cartografía, presentan la particularidad de que su superficie es desarrollable, es decir, se puede extender en una superficie plana. MODELO CILINDRICO: Resulta cuando se proyecta la superficie del elipsoide en la de un cilindro. Si el cilindro es tangente al elipsoide, recibe el nombre de tangencial y si lo corta, secante.

77 Modelo cilíndrico tangente (a); modelo cilíndrico secante (b)
Fig. 33

78 De acuerdo con la posición del cilindro con respecto al elipsoide, las proyecciones cilíndricas pueden ser: Rectas (a), transversales (b), e inclinadas (c). Fig. 34

79 MODELO CONICO: Resulta cuando la transformación se hace a la superficie de un cono. Este puede ser tangente al elipsoide según un círculo menor (a), o interceptarlo en dos círculos menores (b). Fig. 35

80 Las proyecciones cónicas, de acuerdo con la orientación del cono con respecto al elipsoide se clasifican en: Rectas, transversales e inclinadas. Fig. 36

81 MODELO AZIMUTAL O DE PERSPECTIVA: Se genera cuando se proyecta la superficie del elipsoide en un plano, ya sea tangente o secante. Estas también pueden ser: rectas, transversales e inclinadas. Fig. 37

82 Punto de perspectiva Proyección
Proyecciones Gnomónicas.- son aquellas que tienen como punto de perspectiva el centro de la Tierra. Punto de perspectiva Proyección Fig. 38

83 Punto de perspectiva Proyección
Proyecciones Estereográficas.- son aquellas que tienen como punto de perspectiva el punto diametral opuesto al punto de tangencia. Punto de perspectiva Proyección Fig. 39

84 Punto de perspectiva Proyección
Proyecciones Ortográficas.- Son aquellas que tienen como punto de perspectiva al infinito. Punto de perspectiva Proyección Fig. 40

85 5.3. GRUPO DE PROYECCIONES AZIMUTALES
Acimutal recta equivalente Acimutal recta conforme (equiangular) Fig. 41 Fig. 42

86 Pseudoazimutal recta equivalente.
Fig. 43

87 Poliacimutalrecta arbitraria
Fig. 44

88 5.4. GRUPO DE PROYECCIONES CÓNICAS
Cónica recta arbitraria Fig. 45

89 Pseudocónica Stab - Werner
Fig. 46

90 Pseudocónica Bonn Fig. 47

91 Policónica simple Fig. 48

92 Policónica equiangular de Lagrange
Fig. 49

93 5.5. GRUPO DE PROYECCIONES CILINDRICAS
Proyección cilíndrica recta equivalente Fig. 50

94 Proyección cilíndrica recta equidistante
Fig. 51

95 Proyección cilíndrica recta acimutal (equiangular)
Fig. 52

96 Proyección pseudocilíndrica elíptica equivalente
Fig. 53

97 Proyección pseudocilíndrica elíptica de Eckert
Fig. 54

98 VI. PROYECCIÓN CÓNICA 6.1. COORDENADAS POLARES DE LA PROYECCIÓN CÓNICA RECTA v α O´ T α R O Fig. 55

99 Manto del cono desarrollado
V θ T T l Fig. 56 Ángulo del manto (θ): Circunferencia del paralelo tipo en la esfera: Circunferencia que se forma con un radio igual a V T: Constante del cono:

100 α2 αT α1 Representando un sector de latitud y longitud geográfica V θ´
λ1 λ2 Fig. 57

101 Ángulo del sector: Para el trazo de los paralelos de el sector en la proyección, se parte del radio del paralelo tipo y el arco de meridiano rectificado entre paralelos. Radio del paralelo tipo: Arco de meridiano rectificado: Radio de un paralelo diferente al paralelo tipo:

102 6.2. COORDENADAS RECTANGULARES DE LA PROYECCIÓN CÓNICA RECTA
V θ r´ r´ x D y X T

103 FACTOR DE ESCALA. Para los meridianos es igual a la unidad; Para los paralelos, se establece como la relación entre la longitud de arco en la esfera y en la proyección: Para el paralelo tipo: Para un paralelo diferente del paralelo tipo:

104 6.3. PROYECCIÓN CÓNICA CONFORME DE LAMBERT
V Ts Ti