IAR134 Procesamiento de Señales

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UNIDAD 02: RESPUESTAS DE CIRCUITOS

Dr. Juan José Aranda Aboy
Contenidos Repaso de análisis de respuestas de circuitos R-L, R-C y R-L-C. Respuesta en el tiempo y en frecuencia a un estímulo y su relación. Filtros pasa bajo, pasa alto y pasabanda. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Objetivos Conocer y emplear apropiadamente los circuitos R-L, R-C y R-L-C, sus propiedades fundamentales. Utilizar estos circuitos en el filtrado de señales. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Señales y sistemas Sabemos que una señal es una función que representa la variación en el tiempo de una variable física. Para una señal de entrada dada, un sistema genera una respuesta ó señal de salida. En consecuencia, un sistema es una relación entre señales. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

SISO y MIMO Un sistema que tiene solamente una señal de entrada y una señal de salida se llama un sistema SISO: single-input and single output. Si el sistema tiene mas de una señal de entrada y o de salida, se denomina sistema MIMO: multiple input and / or multiple output. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Representaciones de sistemas
Una expresión matemática explícita para un sistema se llama representación del sistema. La representación también se llama modelo del sistema. El proceso de obtener la representación de un sistema se llama modelado. El desarrollo de un modelo de sistema a partir de la medición de las señales de entrada y de salida se denomina identificación del sistema. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Tipos de representaciones
Existen muchas representaciones, pero comúnmente se utilizan las cuatro siguientes: Ecuaciones diferenciales Funciones de transferencia de Laplace Integral de convolución Función de transferencia de Fourier Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Relaciones entre representaciones de sistemas
Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Ecuaciones diferenciales
La entrada a un sistema es una señal x(t) y su salida es y(t) El sistema es la relación entre x(t) y y(t) que está implícita en la ecuación diferencial. La alternativa es utilizar ecuaciones de espacio de estado. Las ecuaciones diferenciales se utilizan ampliamente para modelar diferentes procesos físicos. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Representación mediante ecuaciones diferenciales

Funciones de transferencia de Laplace
Si todas las condiciones iniciales valen cero, y se toma la transformada de Laplace para la ecuación diferencial anterior, resolviendo para la relación entre la señal de entrada y la de salida se obtiene una representación H(s) basada en las transformadas de Laplace X(s) de x(t) y Y(s) de y(t). H(s) se conoce como la función de transferencia. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Laplace (2) El sistema incluye las señales de entrada X(s) y de salida Y(s), así como la función de transferencia H(s), que se define como la relación entre la transformada de la señal de salida a la señal de entrada. La transformada de Laplace se utiliza como herramienta apropiada para resolver ecuaciones diferenciales. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Laplace (3) Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Integral de convolución
Sea Y(s)=H(s)X(s) Si se toma la transformada de Laplace inversa se obtiene: donde h(t)= L-1{H(s)} Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Representación de convolución
La integral de convolución es la representación utilizada de manera mas general: representación de convolución. Generalizando Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Diferencia conceptual
Esta representación depende de dos funciones: la señal de entrada x(t) y la función h(t). Estas funciones tienen una gran diferencia conceptual: x(t) es una señal, mientras que h(t) se asocia a un proceso físico que genera una señal de salida y(t). Conceptualmente, esta representación es mas simple de utilizar. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Función de transferencia de Fourier
Deriva de la integral de convolución, aplicando la propiedad de convolución de la transformada de Fourier: Y(ω)=H(ω )X(ω) donde H(ω)= F{h(t)} siendo h(t) obtenida en la integral de convolución anterior. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Fourier (2) La función de transferencia de Fourier viene dada por la relación: Y(ω)/X(ω) = H(ω) Aunque la función de transferencia de Fourier es conceptualmente idéntica a la función de transferencia de Laplace, existen situaciones físicas en las que es mas apropiado utilizar la transformada de Fourier que la de Laplace y viceversa. Ambas son muy útiles. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Respuesta a entradas estándar
Estudiemos como se pudiera caracterizar un sistema cuando se utiliza como prueba una señal de entrada específica. La respuesta al impulso de un sistema es la señal de salida del mismo cuando la señal de entrada aplicada es una función de impulso aplicada en t=0. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Respuesta a entradas estándar (2)
La respuesta al paso de un sistema es la señal de salida de dicho sistema cuando la señal de entrada es la función de paso unitario. la señal de salida del sistema en tiempo t a una señal de entrada impulso unitario en el instante t0 Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Transformada de Laplace del paso unitario
La respuesta al paso se calcula usando la transformada de Laplace del paso unitario: La señal de salida puede obtenerse aplicando Transformada de Laplace inversa: Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Respuesta al paso unitario y al impulso
La respuesta al paso unitario de un sistema se halla multiplicando su función de transferencia por 1/s y tomando transformada de Laplace inversa para obtener ys(t). La derivada de una función respuesta al paso es una función respuesta al impulso: Tomando transformada de Laplace inversa: Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Ejemplos A continuación estudiaremos las cuatro representaciones para tres casos típicos: Redes eléctricas Sistemas Masa – Resorte – Amortiguador Sistemas Masa - Carga Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Red RC La corriente que pasa a través del capacitor C está dada por: y es igual a la que atraviesa a la resistencia R: Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Red RC (2) La ecuación diferencial correspondiente es: La condición inicial es el voltaje sobre el capacitor en t=0. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Red RC en términos de impedancias complejas
Despejando La función de transferencia se escribe de manera que el primer coeficiente del denominador sea 1. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Obtención de integral de convolución
Para obtener la representación mediante integral de convolución se toma la transformada inversa de Laplace de esta función de transferencia: por lo que la representación de convolución es: Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Red RC con impedancias complejas
Despejando Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Respuestas al paso y al impulso
La respuesta al paso de esta red se calcula usando la función de transferencia de Laplace: Tomando transformada inversa de Laplace: Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Gráficas de las respuestas al impulso y al paso
NOTA: Se asume RC=1 Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Sistema Masa - Resorte - Amortiguador
En este tipo de sistemas se presenta una masa atada a un soporte fijo por medio de un resorte y un amortiguador: Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Configuración Masa – Resorte - Amortiguador
Masa: mst Constante del resorte: kst Coeficiente de amortiguamiento: cst Fuerza aplicada a la masa: fst Desplazamiento de la masa: yst Se asume que la masa se mueve sobre una superficie sin fricción. La señal de entrada al sistema es la fuerza aplicada a la masa, mientras que su desplazamiento es la señal de salida. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Diagrama de cuerpo libre

Ecuación diferencial De acuerdo con la segunda Ley de Newton: Reformulamos la ecuación para hacer que el primer coeficiente sea 1, y las señales de entrada y sus derivadas se reúnen a cada lado del signo: Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Función de transferencia de Laplace
La función de transferencia de Laplace se obtiene haciendo que las condiciones iniciales de la ecuación diferencial sean cero para tomar la transformada de Laplace y resolviendo la relación de la señal de salida sobre la señal de entrada: Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Integral de convolución
Se requiere la respuesta a impulso del sistema, que se obtiene tomando la transformada inversa de Laplace de la función de transferencia del sistema, para lo que se utiliza la tabla de pares de transformada de Laplace, quedando: donde Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Convolución (2) Entonces, la representación de convolución queda: Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Función de transferencia de Fourier
Se obtiene de la función de transferencia de Laplace usando la fórmula: de donde se obtiene: Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Respuesta del sistema al paso unitario
Es interesante observar la respuesta al paso y al impulso de este sistema. La respuesta del sistema al paso unitario se encuentra multiplicando la función de transferencia por 1/s y calculando la transformada inversa de Laplace (con tabla): Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Respuesta al impulso La respuesta al impulso se escribe como: donde α=ζωn y ωc = ωn √(1-ζ2) es la frecuencia crítica. El parámetro ζ recibe el nombre de relación ó factor de amortiguamiento. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Respuestas al impulso y al paso unitario
Calculadas con ζ=0.3 y ωn = 8.165 Notar que estas señales muestran una oscilación amortiguada. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Respuesta a impulso para dos relaciones de amortiguamiento diferentes
Se muestran dos valores diferentes de ζ, relacionado directamente con el coeficiente de amortiguamiento cst. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Frecuencia natural Asumiendo ζ=0, la frecuencia de oscilación es: El sistema oscilará a esta frecuencia si se aplica una fuerza impulsiva. Si ζ no es aproximadamente cero, la frecuencia de oscilación está dada por ωc. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Actuadores Masa - Carga
Un motor lineal DC está compuesto por: Base motor: Contiene las bobinas del motor y la electrónica de potencia. Masa – carga: Barra que contiene imanes y que es libre de moverse en una dirección lineal. Cuando se emplea para suprimir vibraciones recibe el nombre de actuador masa – carga. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Actuador Masa - Carga El propósito del motor lineal es impartir una fuerza proporcional a una señal de entrada comandada, o sea, que puede generarse libremente. Este dispositivo recibe el nombre de actuador. Para este sistema, la señal de entrada es el voltaje aplicado al motor, vpm(t), mientras que la señal de salida es la posición de la masa carga, ypm(t). Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Motor lineal sobre un sistema masa – resorte - amortiguador

Diagrama de cuerpo libre del actuador masa - carga
Modelo del movimiento: Se desprecia la fricción entre la base del motor y la masa – carga. El actuador tiene un recorrido ó stroke. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Respuestas al impulso y al paso de un actuador masa - carga
Respuesta al impulso Respuesta al paso Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Respuesta en el tiempo y en frecuencia a un estímulo y su relación
Consideremos nuevamente la red RC: La señal que representa el voltaje a través del capacitor, y(t), está dada por: Si R=1kΩ y C=1μF, entonces la constante de tiempo es RC=10-3. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Filtros Entre las características que determinan a una señal eléctrica se encuentra la frecuencia. En la práctica, a través de un circuito puede pasar más de una señal eléctrica, es decir, pueden pasar señales eléctricas con distinta frecuencia. Sin embargo, se puede dar el caso de que en determinadas circunstancias solo interesa única y exclusivamente una de las señales que pueden circular por el circuito. Esta es la acción de los filtros: "selección" de una señal eléctrica según su frecuencia. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Ejemplo Este filtro reduce el efecto de una señal en una frecuencia f2 no deseada sin afectar la calidad de la señal en la frecuencia f1, que si se desea. Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Características (1) Función de transferencia: Magnitud: Fase: Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Características (2) Frecuencia central: Factor de calidad ó “Agudeza” (Q): Escala logarítmica de amplitud expresada en decibeles: Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Acción de los filtros Magnitud: Fase: Curvas de respuesta Amplitud Fase Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Tipos de filtros Existen básicamente cuatro tipos de filtros: pasa-bajas, pasa-altas, pasa-banda y supresores de frecuencias o rechaza-banda (notch) Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Pasa bajas Curvas de respuesta Amplitud Fase Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Pasa altas Curvas de respuesta Amplitud Fase Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Rechazo de banda (Notch)
Curvas de respuesta Amplitud Fase Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Ejemplos de respuestas de filtros
Pasa altas Pasa bajas Pasa banda Notch Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Bibliografía Lindner, Douglas K: “Introducción a las Señales y los Sistemas”, McGraw-Hill, 2002 ISBN: Ogata . K. Ingenieria de Control Moderno Ed Prentice Hall Hispanoamericana, 1993 Oppenheim,A.V.; Schafer,R.W y Buck,J.R.. “Tratamiento de Señales en Tiempo Discreto”, 2da Edición. Prentice Hall, 2000 Burrus,C.S; McClellan,J.H; Oppenheim,A.V; Parks,T.W; Schafer,R.W; y Schuessler,H.W. “Ejercicios de Tratamiento de la Señal utilizando MATLAB V.4”, Prentice Hall, 1994 Oppenheim,A.V; Willsky,A.S; Nawab,S.H. “Señales y Sistemas”, Prentice Hall, 1997 “DSP Guide” (En Internet) “A Basic Introduction to Filters - Active, Passive, and Switched-Capacitor” Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

Wikipedia Primavera Dr. Juan José Aranda Aboy

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