Postulados del álgebra de boole

Presentación del tema: "Postulados del álgebra de boole"— Transcripción de la presentación:

1 Postulados del álgebra de boole
Definición: Algebra Booleana es un sistema algebraico cerrado formado por dos elementos 0 y 1 (Conjunto K), y dos operadores AND (x) y OR (+); para cada par de elementos a y b  K; a x b y a + b  K. Axiomas del algebra de Boole: Axioma 1: Existen elementos idénticos llamados “0” y “1”, tal que, para a K : a + 0 = a (elemento neutro) a x 1 = a (elemento identidad) Sistemas Digitales, Clase N°7

2 Axiomas del álgebra de boole
Axioma 2: Ley de Conmutatividad Para a y b K : a + b = b + a a x b = b x a Axioma3: Ley de Asociatividad, Para a, b y c K : a + ( b+c ) = ( a + b ) + c a x ( b x c ) = ( a x b ) x c Sistemas Digitales, Clase N°7

3 Postulados del álgebra de boole
Axioma 4: Ley de Distributividad Para a, b y c K : a + ( b x c ) = ( a + b) x (a + c) a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c) Axioma 5: elemento inverso Para cada elemento a K existe su elemento inverso tal que : Sistemas Digitales, Clase N°7

4 Principio de Dualidad Establece que si una expresión es valida en el álgebra de Boole, entonces su expresión dual también lo es. Determinamos la expresión dual remplazando los operadores “+” por “x” y viceversa y todos los elemento 0 por 1 y viceversa. Ejemplo: a + ( b x c ) = 1, expresión su dual es: a x ( b + c ) = 0 Sistemas Digitales, Clase N°7

5 Teoremas Teorema 1: Operaciones con “0” y “1”
Teorema 2: Operaciones superfluas con “0” y “1”: Teorema 3:operaciones superfluas con una variable Sistemas Digitales, Clase N°7

6 Teoremas Teorema 4: Involución (el complemento del complemento de A es igual a A). Teorema 5: teorema de Absorción: Teorema 6: t. de simplificación: Sistemas Digitales, Clase N°7

7 Teoremas Teorema 7: Teorema 8: Sistemas Digitales, Clase N°7

8 Teoremas Teorema 9: Teorema de Morgan En general:
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9 Teoremas Teorema 10: Consenso Sistemas Digitales, Clase N°7

10 Funciones de Conmutación
Sean x1, x2, … , xn símbolos llamados variables, cada uno representa un 0 o un 1, definiremos: Función de conmutación: es una correspondencia que asocia un elemento del álgebra con cada una de las combinaciones de las n variables x1, x2, … , xn. Ejemplos: En general una función de conmutación queda definida por una tabla de verdad. Sistemas Digitales, Clase N°7

11 Representación de una función de Conmutación
Tabla de Verdad: Evaluamos todos los posibles valores de entrada de la función y los colocamos en una tabla en forma ordenada de acuerdo al sistema binario ascendente. Ejemplo: f(x,y) = a + b f(x,y) = a x b a b a+b a b axb Sistemas Digitales, Clase N°7

12 Tabla de Verdad Describa una función de conmutación con 3 entradas a,b y c y una salida z, que es verdadera (1) cuando al menos 2 de sus entradas son verdaderas (1). a b c f Sistemas Digitales, Clase N°7

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14 Representación de una función de Conmutación
Formas Algebraicas Suma de Productos: se construye al sumar (or) términos productos (and). Ejemplo: Producto de Sumas) se construye con el producto (and) de términos suma (or). Sistemas Digitales, Clase N°7

15 Representación de una función de Conmutación
Formas Canónicas: Son formas Sumas de Productos y Productos de Sumas con características especiales. Existe una única forma canónica para cada función de conmutación. Mintérmino: término de una función de conmutación que corresponde al “AND” de todas las variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar. Ejemplo: Maxtérmino: término de una función de conmutación que corresponde al OR de todas las variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar. Sistemas Digitales, Clase N°7

16 Formas Canónicas Suma de Productos
a b c f Relación con la tabla de verdad: Cada mintérmino está asociado con la línea de la tabla, tal que: Las variables no están complementadas si tienen el valor 1 para la combinación en la cual la función vale 1. Las variables están complementadas si tienen el valor 0 para la combinación en la cual la función vale 1. Sistemas Digitales, Clase N°7

17 Formas Canónicas Suma de Productos
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18 Formas Canónicas Producto de Sumas
a b c f Relación con la tabla de verdad: Cada maxtérmino está asociado con la línea de la tabla, tal que: Las variables no están complementadas si tienen el valor 0 para una combinación en que la función vale 0 Las variables están complementadas si tienen el valor 1 para una combinación en que la función vale 0 Sistemas Digitales, Clase N°7

19 Formas Canónicas Producto de Sumas
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20 Representación de una función de Conmutación
Especificación decimal: Suma de Productos: Producto de Sumas: Sistemas Digitales, Clase N°7

21 Relación Mintérminos - Maxtérminos
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22 Deducción de Formas Canónicas
Teorema de expansión de Shannon: Ejemplo: Si falta se multiplica por la suma es igual a 1 Sistemas Digitales, Clase N°7

23 Convertir a Suma de Productos Canónica
a b c f Sistemas Digitales, Clase N°7

24 Convertir a Suma de Productos Canónica
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25 Convertir a Producto de Sumas Canónica
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