● 4.1- Operaciones Binarias. Propiedades.

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1 ● 4.1- Operaciones Binarias. Propiedades.
-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.1- Operaciones Binarias. Propiedades. ● Definición. Una operación binaria * en un conjunto X, es una regla que asigna a cada par ordenado (x,y), algún elemento x*y ∈ X. Es decir, ● ∀ x,y ∈ X, x*y ∈ X. ● Definición. Una operación binaria * en un conjunto X, es conmutativa si y sólo si, ∀ x,y ∈ X, x*y = y*x. ● Definición. Una operación binaria * en un conjunto X, es Asociativa si y sólo si, ∀ x,y,z ∈ X, (x*y)*z = x*(y*z). ● Tablas para las operación binaria. En ocasiones se definen ciertas operaciones binarias a través de tablas de doble entrada, por las facilidades que proporciona su presentación.

2 ● 4.1- Operaciones Binarias. Propiedades.
-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.1- Operaciones Binarias. Propiedades. ● Definición. Una operación binaria * en un conjunto X, se dice cerrada en ese conjunto, si y sólo si, ∀ x,y ∈ X, x*y ∈ X. A veces se dice, que * satisface la propiedad de clausura en X, pero realmente esta es una deducción de la definición dada en la diapositiva anterior. ● Definición. Una operación binaria * en un conjunto X, posee un elemento identidad, si y sólo si, ∀ x ∈ X, ∃ e∈X, x*e = e*x = x. Este es el denominado elemento neutro de * en X. ● Definición. Una operación binaria * en un conjunto X, posee un opuesto o inverso, si y sólo si, para cada x ∈ X, ∃ x-1∈X, x*x-1 = x-1*x = e.

3 ● 4.1- Operaciones Binarias. Propiedades. ● Ejemplos:
-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.1- Operaciones Binarias. Propiedades. ● Ejemplos: - 1. Defínase una operación binaria * en Q, por a*b = a/b. Aquí, * no está definida, pues no asigna un racional al par (2,0) ni a ninguno que tenga como segunda componente el número 0. 2. Defínase una operación binaria * en Q+, por a*b = a/b. Aquí, * si está definida, pues para cualquier par (a,b) implica que b ≠ 0. 3. Defínase una operación binaria * en Z+, por a*b = a/b. Aquí, * no está definida, pues por ejemplo para el par (2,3) 2*3 = 2/3 ∉ Z+. 4. Defínase una operación binaria * en Z+, por a*b = ab. Es una operación binaria sobre Z+?

4 ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades. ● Grupos y semigrupo.
-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades. ● Grupos y semigrupo. ● Definición. Un conjunto G, junto a una operación binaria *, denotado por 〈G,*〉, se llama grupo si se satisfacen las siguientes propiedades: (i) La operación * es asociativa; (ii) Existe el elemento e (identidad) para * en G; (iii) Para cada a ∈ G, existe un a-1 ∈ G, tal que a*a-1 = a-1*a =e ● Definición. Un conjunto G, junto a una operación binaria *, denotado igual por 〈G,*〉, se llama simigrupo si se satisface el axioma (i); es decir, 〈G,*〉 es un semigrupo ssi, * es asociativa en G. ● Definición. Al par 〈G,*〉, se le llama Estructura o Sistema Algebraico, sea ésta grupo o semigrupo.

5 ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades. ● Grupos.
-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades. ● Grupos. ● Teorema. Sea 〈G,*〉 un grupo. Dados e,e’∈G, si e y e’ son identidades de * en G, entonces e = e’ (unicidad de la identidad en los grupos). ● Teorema. Sea 〈G,*〉 un grupo. Dado x∈G y sean x’∈G y x’’∈G, tales que tanto x’ como x’’ son inversos de x; esto es, x*x’ = x’*x = e y x*x’’ = x’’*x = e. Entonces x’ = x’’ (unicidad de los inversos en los grupos). ● Definición. Si el grupo 〈G,*〉, satisface la propiedad conmutativa se dice que el grupo es conmutativo o Abeliano. ● Asignación. Ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5, página 287.

6 ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades. ● Isomorfismo entre Grupos.
-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades. ● Isomorfismo entre Grupos. ● Definición. Un Isomorfismo entre un grupo 〈G,*〉 y un grupo 〈G’,*’〉 es una función uno a uno φ que lleva a G sobre G’, tal que para todas las x,y∈G, φ (x*y) = (φ x)*’(φ y) ● Definición. Con otras palabras, φ: G → G’ es un isomorfismo sii, - φ es uno a uno (o biyectiva); - ∀ x,y∈G, φ (x*y) = (φ x) *’(φ y). ● Definición. Los grupos 〈G,*〉 y 〈G’,*’〉 se dice Isomorfos entre sí. ● Para decir que dos grupos son isomorfos se escribe 〈G,*〉 ≃〈G’,*’〉

7 ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades. ● Isomorfismo entre Grupos.
-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades. ● Isomorfismo entre Grupos. ● Teorema. Si φ: G → G’ es un isomorfismo entre G y G’ y e es la identidad de G, entonces φe es la identidad en G’. Además, φa-1 = (φa) para todas las a∈G. ● Abreviadamente, el teorema anterior dice que, un isomorfismo lleva la identidad a la identidad y los inversos a los inversos. ● Pasos para probar si dos grupos son isomorfos. 1. Definir la función φ que define el isomorfismo de G a G’; 2. Mostrar que φ es uno a uno; 3. Mostrar que φ es sobreyectiva; 4. Mostrar que φ(xy) = φ(x) φ(y) para todas las x,y∈G.

8 -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades. ● Cuerpo. ● Definición. Un cuerpo es un sistema abstracto matemático dado por: - Términos sin definir; - Elementos: a, b, c, … de un conjunto C. Se supone que existen por lo menos dos elementos; - Operaciones: +; x. El producto axb se escribe con frecuencia como ab o (a)(b). Los símbolos + y x no siempre representan la adición y la multiplicación, sino que son operaciones sin definir. - Axiomas: - R1. La suma a+b de cada par de elementos de C es un elemento único de C (cerradura); - R2. Para cualquier terna a, b, c de C. (a+b) +c = a+(b+c) (Ley asociativa); - R3. Existe un único elemento de C llamado cero, tal que para cada elemento a de C, a+0 = 0+a = a (el elemento cero es la identidad aditiva de C).

9 -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades. ● Continuación definición de cuerpo. - R4. Para todo elemento a de C existe un único elemento –a de C, tal que a+(-a) = (-a) +a = (-a es el inverso aditivo de a); - R5. Para todo par de elemento a, b de C a+b = b+a (Ley conmutativa); - R6. Para todo par de elemento a, b de C, el producto axb es un único elemento c de C (Ley conmutativa); - R7. Para toda terna de elementos a, b, c de C, (axb)xc = ax(bxc) (Ley asociativa). - R8. Existe un único elemento de C llamado unidad y escrito como 1, tal que para todo elemento a de C, ax1 = 1xa = a (unidad multiplicativa de C); - R9. Para todo a ≠ 0, a∈C, existe un único elemento 1/a de C, tal que ax(1/a) = (1/a)xa = 1 (propiedad del inverso multiplicativo). - R10. Para todo par de elementos de C, axb = bxa (Ley conmutativa). - R11. Para toda terna a, b, c en C, ax(b+c) = axb + axc (Ley distributiva). - R10. Para todo a, b en C, axb = bxa (Ley conmutativa); - R11. -

10 ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades.
-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades. ● Notación para estructura de cuerpo. ● De manera general 〈C, +, x〉 . ● De manera particular 〈R,+, x〉 . ● De manera particular 〈complejos, +, x〉 . ● De manera particular 〈ℚ,+, x〉 .

11 ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades. ● Anillos.
-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades. ● Anillos. ● Definición. Un anillo, denotado por 〈R, +, x〉, es un conjunto R, junto con dos operaciones binarias + y x, que ordinariamente llamamos suma y multiplicación definidas sobre R y que satisfacen las siguientes propiedades: (i) 〈R, +〉 es un grupo abeliano ; (ii) La multiplicación es asociativa; (iii) Para todas las a, b, c en R, se cumple la Ley distributiva izquierda: a(b+c) = ab +ac, Ley distributiva derecha: (a+b)c = ac + bc.

12 -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.2- Sistemas Algebraicos. Propiedades. ● Anillos. ● Bajo la multiplicación y la suma definidas ordinariamente, probar que los siguientes son anillos: 〈ℤ, +, x〉; 〈ℚ, +, x〉; 〈R, +, x〉; 〈C, +, x〉;

13 -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.3- Números Naturales -ℕ-. Axiomas de Peano. Los números naturales, nombrados así puesto que surgen del hacer natural de los humanos, son los usados para contar y realizar las operaciones más sencillas en la naturaleza. El conjunto se representa por ℕ = {1, 2, 3, …} El conjunto de los naturales, previos acuerdos entre los que manejarán el material, se pueden escribir también así ℕ = {0, 1, 2, 3, …} Las características básicas que definen los ℕ son: Existe un primer ℕ; No hay un último ℕ (el conjunto es infinito); A un ℕ siempre le sigue otro ℕ; Todos los ℕ se consiguen sumando 1 al que le antecede, a partir del primero. El conjunto ℕ solo es cerrado para la adición.

14 ● 4.3- Números Naturales -ℕ-. Axiomas de Peano.
-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.3- Números Naturales -ℕ-. Axiomas de Peano. Pendientes los Axiomas de Peano.

15 El conjunto se representa por ℤ = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.4- Números enteros (ℤ) y racionales (ℚ). Los números enteros, nombrados así puesto que surgen al completar el circuito adición-sustracción. El conjunto se representa por ℤ = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} El conjunto de los enteros, se puede partir en tres conjuntos ℤ + = {1, 2, 3, …}, ℤ 0 = {0} Λ ℤ - = {-1, -2, -3, …} Las características básicas que definen los ℤ son: No existe un primer, ni un último ℤ (el conjunto es infinito); A un ℤ siempre le antecede y le sigue otro ℤ; Todos los ℤ se consiguen sumando 1 al que le antecede y restando 1 al que le sigue. El conjunto ℤ es cerrado para la adición y la sustracción.

16 ℚ es cerrado para la división.
-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad IV. Operaciones Binarias y Sistemas Numéricos. ● 4.4- Números enteros (ℤ) y racionales (ℚ). Los números racionales, nombrados así porque son aquellos que pueden ser escritos como el cociente o la razón de dos enteros. Además ellos agregan el circuito multiplicación-división a las operaciones matemáticas. El conjunto se representa por ℚ := {x/y: xЄZ, yЄZ Λ y ≠ 0}. El conjunto de los racionales, también puede partirse en tres conjuntos ℚ + = … ℚ 0 = {0} Λ ℚ - = … Las características básicas que definen los ℚ son: No existe un primer, ni un último ℚ (el conjunto es infinito); A un ℚ, no siempre le antecede y le sigue otro ℚ; Entre dos ℚ cualesquiera, hay infinitos ℚ. El conjunto ℚ es cerrado para la adición, la sustracción, la multiplicación y la división. ℚ es cerrado para la división.