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INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR 3 Polinomios El Álgebra, la parte de las Matemáticas de la que los polinomios son la base, nació con los.

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1 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR 3 Polinomios El Álgebra, la parte de las Matemáticas de la que los polinomios son la base, nació con los árabes en Bagdad en el siglo IX. La palabra árabe álgebra alude al hábil manejo de los cálculos con signos, similar a la maestría de los autores del intricado arte decorativo árabe. MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios INTERNET LECTURA INICIAL ESQUEMA ACTIVIDAD

2 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Enlace a una historia de la Matemática árabe Enlace a la Casa de la Sabiduría de Bagdad y la ciencia islámica MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Árabes y matemáticas

3 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Esquema de contenidos Polinomios Monomios Concepto Monomios semejantes Polinomios Conceptos Grado Valor numérico Operaciones con polinomios Suma y resta Multiplicación División Fracciones algebraicas Simplificación Igualdades notables Cuadrado de una suma Cuadrado de una diferencia Suma por diferencia

4 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x x x – 4 entre x x – 1. Para que pueda realizarse la división, el grado del dividendo debe ser mayor que el del divisor. MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE

5 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x x x – 4 entre x x – 1. Disponemos los polinomios dividendo y divisor, dejando huecos en el dividendo cuando falte una potencia. 3 x x x – 4x x – 1 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE

6 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x x x – 4 entre x x – 1. 3 x x x – 4x x – 1 3 x 2 Dividimos el primer monomio del dividendo por el primero del divisor y el resultado es el primero del cociente. MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE

7 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x x x – 4 entre x x – 1. 3 x x x – 4x x – 1 3 x 2 Multiplicamos ese monomio por todo el divisor y el resultado, cambiado de signo, se pone bajo el dividendo. – 3 x 4 – 9 x x 2 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE

8 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x x x – 4 entre x x – 1. 3 x x x – 4x x – 1 3 x 2 – 2x Se repite el proceso hasta que el polinomio resultante del dividendo sea de grado menor que el del divisor. – 3 x 4 – 9 x x 2 – 2 x x x – 4 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE

9 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x x x – 4 entre x x – 1. 3 x x x – 4x x – 1 3 x 2 – 2x Que no se te olvide cambiar el signo…. – 3 x 4 – 9 x x 2 – 2 x x x – x x 2 – 2 x MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE

10 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x x x – 4 entre x x – 1. 3 x x x – 4x x – 1 3 x 2 – 2x + 9 – 3 x 4 – 9 x x 2 – 2 x x x – x x 2 – 2 x 9 x 2 – 4 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE

11 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x x x – 4 entre x x – 1. 3 x x x – 4x x – 1 3 x 2 – 2x + 9 – 3 x 4 – 9 x x 2 – 2 x x x – x x 2 – 2 x 9 x 2 – 4 – 9 x 2 – 27x + 9 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE

12 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x x x – 4 entre x x – 1. 3 x x x – 4x x – 1 3 x 2 – 2x + 9 – 3 x 4 – 9 x x 2 – 2 x x x – x x 2 – 2 x 9 x 2 – 4 – 9 x 2 – 27x + 9 – 27x + 5 Puesto que el grado del polinomio resultante es menor que el del divisor, la división ha terminado. Resultado: Cociente: 3 x 2 – 2x + 9 Resto: – 27x + 5 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios

13 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Identidades notables: Cuadrado de una suma Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b) 2 y la expresión a 2 + b 2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes la figura: En ella se observa que el cuadrado de ( a + b), el cuadrado grande es mayor que la suma de los cuadrados de a (en rojo y de b (en verde). MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE

14 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Identidades notables: Cuadrado de una suma (a + b) 2 = a a b + b 2 Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b) 2 y la expresión a 2 + b 2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes la figura: En ella se observa que el cuadrado de ( a + b), el cuadrado grande es mayor que la suma de los cuadrados de a (en rojo y de b (en verde). La expresión correcta es: Lo puedes ver en la figura y podrás verlo mejor en la imagen dinámica a la que accedes haciendo clic en el enlace siguiente: Cuadrado suma MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios

15 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Identidades notables: Cuadrado de una diferencia La expresión (a – b) 2, llamada cuadrado de la diferencia se desarrolla, al quitar paréntesis, así: (a – b) 2 = a 2 – 2 a b + b 2 MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE

16 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Identidades notables: Cuadrado de una diferencia La expresión (a – b) 2 llamada cuadrado de una diferencia se desarrolla, al quitar paréntesis, así: (a – b) 2 = a 2 – 2 a b + b 2 Lo podrás ver bien si accedes, haciendo clic en el enlace siguiente, a la imagen dinámica correspondiente: Cuadrado diferencia MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios

17 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Identidades notables: Diferencia de cuadrados La expresión a 2 – b 2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al producto ( a + b) por (a – b). Es decir: a 2 – b 2 = (a + b) · (a – b) MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE

18 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Identidades notables: Diferencia de cuadrados La expresión a 2 – b 2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al producto ( a + b) por (a – b). Es decir: a 2 – b 2 = (a + b) · (a – b) Puedes comprobar esta identidad en la imagen que sigue al enlace: Diferencia de cuadrados MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios

19 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE

20 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Sacar factor común y simplificar fracciones Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta. ó MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.

21 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Sacar factor común y simplificar fracciones Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta. ó La correcta es la expresión de la derecha, en la que hemos simplificado un factor de TODO el numerador. En la primera, x sólo ha sido eliminado en un sumando. Basta con que hagas las pruebas de las dos divisiones para certificarlo: x (x 2 + 5) = x x x x x (x + 5) = x x MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.

22 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Sacar factor común y simplificar fracciones Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) MAL BIEN a) ó MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.

23 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Sacar factor común y simplificar fracciones Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) MAL BIEN En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor común a x en el numerador a los dos primeros sumandos: a) ó MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.

24 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Sacar factor común y simplificar fracciones Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) MAL BIEN En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor común a x en el numerador a los dos primeros sumandos: x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1 y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1): a) ó MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.

25 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Sacar factor común y simplificar fracciones Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) MAL BIEN En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor común a x en el numerador a los dos primeros sumandos: x y + x + y + 1 = x (y + 1 ) + y +1 y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1): a) ó x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1 = (x + 1) · (y +1) Se va a poder simplificar la fracción del caso b): MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios SIGUIENTE Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.

26 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Sacar factor común y simplificar fracciones Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) b) MAL BIEN a) ó b) MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.

27 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Enlaces de interés Actividades de la BBCActividades y Diccionario IR A ESTA WEB MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios

28 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD ANTERIOR SALIR Actividad: Moquetas de superficies variables Aparecen aquí diversas situaciones en las que, al enmoquetar el suelo de una habitación, surgen expresiones polinómicas. Para conocerlo, sigue este enlace.enlace Dirección: MATEMÁTICAS 3.º ESO Unidad 3: Polinomios


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