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MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas 10 Movimientos y semejanzas Maurits Cornelius Escher exploró todas las posibilidades de representación.

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1 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas 10 Movimientos y semejanzas Maurits Cornelius Escher exploró todas las posibilidades de representación artística de las transformaciones geométricas del plano, particularmente, los movimientos. INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET SALIR

2 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas El papel de Euclides en las Matemáticas Enlace a una edición completa de “Los Elementos” de Euclides Enlace a una biografía de Euclides INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Busca en la Web

3 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Esquema de contenidos Movimientos y semejanzas Vectores Características Coordenadas Movimientos en el plano Traslación Giro Simetrías Composición de movimientos Arte con simetrías Homotecias y semejanzas Homotecia Polígonos semejantes Razón de semejanza Escalas Planos Mapas Teorema de Tales Aplicaciones INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR

4 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Identificación de transformaciones del plano INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR SIGUIENTE Los movimientos del plano y la homotecia son transformaciones que se presentan con frecuencia en la vida cotidiana. Un ejercicio interesante consiste en identificar cada caso, diferenciando cada transformación por su diferente relación con el original.

5 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Identificación de transformaciones del plano INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR SIGUIENTE ¿Puedes localizar en este acuario las imágenes del pez azul del centro por una traslación, por una simetría, por un giro, por una simetría central y por una homotecia?

6 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Identificación de transformaciones del plano INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR ¿Puedes localizar las imágenes del pez azul del centro por una traslación, por una simetría, por un giro y por una homotecia? (En la figura puedes ver los elementos de cada transformación incluyendo el ángulo de giro y la razón de homotecia.) SIGUIENTE

7 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Identificación de transformaciones del plano INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Si vas al enlace, puedes cambiar los datos de las transforma- ciones para ver como afectan a los peces imágenes. Acuario

8 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Composición de traslaciones y de traslación con giro INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR SIGUIENTE Sabes que al actuar sucesivamente dos traslaciones sobre una figura el resultado es una traslación. La traslación de vector transforma la Figura 1 en la Figura 2. La traslación de vector transforma la Figura 2 en la Figura 3. Finalmente, en un solo paso, la traslación de vector transforma la Figura 1 en la Figura 3. Composición de traslaciones Compruébalo de un modo dinámico siguiendo el enlace.

9 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Composición de traslaciones y de traslación con giro INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Al actuar una traslación, primero, y un giro después, el resultado es un giro del mismo ángulo, si bien de distinto centro. Traslación y giro Lo puedes ver con más detalle si sigues el enlace. La traslación transforma la Figura 1 en la Figura 2. En segundo lugar, un giro de centro O transforma la Figura 2 en la Figura 3. De un golpe, el giro de centro C transforma la Figura 1 en la Figura 3.

10 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher Como hemos dicho, el artista holandés M. C. Escher utiliza en extenso los movimientos que estudias en esta Unidad para elaborar sus obras. Analizaremos alguna de ellas. INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR SIGUIENTE

11 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR SIGUIENTE El lagarto B puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento. ¿Cuál? Como hemos dicho, el artista holandés M. C. Escher utiliza en extenso los movimientos que estudias en esta Unidad para elaborar sus obras. Analizaremos alguna de ellas.

12 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR SIGUIENTE El lagarto B puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento. ¿Cuál? Se trata de una simetría central con centro en el punto O. El lagarto C también puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento (si no tenemos en cuenta el color). ¿Cuál? Como hemos dicho, el artista holandés M. C. Escher utiliza en extenso los movimientos que estudias en esta Unidad para elaborar sus obras. Analizaremos alguna de ellas.

13 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR SIGUIENTE El lagarto B puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento. ¿Cuál? El lagarto C también puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento (si no tenemos en cuenta el color). ¿Cuál? Se trata de una simetría central con centro en el punto O. Como hemos dicho, el artista holandés M. C. Escher utiliza en extenso los movimientos que estudias en esta Unidad para elaborar sus obras. Analizaremos alguna de ellas.

14 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR SIGUIENTE El lagarto B puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento. ¿Cuál? El lagarto C también puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento (si no tenemos en cuenta el color). ¿Cuál? Se trata de una simetría central con centro en el punto O. Se trata de una traslación cuyo vector, en rojo, va de un punto original a su imagen. El lagarto C se convierte en el D mediante un movimiento. ¿Cuál? Como hemos dicho, el artista holandés M. C. Escher utiliza en extenso los movimientos que estudias en esta Unidad para elaborar sus obras. Analizaremos alguna de ellas.

15 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher Como hemos dicho, el artista holandés M. C. Escher utiliza en extenso los movimientos que estudias en esta Unidad para elaborar sus obras. Analizaremos alguna de ellas. INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR El lagarto B puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento. ¿Cuál? El lagarto C también puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento (si no tenemos en cuenta el color). ¿Cuál? Se trata de una simetría central con centro en el punto O. Se trata de una traslación cuyo vector, en rojo, va de un punto original a su imagen. El lagarto C se convierte en el D mediante un movimiento. ¿Cuál? Mediante un giro de 90º con centro en el punto O.

16 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Mosaicos que se reproducen Dibuja un triángulo cualquiera. Recórtalo y haz varias copias de él. ¿Puedes reunir varias de ellas para dar un triángulo mayor, semejante a él? (Una pista: bastará con cuatro triángulos.) INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR SIGUIENTE

17 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Mosaicos que se reproducen Dibuja un triángulo cualquiera. Recórtalo y haz varias copias de él. ¿Puedes reunir varias de ellas para dar un triángulo mayor, semejante a él? (Una pista: bastará con cuatro triángulos.) INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR SIGUIENTE La respuesta es el triángulo de la figura. El nuevo triángulo es semejante al inicial. ¿Cuál es la razón de semejanza?

18 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Mosaicos que se reproducen Dibuja un triángulo cualquiera. Recórtalo y haz varias copias de él. ¿Puedes reunir varias de ellas para dar un triángulo mayor, semejante a él? (Una pista: bastará con cuatro triángulos.) INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR SIGUIENTE Hay superficies que, al reunirse varias copias de sí misma, se forma otra mayor semejante a la original. En inglés, se llaman rep-tiles, que es una abreviatura de “mosaicos que se reproducen”. La respuesta es el triángulo de la figura. El nuevo triángulo es semejante al inicial. ¿Cuál es la razón de semejanza? El lado es el doble del original, luego la razón es 2. Observa que su área es cuatro veces la del original. Como sabes, la razón de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza.

19 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Mosaicos que se reproducen INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR SIGUIENTE Hay superficies que, al reunirse varias copias de sí misma, se forma otra mayor semejante a la original. En inglés, se llaman rep-tiles, que es una abreviatura de “mosaicos que se reproducen”. El triángulo que es la mitad de un cuadrado (o sea, la escuadra de dibujo) es rep-tile de orden 2, es decir, que con dos triángulos como él se forma un triángulo con la misma forma. Recorta en un papel dos triángulos como éste y encuentra la solución. El triángulo que tiene ángulos 30º-60º-90º (o sea, el cartabón de dibujo) es rep-tile de orden 3. Recorta en un papel tres triángulos como éste y forma uno mayor semejante a él.

20 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Mosaicos que se reproducen INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR SIGUIENTE Las soluciones a estos dos casos son las siguientes:

21 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Mosaicos que se reproducen INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR SIGUIENTE Las figuras de esta diapositiva son rep-tiles de orden 4. Puedes recortarlas en papel, pues todas ellas son figuras simples: - La figura verde (A) está formada por 3 cuadrados, - el trapecio amarillo (B) es un cuadrado y la mitad de otro, - el trapecio azul (C) es la reunión de 3 triángulos equiláteros, - la figura en L (D) está formada por 4 cuadrados. Puedes intentar formar las correspondientes figuras semejantes siguiendo los respectivos enlaces: Figura A Figura B Figura C Figura D

22 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Mosaicos que se reproducen INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Las soluciones de cada caso se muestran a continuación. Observa la semejanza entre las figuras. La razón de semejanza es 2, puesto que la razón de semejanza de áreas es 4. Si haces las figuras en cartulina, tendrás interesantes rompecabezas.

23 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Geometría dinámica IR A ESTA WEB Transformaciones IR A ESTA WEB Enlaces de interés INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR

24 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 10: Movimientos y semejanzas Actividad: Un juego sobre la razón entre dos números En la sección de Educación de la BBC, hay una interesante actividad sobre movimientos. Para desarrollarla, sigue este enlace.enlace Dirección: INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR


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