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UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE.

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1 UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE COMPUTACION ASIGNATURA: SISTEMAS DE CONTROL PROFESOR: ING. GERARDO ALBERTO LEAL

2 UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL DINÁMICA DE PROCESOS: Se refiere al comportamiento y la respuesta de un Proceso, al ser estimulado. La dinámica de un procesos se puede clasificar según: El tipo de Función de Transferencia [ G (s) ]que lo describe. El tipo de señal de excitación [ U (s) ]. LOS MODELOS DE PROCESOS MAS COMUNES SON: Proceso constante Proceso de primer orden Proceso de segundo orden Proceso de orden superior Proceso con polos y ceros

3 UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL PROCESO CONSTANTE: Su G(s) esta definida por una constante K que representa la ganancia del proceso. G(s) = K U(s)Y(s) = K U(s) RESPUESTA AL ESCALÓN UNITARIO U(s)= 1/S: Y(s) = U(s).G(s) Y(s) = 1/S. K Y(s) = K/S L -1 [ Y(s) ] = L -1 {K/S} L -1 [ Y(s) ] = K L -1 {1/S} y(t) = K K toto t y(t) y(t) = K u(t) = 1

4 UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL PROCESO DE PRIMER ORDEN: Su G(s) presenta en el denominador una ecuación de 1er grado, ya que se origina de una Ecuación Diferencial de 1er orden. G(s) G(s) = K TS + 1 TS + 1 U(s) Y(s) = K. U(s) TS + 1 RESPUESTA AL ESCALÓN UNITARIO U(s) = 1/S: K = Constante de Ganancia o Amplitud de U(s). Muesta el valor final de la respuesta. T = Constante de tiempo (Seg, Min, Hrs). Tiempo en el que la respuesta adquiere el 63,2% del valor final Tt K y(t) 0,63K Régimen Estable Régimen Transitorio Y(s)= K. U(s) TS + 1 y(t)= K. (1- e -t/T )

5 UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL PROCESO DE SEGUNDO ORDEN: Su G(s) presenta en el denominador una ecuación de 2do grado, ya que se origina de una Ecuación Diferencial de 2do orden. G(s) G(s) = K T 2 S 2 + 2ζTS + 1 U(s)Y(s) ζ = Factor de Amortiguamiento T = Constante de Tiempo (Seg, Min, Hrs) K = Constante de Ganancia o Amplitud de U(s) Caso a: Ecuación Característica Caso b: Forma Canónica G(s) G(s) = K S 2 + 2ζ w n S + w n 2 U(s)Y(s) ζ = Factor de Amortiguamiento T = Constante de Tiempo (Seg, Min, Hrs) K = Constante de Ganancia o Amplitud de U(s) w n = Frecuencia Natural. (Frecuencia de oscilación de la respuesta del proceso.) w n = 1/T

6 UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL PROCESO DE SEGUNDO ORDEN: G(s) G(s) = K 1 T 1 S + 1 T 1 S + 1 U(s)Y(s) G(s) G(s) = K 2 T 2 S + 1 T 2 S + 1 G(s) G(s) = K T 1 T 2 S 2 + (T1+T2)S + 1 U(s)Y(s) T 1 T 2 = T 2 T 1 +T 2 = 2 ζ TK 1 K 2 = K Caso c: Procesos de Primer Orden en Serie

7 UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL RESPUESTAS DEL PROCESO DE SEGUNDO ORDEN AL ESCALÓN UNITARIO U(s) = 1/S: ζ = 0 (Oscilatoria) ζ = 1 (Amortiguada) 0< ζ < 1 (Subamortiguada) K G(s) G(s) = K T 2 T 2 S ζ > 1 (Sobreamortiguada) G(s) G(s) = K T 2 S 2 + 2ζTS + 1 G(s) G(s) = K T 2 S 2 + 2TS + 1

8 UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL CARACTERISTICAS DE LAS RESPUESTAS DE LOS SISTEMAS DE 2DO ORDEN: Subamortiguado: Repuesta rápida con oscilaciones antes de estabilizar. Amortiguado : Repuesta menos rápida libre de oscilaciones antes de estabilizar. Sobreamortiguado : Repuesta lenta libre de oscilaciones antes de estabilizar. Oscilatorio : Oscilaciones a una frecuencia natural wn

9 UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL Subamortiguado: Repuesta rápida con oscilaciones antes de estabilizar. Amortiguado : Repuesta mas rápida libre de oscilaciones antes de estabilizar. Sobreamortiguado : Repuesta lenta libre de oscilaciones antes de estabilizar. Oscilatorio : Oscilaciones a una frecuencia natural wn PROCESOS DE ORDEN SUPERIOR: Su G(s) presenta en el denominador una ecuación de grado mayor a 2, ya que se origina de una Ecuación Diferencial de orden superior a 2. Para evaluar la dinámica de estos proceso se recurre al software de análisis de procesos tal como el Simulink-Matlab. PROCESOS CON POLOS Y ZEROS: Su G(s) presenta polinomios de cualquier orden en el numerador y en el denominador. Se presentan en formas de raíces en le numerador llamadas Zeros y Raíces en el denominador llamadas Polos. Zeros: 1 Polos: 3 Denominador Grado 3

10 UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL CARACTERÍSTICAS DE ANÁLISIS EN UN SISTEMA DE CONTROL: Se refiere a las propiedades que deben ser mejoradas, modificadas o mantenidas en un proceso en control CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES: Estabilidad: es la propiedad en la que un proceso mantiene su Y(s) dentro de ciertos limites al producirse un cambio en U(s). Lo determina el valor final de la señal de salida. Exactitud: es el margen de error que existe entre Y(s) y U(s) una vez el sistema esta en estado estable. Lo determina la diferencia entre el valor final y el valor deseado. Velocidad: es el tiempo que tarda la señal Y(s) en seguir a la señal U(s) para eliminar el error. Lo determina la constante de tiempo.


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