UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA

Presentación del tema: "UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA"— Transcripción de la presentación:

1 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

2 Corriente y resistencia
Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

3 Circuitos de corriente continua
Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

4 6. 1 Introducción 6. 2 Objetivo general 6. 3 Objetivos específicos 6
Introducción Objetivo general Objetivos específicos Fuerza electromotriz Circuito eléctrico Circuito serie Circuito paralelo Circuito mixto Conversión triangulo delta Reglas de Kirchhoff Circuitos RC Auto-evaluación Solucionarlo Unidad VI Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

5 6.1 Introducción Hemos estudiado como se mueven las cargas bajo la influencia de una diferencia de potencial, y como los resistores y los capacitores pueden influir sobre el flujo de la corriente y el movimiento de la carga. Cuando se conectan entre si resistores, capacitores y acumuladores u otras fuentes de energía eléctrica, mediante cables conductores, forman circuitos eléctricos. Podemos comprender el flujo de la corriente en los circuitos aplicando tan solo dos principios físicos sencillos, el de la conservación de la carga y el de la conservación de la energía. En este capitulo aprenderemos a aplicar estos principios en forma sistemática al análisis de circuitos. El flujo de energía. hacia y desde los elementos del circuito nos conducen al concepto de corrientes y voltajes variables a través del tiempo, circuitos RC. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

6 6.2 Objetivo general Analizar circuitos eléctricos sencillos usando la ley de ohm y las leyes de Kirchhoff, para luego establecer la variación de la carga, la diferencia de potencial y la corriente en otro tipo de circuitos como el circuito RC. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

7 6.3 Objetivos específicos
Introducir al estudiante en el cálculo de la resistencia equivalente en circuitos serie, paralelo, en enunciar las leyes de Kirchhoff y del uso de las mismas para analizar diferentes circuitos de corriente continua. Proporcionar al estudiante el soporte teórico y práctico que lo familiarice con el proceso de convertir la energía de una fuente eléctrica (fem) a un dispositivo donde se aproveche. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

8 6.4 Fuerza electromotriz Las fuentes de energía eléctrica que hacen que las cargas se muevan en los circuitos, se han llamado fuentes de fuerza electromotriz fem (e). En realidad son fuentes de energía, no de fuerza. Una batería es un dispositivo que gasta energía para bombear o impulsar cargas, exactamente igual como una bomba de agua gasta energía para bombear agua hacia un tanque elevado con mayor energía potencial gravitacional. Hay una gran variedad de fuentes de energía eléctrica. Un acumulador o una batería convierte la energía química a una fem; una celda solar convierte la energía de la luz solar en una fem; un termo polar produce una fem como resultado de una diferencia de temperaturas; una gran planta eléctrica comercial puede quemar carbón, gas o combustible nuclear para impulsar un generador que produce una fem o puede emplear la energía cinética del agua corriente con el mismo objeto. Llamaremos batería para representar cualquier fuente de fem (e). Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

9 Supongamos que se necesita un trabajo dW para mover una carga dq de la terminal negativa hacia la terminal positiva. La fem de la batería se define como el elemento de trabajo dW en la unidad de carga dq; e = dW / dq, por tanto la unidad de la fem es, julio / coulomb = Voltio. La palabra voltaje se utiliza para dar la diferencia de potencial en los terminales de una batería es equivalente al voltaje del circuito abierto. e r Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

10 6.5 Circuito eléctrico De unos alambres idealizados sin resistencia y una resistencia de carga R Un circuito eléctrico consta de una batería o fem (e) de cd que tiene una resistencia interna r un borne positivo (+) y un borne negativo (-). R a b c d Cuando por una batería pasa una corriente (I), esta depende del valor de la fem (e), y de la resistencias R y r Cuando todas las corrientes eléctricas, campos, potenciales, etcétera, de un circuito son constantes a través del tiempo, hablamos del comportamiento de corriente directa cd e r Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

11 R a b c d Hay paso de corriente, cuando los portadores de carga negativa (electrones) salen de la terminal negativa (-) y son atraídos a la terminal positiva (+). En el interior de una batería, un proceso químico regresa las cargas negativas a la terminal positiva. Debido a que se define a la corriente como teniendo dirección opuesta a la de los electrones, ayuda a imaginar que hay cargas positivas que se mueven hacia la terminal negativa (-), o a la terminal que tenga menor potencial. La batería tiene una diferencia de potencial V entre sus terminales. e r Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

12 e – Ir – IR = 0, I = e / (r + R) como, V = IR \ e – Ir – V = 0, V = e – Ir si la resistencia interna r es cero, entonces, I = e / R, y, e = V Por tanto, el trabajo neto W efectuado por esa fuerza, al mandar carga por un circuito cerrado es cero. Si hacemos un viaje redondo que comience en el punto a y sigamos la corriente alrededor del circuito. Supongamos que la diferencia de potencial en las terminales de la batería es e por tanto pasara un flujo de corriente por el circuito. Para calcular esa corriente podemos hacer uso del hecho que el potencial eléctrico esta relacionado con una fuerza conservativa. Al pasar la batería del terminal negativo al terminal positivo, el potencial aumenta un valor e. Cuando cruzamos la resistencia ohmica r y R, el potencial disminuye una cantidad Ir e IR. La caída de potencial implica una disminución de la energía de las cargas. Esta energía se convierte en energía térmica en el resistor. El cambio neto del potencial, al pasar por todo el circuito, es cero R a b c d e r Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

13 Un circuito de una espira consiste en un trayecto cerrado de la corriente, y lo representaremos de manera lineal. e - Ir - IR = 0 V Definimos el potencial cero arbitrariamente, en el punto a, no hay cambio de potencial en un alambre ideal conductor La fem de la batería se definió como el elemento de energía dW en la unidad de carga dq, igual a e, entonces, al atravesar la corriente la fem del terminal negativo al terminal positivo se gana un potencial eléctrico de e. Como no hay cambio de potencial en un alambre ideal conductor al llegar la corriente al punto a el potencial es cero nuevamente. no hay cambio de potencial en un alambre ideal conductor. Al pasar la corriente por la resistencia interna r se pierde un potencial eléctrico de -Ir Al recorrer la corriente la resistencia de carga R se pierde un potencial eléctrico de -IR r e a b c d Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

14 e – Ir – IR = 0, entonces, r = (e – IR)/I r = 500 W
Ejemplo 6.1 Cuando cerramos el interruptor el amperímetro que mide la intensidad de la corriente eléctrica marca 20 mA (20 mili-amperios = 20-3A). ¿Calcule la resistencia interna r y la diferencia de potencial en la resistencia R y r? El voltaje en la resistencia R es: V = IR = 20-3 A*1000 W V = 20 voltios El voltaje en la resistencia r es: Vr = Ir = 20-3 A *500 W Vr =10 voltios SV = 0 \ e – Vr – V = 30 V – 20 V – 10 V = 0 Tenemos un circuito eléctrico que consta de un interruptor, una batería de 30 voltios con resistencia interna r, una resistencia R de 1000 W, cables de conexión, un amperímetro A colocado en serie con la resistencia R y un voltímetro V. V R r e A R r e A R A e – Ir – IR = 0, entonces, r = (e – IR)/I r = 500 W r Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

15 Ejemplo 6.2 R r e1 e2 – Ir – e1 – IR = 0 +e2 Se tiene el circuito de la figura si e1 = 10 V, e2 = 20 V, r = 100 W, R = 500 W ¿cuál es la corriente que atraviesa el circuito?. e2 - e1 – I(r + R) = 0, entonces, I = e2 - e1 / (r + R) I = 16.67mA = A . En el sentido antihorario. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

16 6.6 Circuito serie Se tiene un sistema de cuatro resistencias colocadas en serie con una batería (e). Se coloca un amperímetro para medir la intensidad de la corriente que circula por el circuito. La corriente que circula por cada resistencia es la misma independiente de su valor. Colocamos un voltímetro en paralelo con la resistencia para medir la diferencia de potencial (V). Se observa experimentalmente que a medida que aumenta la resistencia la diferencia de potencial aumenta de una manera proporcional y la suma de los voltajes individuales es igual al voltaje de entrada (e ) e = V1 + V2 + V3 + V4 V1 V2 V3 V4 R1 R2 R3 R4 e A R1 R2 R3 R4 e A I Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

17 IRe = IR1 + IR2 + IR3 +....+ IRi + ..... + IRn
Conclusiones En un circuito cerrado la suma de los potenciales es cero. SV = 0 \ Se – V1 – V2 – – Vi – .... – Vn = Se = V1 + V Vi Vn En un circuito en serie la corriente es idéntica en cada resistencia, es decir, la corriente I es constante. Como V = I * R, Entonces, IRe = IR1 + IR2 + IR IRi IRn IRe = I(R1 + R2 + R Ri Rn) Re = (R1 + R2 + R Ri Rn) Re = SRi Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

18 Re = SRi = 700 W; I = e / Re = 28.57 mA = 28.57-3 A
Ejemplo 6.3 V1 V1 = I R1= 2.86 V V2 V2 = I R2= 4.29 V V3 V3 = I R3= 5.71 V V4 V4 = I R4= 7.14 V I A R1 R2 R3 R4 e Re = SRi = 700 W; I = e / Re = mA = A En la figura e = 20 V, R1= 100 W , R2 = 150 W , R3 = 200 W , R4 = 250 W.¿cuál la intensidad de corriente y la diferencia de potencial en cada resistencia? SV = 0 \ e – V1 – V2 – V3 – Vn = 0, entonces, V – 2.86 V – 4.29 V – V = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

19 6.7 Circuito paralelo Se tiene un sistema de tres resistencias en paralelo y una fem e (batería), un interruptor y cables de conexión. Cuando se cierra el interruptor comienza a fluir corriente eléctrica (I) a través del circuito. Colocamos un amperímetro (A) en serie, en cada sección del circuito y así medimos la respectiva intensidad (I) de corriente eléctrica. El extremo izquierdo de cada resistencia esta al mismo potencial eléctrico y el extremo derecho es también una superficie equipotencial, por tanto cada resistencia tiene idéntica diferencia de potencial V1 = V2 = V3 = e R3 R2 R1 e R3 R2 R1 e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

20 e/Re = V1/R1 + V2/R2 + V3/R3 e R3 Como: e = V1 = V2 = V3, e I = V / R
A A4 A3 A1 A2 R3 R2 R1 e Como: e = V1 = V2 = V3, e I = V / R It = I1 + I2 + I3 e/Re = V1/R1 + V2/R2 + V3/R3 I4 = I2 + I3 It = I1 + I4 1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

21 1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 +.....+1/Ri +...... + 1/Rn
Conclusiones Para un sistema de resistencias en paralelo el voltaje en cada resistencia es el mismo independientemente del valor de esta. V1 = V2 = = VI = = Vn Para un circuito de resistencias en paralelo el reciproco de la resistencia equivalente es igual a la suma de los recíprocos de cada uno de ellas 1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R /Ri /Rn 1/Re = S 1/Ri La corriente total es igual a la suma de las corrientes individuales que circula por cada una de las resistencias. I = I1 + I2 + I Ii In = SI Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

22 Ejemplo 6.4 En la figura e = 10 V, R1= 200 W, R2 = 300 W, R3 = 600 W, ¿cuál es la resistencia equivalente? ¿cuál la intensidad de corriente en cada resistencia? R3 R2 R1 e I3 = V3/R3 = mA I2 = V2/R2 = mA La resistencia equivalente es: /Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R /Re = 1/ (0.01 W), entonces, Re = 100 W I1 = V1/R1 = 50 mA It = e/R = 10V/100 W. It = 100 mA = A S I = m A – 50 m A – mA – mA = 0 La e y las resistencias están en paralelo, por tanto, estos cuatro elementos se encuentran al mismo potencial. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

23 6.8 Circuito mixto En el siguiente circuito si la e = 30 V y R = 100 W. ¿Encuentre la resistencia equivalente, la corriente y la diferencia de potencial en cada resistencia?. Se ira reduciendo el circuito hasta encontrar la resistencia equivalente, y con esta la corriente total. Luego nos devolvemos y vamos hallando las corrientes y los voltajes en cada resistencia. R 4R 3R 9R 18R R/2 e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

24 R 4R 3R 9R 18R R/2 e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

25 R/2 1/R10 = 1/(18R) + 1/(9R) + /(3R) 1/R10 = 1/(2R) R10 = 2R 2R
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26 R12 = R/2 + 2R + R/2 R12 = 3R 3R R13 = 2R + 4R R13 = 6R 6R R
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27 1/R14 = 1/(3R) + 1/(6R) 1/R14 = 3/(6R) R14 = 2R
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28 R = 2R + R 3R Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

29 Si e = 30V, entonces, It = V/R = 0.1 Amperio
Si R = 100 W, entonces, Re = 300 W Ahora, nos regresamos encontrando el voltaje y la corriente en cada resistencia. 300 W It = 0.1 A 30 V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

30 20 V 300W 0.066A En un nudo la S I = 0 0.1A – 0.033A – 0.066A = 0
I = 20 V/300 W = A I = 20 V/600 W = A 20 V A 600W It = 0.1 A 10 V 100 W 30 V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

31 V = A * 50 W = 3.33 V V = A * 200 W = V 3.33V 13.32V 50 W 200 W 50 W 0.066A La SV = \ V V V V V = 0 V = A*200W = 6.66V V= A* 4000W = 13.32V 6.66 V 13.32 V A 200 W 400 W La SV = \ V V V – 10 V = 0 It = 0.1 A 10 V 100 W 30V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

32 13.32V 1800W 0.0074A 3.33V 50W 13.32V 900W 3.33V 50W 0.066A 0.0148A 0.066A A 0.066A 13.32V 300W 0.0444A 6.66V 400W 0.0167A 13.32V 400W 6.66V 400W 0.0333A 0.0167A It = 0.1 A 10V 100W 0.1A 30V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

33 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

34 6.9 Conversión triangulo delta
El valor de una resistencia adicional es igual al producto de las resistencias adyacentes dividido la suma de las resistencias que conforman el triangulo. Se tiene un sistema de resistencias en forma de triangulo, estas no se encuentran ni en serie ni en paralelo. Se puede realizar una conversión de triangulo a delta colocando resistencias adicionales. Ra = R1 * R2 / (R1 + R2 + R3) Rb = R1 * R3 / (R1 + R2 + R3) Rc = R2 * R3 / (R1 + R2 + R3) R1 R2 R3 Ra Rb Rc Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

35 Ejemplo 6.5 En el circuito de la figura, si R es 50W y la fem (e) es 18.5 voltios ¿Encuentre la resistencia equivalente, el voltaje y la corriente en cada resistencia? 4R 2R 2R 6R 4R R e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

36 Hacemos la conversión triangulo delta.
6R*4R / (6R+4R+2R) = 2R 6R*2R / (6R+4R+2R) = R 4R*2R / (6R+4R+2R) = 2R/3 2R/3 4R 2R 2R 2R R 6R 4R Hacemos la conversión triangulo delta. R e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

37 2R/3 2R 2R R 4R R e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

38 e 2R/3 + 2R = 8R/3 8R/3 2R + 4R = 6R R 6R R Luis F Millán B
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39 1/R = 1/(8R/3) + 1/(6R) 1/R = 3/(8R) + 1/(6R) 1/R = 13/(24R)
e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

40 R + 24R/13 = 37R/13 37R/13 R e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

41 1/R = 1/(37R/13) + 1/R 1/R = 13/(37R) + 1/R 1/R = 50/37R
e Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

42 Si la fem (e) es de 18.5 voltios
Si R es 50W, entonces la resistencia equivalente del circuito es: Re = 37*50W/ 50 = 37W 37W Si la fem (e) es de 18.5 voltios It = 18.5V / 37W = 0.500A 0.500A 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

43 I2 = V / R = 18.5V/ W = 0.130A 0.130A 18.5V 142.31W SI = 0 \ It – I1- I2 = A – 0.370A – 0.130A = 0 I1 = V / R = 18.5V / 50W = 0.370A 0.370A 18.5V 50 W 0.500A 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

44 SV = 0 \ 6.5V +12.0V V = 0 V = I * R = 0.130A*92.31W = 12.0V 12.0V 0.130A 92.31W 6.5V 50W V = I * R = 0.130*50W = 6.50V 0.370A 18.5V 50 W 0.500A 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

45 SI = 0 \ I2 – I3 – I4 = A – 0.090A – 0.040A = 0 12.0V I4 = 0.090A 133.33W 0.130A I4 = V / R = 12V / W I3 = V / R = 12V / 300W 6.5V 12.0V I3 = 0.040A 50W 300W 0.370A 18.5V 50W 0.500A 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

46 V = I * R = 0.040A*100W = 4V SV = 0 \ 6.5V + 4V + 8V – 18.5V = 0 V = I * R = 0.090A*33.33W = 3V V = I * R = 0.090A*100W = 9V SV = 0 \ 3V + 9V – 8V – 4V = 0 V = I * R = 0.040A*200W = 8V 3V 33.33W 0.090A 100W 9V 0.130A 4V 6.5V 100W 0.040A 50W 8V 200W 0.370A 18.5V 50W 0.500A 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

47 SV = 0 \ V + 4V – V = V = 10.5V SV = 0 \ V – V + 6.5V = V = 9.5V SV = 0 \ V + V – 4V = V = 1V 0.090A 3V 1V 9.5V 100W 9V 4V 6.5V 0.040A 10.5V 8V 200W 0.370A 18.5V 50W 0.500A 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

48 0.090A 1V 9.5V 100W 9V 0.040A 10.5V 8V 200W 0.370A 18.5V 50W 0.500A 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

49 I5 = V / R I5 = 10.5V / 300W I5 = 0.035A I7 = V / R I7 = 1V / 200W I7 = 0.005A I6 = V / R I6 = 9.5W / 100V I6 = 0.095A 0.090A 1V 9.5V 200W 0.005A 100W 100W 9V 0.095A 0.035A 0.040A 10.5V 300W 8V 200W 0.370A 18.5V 50W 0.500A 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

50 0.090A 1V 9.5V 200W 0.005A 100W 100W 9V 0.095A 0.035A 0.040A 10.5V 300W 8V 200W 0.370A 18.5V 50W 0.500A 18.5V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

51 Gustav Kirchhoff Físico Alemán realizo investigaciones importantes en los campos de la electricidad, de la galvanometria, de la elasticidad y de la dilatación de los cuerpos. Invento el espectroscopio y descubrió los elementos cesio y rubidio (1861). Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

52 6.10 Reglas de Kirchhoff La suma de las corrientes que entran a una unión debe ser es igual a la suma de las corrientes que salen de la misma unión. Esta regla es un enunciado de la conservación de la carga. Toda la corriente que entra a un punto dado en un circuito debe salir de ese punto debido a que la carga no debe acumularse en un punto. I1 I2 I3 I4 I5 SI = 0: I1 + I2 + I3 – I4 – I5 = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

53 Si se recorre un resistor en la dirección de la corriente, el cambio del potencial a través del resistor es -IR II) La suma algebraica de los cambios de potencial a través de todos los elementos alrededor de cualquier lazo de un circuito cerrado debe ser cero. Esta regla surge de la conservación de la energía. Una carga que empieza a moverse por cualquier lazo cerrado en un circuito llegando al punto de donde empezó debe ganar tanta energía como la que pierde si se define un potencial para cada punto en el circuito. I -I R I -I R Si se recorre un resistor en la dirección opuesta a la corriente, el cambio del potencial a través del resistor es +IR I +I R I +I R Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

54 Si una fem se atraviesa del borne negativo (-) al borne positivo (+) en las terminales el cambio de potencial es +e. a b +e Ya que pasamos de un potencial menor (-) a un potencial mayor (+). Vb > Va. e = Vb - Va Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

55 Si una fem se atraviesa del borne positivo (+) al borne negativo (-) en las terminales el cambio de potencial es -e. a b -e Ya que pasamos de un potencial mayor (+) a un potencial menor (-). Vb > Va. -e = Va - Vb Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

56 SV = 0 : +e2 – e1 – Ir – IR = 0 ,o, SV = 0 : – e2 + IR + Ir + e1 = 0
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57 Método I: vamos a considerar dos lazos y un nudo.
Ejemplo 6.6 Método I: vamos a considerar dos lazos y un nudo. R 2R 3R 4R 5R e1 e2 Se tiene el circuito de la figura, si R = 10 W, la e1 = 5 V, e2 = 10 V, cual es la corriente y el voltaje en cada resistencia. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

58 Tomamos la corriente del lazo derecho en el sentido horario y la del lazo izquierdo en sentido antihorario. R 2R 3R 4R 5R e1 e2 I3 I1 I2 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

59 +e2 Ecuación para el lazo derecho la SV = 0
Ecuación para el lazo izquierdo la SV = 0 Ecuación para la corriente, en una unión la SI = 0 -RI1 -2RI1 -RI2 -3RI2 +e2 -3RI3 -4RI1 +e1 -3RI3 -5RI2 +e1 (1) I3 = I1 + I2 I3 I1 I2 (2) -I1(2R+R+4R) + e1-3RI3 = 0 (3) -I2(R+3R+5R) - 3RI3 + e2 + e1 = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

60 10V 5V Resolviendo I1 = 0.0135A I2 = 0.1216A I3 = 0.1351A -10I1 -20I1
(1) I3 = I1 + I2 I3 I1 I2 (2) - 70I I3 = 0 (2) - I1( ) I3 = 0 (3) - I2( ) - 30I = 0 (3) - 90I2 - 30I = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

61 Método II: vamos a considerar dos mallas.
Ejemplo 6.7 Método II: vamos a considerar dos mallas. R 2R 3R 4R 5R e1 e2 Se tiene el circuito de la figura, si R = 10 W, la e1 = 5 V, e1 = 10 V, cual es la corriente y el voltaje en cada resistencia. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

62 Ecuación para la malla izquierda en sentido antihorario la SV = 0
Se incluye el termino –3RIb, por que la corriente Ib recorre la resistencia 3R en el mismo sentido de Ia Se incluye el termino –3RIa, por que la corriente Ia recorre la resistencia 3R en el mismo sentido de Ib Ecuación para la malla izquierda en sentido antihorario la SV = 0 Ecuación para la malla derecha en sentido horario la SV = 0 -RIa -2RIa -3RIa -4RIa +e1 -3RIb -5RIb +e1 -RIb -3RIb +e2 (1) –2RIa – RIa – 4RIa – 3RIa + e1 – Ib3R = 0 (1) – Ia(2R+R+4R+3R) + e1 – 3RIb = 0 (2) – RIb – 3RIb – 5RIb – 3RIb + e2 + e1 – 3R = 0 (2) – Ib(R+3R+5R+3R) + e2 + e1 – Ia3R= 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

63 Resolviendo Ia = 0.0135A Ib = 0.1216A Ic = Ia + Ib Ic = 0.1351A -10Ia
(1) – 100Ia + 5V – 30Ib = 0 (1) – Ia( ) + 5V – Ib30 = 0 (2) – 120Ib + 10V + 5V – 30Ia= 0 (2) – Ib( ) + 10V + 5V – 30Ia= 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

64 e2 e1 Ejemplo 6.8 ½A Rx 6R 4R 2R I1 I2 R C
El circuito de la figura se ha conectado durante largo tiempo, si R es 5 W, la e1 = 5 V, e2 = 10 V, Ix = 0.5 A y el capacitor C es de 2 mF ¿cuál es la diferencia de potencial en el capacitor y como es su polaridad? Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

65 Ecuación en el nudo : S I = 0
Rx 6R 4R 2R e2 R C ½A e1 Rx 2R I2 6R 4R Como el circuito se ha conectado durante largo tiempo la rama del capacitor esta en circuito abierto, por tanto, por la resistencia R no circula corriente. Tomaremos arbitrariamente el sentido de la corriente como aparece a continuación. Ecuación en el nudo : S I = 0 I1 = I2 + Ix = I Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

66 e1 e1 e2 ½A Rx +e1 – 0.5Rx 2R - I22R ½A Rx + 0.5Rx - e1 = 0 2R
+ e2 – 2RI1 Ecuación para el lazo izquierdo en sentido antihorario. 6R – 6RI1 = 0 4R - 4RI2 I1 = I Ecuación para el lazo derecho en sentido antihorario. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

67 La ecuación para el lazo izquierdo en sentido antihorario es:
5V Rx ½A 5V Rx 10W 10V 10W 30W 20W I1 = I 5V – 0.5Rx + 10V – 10I1 – 30I1 = 0 15 – 0.5Rx – 40I1 = 0 La ecuación para el lazo izquierdo en sentido antihorario es: La ecuación para el lazo derecho en sentido horario es: – 20I2 – 10I Rx – 5V = 0 0.5Rx – 5 – 30I2 = 0 Resolviendo I1 = A ; I2 = – A ; Rx = 1.44 W Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

68 2R I2 e2 I1 R C ½A e1 Rx 6R 4R La corriente I1 es de signo positivo circula en el sentido que asumimos antihorario, la corriente I2 (lazo derecho) tiene signo negativo significa que va en sentido contrario al que colocamos sentido horario. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

69 0.357A 0.143A 0.72V 10V 3.57V 1.44W ½A 1.43V 10W 10W 5V 5V 10.71V 2.86V 30W 0V 20W 5W 2mF V = 0.143A*10W = 1.43V En un lazo S V= 0, \ 10V + 5V – 3.57V – 10.71V = 0 En un lazo SV= 0, \ – 1.43V – 2.86V + 5V – 0.72V = 0 V = 0A * 5W = 0V V = 0.357A*10W = 3.57V V = ½A* 1.44W = 0.72V V = 0.357A* 30W = 10.71V V = 0.143A* 20W = 2.86V En un lazo S V= 0, \ – 10.71V V + Vc = 0, entonces, Vc = 7.85V ; Q = V*C = 7.85V * 2mF = 15.7mC Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

70 6.11 Circuitos RC El circuito de la figura se compone de una resistencia R, un capacitor C, una fem e, un interruptor y cables de conexión. Para t < 0, el Vc = VR = 0, colocamos un voltímetro en el capacitor, otro en la resistencia y cerramos el interruptor. 00V e R C 00V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

71 Se cierra el interruptor y el capacitor empieza a cargarse
Se cierra el interruptor y el capacitor empieza a cargarse. Para t = 0, la corriente inicial, Io = e / R, la diferencia de potencial en la resistencia es igual al voltaje de la fem VR = e y el voltaje en el capacitor es cero VC = 0 00V 50V R C Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

72 A medida que el capacitor se carga el voltaje en el capacitor va aumentando hasta llegar a un valor máximo de Vc = e, y el voltaje en la resistencia va disminuyendo hasta llegar a cero. El voltaje en el capacitor es: VC = e (1 - e(-t/(Rc))) mientras que el voltaje en la resistencia es VR: VR = e e(-t/(Rc)) La corriente inicial en el momento que se cierra el interruptor es Io = e / R Al transcurrir el tiempo y a medida que el capacitor se carga la corriente en el circuito va diminuyendo hasta hacerse cero y viene dada por: I = Io e(-t/(Rc)) Para cualquier tiempo la carga en el capacitor esta dada por: Q = Ce(1- e(-t/(Rc))) Al cerrar el interruptor el capacitor inicialmente descargado empieza almacenar carga hasta llegar a una carga máxima de: Q = e * C. 30V 20V 40V 10V 20V 30V 10V 40V 50V R C Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

73 Cargado el capacitor en un tiempo t, la corriente es I = 0, la diferencia de potencial en el capacitor es igual al voltaje de la fem VC = e, el voltaje en la resistencia es, VR = 0 y la carga total es Q = e * C Desconectamos la fuente y descargamos el capacitor a través de la resistencia. 50V 00V R C Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

74 50V 00V R C Para un tiempo t = 0, el voltaje en la resistencia es cero VR = 0 y el voltaje en el capacitor es igual a la fem Vc = e. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

75 A medida que el capacitor se esta descargando el voltaje viene dado por VC = ee(-t/(Rc)), mientras que el voltaje en la resistencia VR es: VR = e (1 - e(-t/(Rc))) La carga en el capacitor: Q = C e e(-t/(Rc)) Y la corriente es: I = - Io e(-t/(Rc)) 30V 20V 40V 10V R C Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

76 00V 50V 10V 40V 20V 30V R C Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

77 Ejemplo 6.9 En el circuito de la figura se tiene una resistencia R, un capacitor C de 10 mF , una batería e de 15 V, un interruptor y cables de conexión. Al cerrar el interruptor y transcurridos 5 segundos se observa que la diferencia de potencial en el capacitor es 5 V. a)¿cuál es el valor de la resistencia? b)¿qué carga tiene el capacitor? c) ¿cuál es la corriente ? d)¿cuál es el voltaje en la resistencia?. e R C Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

78 d) Como el voltaje en la R es VR = e * e(-t/(Rc)) Þ VR = 10 V
a) El voltaje en el C es Vc = e (1 – e(-t/(Rc))) Þ Vc/e = 1 – e(-t/(Rc)) e(-t/(Rc)) = 1 – Vc/e t/(RC) = Ln(1 – Vc/e) R = -(t/C) / Ln(1 – Vc/e) Þ R = W b)Q = Ce (1 – e(-t/(Rc))) Þ Q = 1000 mC c)I = (e/R)* e(-t/(Rc)) Þ I(5 s) = mA d) Como el voltaje en la R es VR = e * e(-t/(Rc)) Þ VR = 10 V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

79 6.12 Auto-evaluación Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

80 Ejercicio 6.1 a) ¿Cual es la corriente en una resistencia de 10 W conectado a una batería que tiene una resistencia interna de 1 W si el voltaje de la batería (Va – Vb = V) es de 15 V?. b) ¿cual es la fem de la batería? R) a) I = 1.5 A b) Vab = 16.5 V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

81 Ejercicio 6.2 Una batería tiene una fem de 10 V. El voltaje terminal de la batería es de 12 V cuando esta entrega 20 watios de potencia a una resistencia externa R.¿cuál es el valor de la resistencia interna r y de la resistencia externa R? R) r = 1.0 W y R = 5 W Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

82 Ejercicio 6.3 3W 6W 4W 2W 1W a b En la figura encuentre a) La resistencia equivalente entre a y b. b) Si por la resistencia de 4 W circula 0.5 A. ¿cual es la diferencia de potencial entre a y b?. R) Re = 3.5 W Vab = 14 V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

83 Ejercicio 6.4 Cuando dos resistores se conectan en serie con una batería, se disipan 225 W con una corriente total de 5 A. Para la misma corriente total, se disipan 50 W cuando los resistores se conectan en paralelo. Determine los valores de los resistores. R) R1 = 6 W y R2 = 3 W Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

84 Ejercicio 6.5 La corriente en un circuito se triplica conectando un resistor de 500 W en paralelo con la resistencia del circuito. Determine la resistencia del circuito en ausencia del resistor de 500 W? R) R = 1000 W Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

85 Ejercicio 6.6 2W 1W 4 V Calcule la potencia disipada en cada resistor en el circuito de la figura. R) P(e) = 4W ; P(2W) = 2W; P(2W) = 0.5W; P(2W) = 0.5W ; P(1W) = 1W P(e) - P(2W) - P(2W) - P(2W) - P(1W) = 0 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

86 Ejercicio 6.7 2 W 3 W 6 W 1 W 7 V a b En la figura encuentre la corriente y la diferencia de potencial en cada resistencia. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

87 Ejercicio 6.8 1W 2W 3W 6W 3V 2 V En la figura encuentre la corriente y la diferencia de potencial en cada resistencia. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

88 Ejercicio 6.9 2W 1W 4W 6 V 3V 4 mF Para el circuito mostrado en la figura, calcule la corriente que circula en cada resistencia y la carga en el capacitor. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

89 Ejercicio 6.10 2W 2.14A 4W 6 V 3V 1W 4 mF Rx En la figura el circuito esta conectado durante un largo tiempo. Encuentre la resistencia Rx y la carga en el capacitor. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

90 Ejercicio 6.11 Un capacitor completamente cargado almacena 10 Julios de energía. Cuanta energía queda cuando su carga se ha reducido a la mitad de su valor original. R) U2 = U1/ 4 = 2.5 Julios Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

91 Ejercicio 6.12 En el circuito de la figura, a) Calcule la constante de tiempo. b) Para 50 segundos después que se cierra el interruptor cual es la carga , la corriente, el voltaje en el capacitor y en la resistencia. c) Cual es la carga cuando se carga completamente el capacitor. d) Cual es la carga, la corriente, el voltaje en el capacitor y en la resistencia 50 segundo después que el capacitor se comienza a descargar a través de la resistencia. a) t = RC = 100 s b) Q = mC I = 18.2 mA Vc = 11.8 V VR = V C) Q = 3000 mC D) Q = mC I = 18.2 mA Vc = V VR = 11.8 V 1 MW 100 mF 30 V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

92 Ejercicio 6.13 En el circuito de la figura, R1 = 10 W, R2 = 20 W, R3 = 30 W, e = 20 V, C = 5 mF. a) Para 100 ms después que se lleva el interruptor a a ¿cuál el voltaje en el capacitor, la carga y la corriente? b) 100 ms después que se lleva el interruptor a b. ¿cuál el voltaje en el capacitor, la carga y la corriente? a b R1 R2 R3 C V R) a) Vc(100 ms) = 9.73 V I(100 ms) = A Q (100ms) = mC b) Vc (100 ms) = V Q (100 ms) = 51.3 mC I(100 ms) = A Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

93 Ejercicio 6.14 El circuito de la figura se ha conectado durante largo tiempo. ¿cuál es la diferencia de potencial en el capacitor y que carga tiene? 5 V 3W 7W 1W 4W 1mF R) Vc = ½ V y Q = 0.5 1mC Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

94 6.13 Solucionario Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

95 a) Va – Vb = Vab = I*R Þ 15 V = I * 10 W \ I = 1.5 A
S 6.1 a) Va – Vb = Vab = I*R Þ V = I * 10 W \ I = 1.5 A b) e – I*r – I*R = 0 Þ e = I*r + I*R \ e = I*(r +R) Þ e = 16.5 V e – I*r = Vab Þ e = I*r + V = 16.5 V Vab £ e Vab = e – Ir = 16.5 V – 1.5 V = 15 V 10 W a b e 1 W Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

96 S 6.2 Vab = 10 V = VR P = I * Vab = Vab2 / R \ R = Vab2 / P Þ R = 5 W Þ I = Vab / R = 2.0 A ahora Vab = e - Vr Þ I * r = e – Vab \ r = (e – Vab) / I Þ r = 1.0 W e – I * r – I * R = Prueba V – 2 A * (1 W + 5 W) = 0 R a b 12 V r Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

97 3W 6W 4W 2W 1W a b S 6.3 3W 2W a b 2W 1W a b a b 3.5W 2W a b 1.5W
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98 La diferencia de potencial Vab = 8 V + 6 V = 14 V.
3W 6W 4W 2W 1W a b Por la resistencia de 4 W circula 0.5 A, entonces, la diferencia de potencial en estas tres resistencias es la misma por estar en paralelo, por tanto, V = I*R Þ V = 0.5A*4 W V = 2 V. La Re en las tres resistencias de abajo es 1 W; por tanto, la corriente y el voltaje en la rama de abajo es: I = V/R I = 2 V/1 W = 2 A, y, V = 2 A*(2 W + 1 W ) = 6 V. La resistencia equivalente en la rama de arriba y abajo es 3 W, la diferencia de potencial en cada rama es 6 V, por tanto, la corriente total es: I = 2 A + 2 A = 4 A La corriente que circula por la resistencia de 2 W es de 4 A, entonces, V = 4 A * 2 W = 8 V La diferencia de potencial Vab = 8 V + 6 V = 14 V. Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

99 S 6.4 P = I * V = I * (I * R) = I2 * R Ps = I2 * (R1 + R2) Þ 225 W = (5A)2 * (R1 + R2) \ 9 = R1 + R Pp = I2 (R1 * R2) / (R1 + R2) Þ W = (5A)2 * (R1 * R2) / (R1 + R2) \ 2 = (R1 * R2) / (R1 + R2), como, R1 = R2 Þ = (9 - R2) * R2 / ((9 - R2) + R2) = (9 - R2) * R2 / = 9R2 – R22 Þ R22 – 9R = \R1 = 6 W, y, R2 = 3 W Ps = (5 A)2 * 9 W = 225 W Pp = (5 A)2 * 2 W = 50 W Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

100 Para el circuito sencillo la batería y la resistencia 1) e = I
Para el circuito sencillo la batería y la resistencia ) e = I * R Para el circuito en paralelo de R y 500 W es ) e = 3I * (R * 500 W / (R W)), dividiendo 1 en = (R/3) * (R +500 W) / (R * 500 W), Þ = R Þ R = 1000 W prueba si I = 1A Þ ) e = 1 A * 1000 W = 1000 V ) e = 3(1 A) * (1000 W * 500 W / (1000 W W)) e = 1000 V S 6.5 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

101 2W 1W 4 V S 6.6 P(e) = e * I = 4V * 1A = 4W P(2W) = I2 * R = (1A)2 * 2W = 2W P(2W) = I2 * R = (0.5A)2 * 2W = 0.5W P(2W) = I2 * R = (0.5A)2 * 2W = 0.5W P(1W) = I2 * R = (1A)2 * 1W = 1W P(e) - P(2W) - P(2W) - P(2W) - P(1W) = 0 I = V / R = 4V/ 4W = 1A P(e) = e * I = 4V * 1A = 4W P(4W) = I2 * R = (1A)2 * 4W = 4W P(e) - P(4W) = 0 P(e) = e * I = 4V * 1A = 4W P(2W) = I2 * R = (1A)2 * 2W = 2W P(1W) = I2 * R = (1A)2 * 1W = 1W P(1W) = I2 * R = (1A)2 * 1W = 1W P(e) - P(2W) - P(1W) - P(1W) = 0 1W 2W 4 V 4W 4 V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

102 2 W 1.5 W 7 V a b I = 7V / (2 W W) = 2A Vab = V (1.5 W) = 2 A * 1.5 W = 3V V (2 W) = 2A * 2 W = 4 V 2 W 3 W 6 W 1 W 7 V a b V(3 W) = 0.5A * 3 W = 1.5V V(1 W) = 0.5A * 1 W = 0.5V V(2 W) = 0.5A * 2 W = 1.0V 2 W 3 W 6 W 7 V a b Vab = V (1.5 W) = V (6 W) = V(3 W) = 3 V I (3 W) = 3 V / 3 W = 1A I (6 W) = 3 V / 6 W = 0.5A I (6 W) = 3V / 6W = 0.5A SI(a) = 2A – 1A – 0.5A – 0.5A = 0 2 W 3 W 6 W 1 W 7 V a b 2 W 3 W 6 W 7 V a b 2 W 1.5 W 7 V a b S 6.7 Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

103 S 6.8 I1 I2 I3 1W 2W 3V 4V I1 + I2 = I3 +3V – 1W*I1 – 2W *I3 = – I1 – 2I3 = 0 +4 – 2W * I2 – 2W *I3 = – 2 I2 – 2W *I3 = – I2 – I3 = Resolviendo I1 = 0.5A, I2 = 0.75A, I3 = 1.25A La diferencia de potencial V(2W) = 1.25A * 2W = 2.5 V 1W 2W 3W 6W 3V 4V V(3W) = V(6W) = V(2W) = 2.5V, entonces I4 (3W) = 2.5V / 3W = 0.83 A I5(6W) = 2.5V / 6W = 0.42 A \ I3 = 0.83A A = 1.25A I4 I5 1W 2W 3W 6W 3V 4V 1W 2W 3W 6W 3V 4V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

104 2W 1W 4W 6 V 3V 4 mF S 6.9 1) I3 = I1 + I W* I3 + 6V - 2W* I2 = ) - I I2 = W* I3 + 3V - 4W* I1 = ) - I I1 = Resolviendo I1 = A, I2 = 1.93 A, I3 = 2.14 A I2 I1 I3 V(4W) = 0.214A * 4W = V V V – V(1W) = 0Þ V(1W) = 2.14V V - 2W* 1.93A – V(1W) = 0 Þ V(1W) = 2.14V V V – Vc = 0 Þ Vc = 2.14 V La carga en el capacitor es : Q = Vc*C = 8.6 mC Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

105 2W 2.14A 4W 6 V 3V 1W 4 mF Rx S 6.10 1) 2.14A = I1 + I Rx*2.14A + 6V - 2W* I2 = ) – 2.14 Rx I2 = Rx*2.14A + 3V - 4W* I1 = ) – 2.14 Rx I1 = Resolviendo I1= 0.213A, I2 = 1.93A, Rx = 1W I2 I1 I3 V(4W) = 0.213A * 4W = V V V – V(1W) = 0 Þ V(1W) = 2.14V V V – Vc = 0 Þ Vc = V La carga en el capacitor es : Q = Vc*C = 8.59 mC Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

106 S 6.11 1) U1 = ½Q2 / C ) U2 = ½(Q/2)2 / C Dividiendo 1 en (U1/ U2) = 4 Þ U2 = U1/ 4 = 2.5 Julios Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

107 a) t = RC = 1*106 W * F t = 100 s b) Q = e C (1 - e(-t/t))= mC I = (e/R)e(-t/t) = 18.2 mA Vc = e (1 – e(-t/t)) = 11.8 V VR = e e(-t/t) = V C) Q = e C = 3000 mC D) Q = e C e(-t/t) = mC I = -(e/R)e(-t/t) = 18.2 mA Vc = e e(-t/t) = V VR = e (1 – e(-t/t)) = 11.8 V S 6.12 1 MW 100 mF 30 V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

108 S 6.13 a a b R1 R2 R3 C V a b R1 R2 R3 C V R = R1 + R2 = 30 W. t = 100 ms t = RC = 150 ms e = 20 V Vc(100 ms) = e (1 – e(-t/(RC))) Vc(100 ms) = 9.73 V I(100 ms) = Io e(-t/(RC)) I(100 ms) = A Q (100ms) = eC (1 – e(-t/(RC))) Q (100ms) = mC Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

109 I(100 ms) = Io e(-t/(RC)) = - 0.342 A
El voltaje en el capacitor es: Vc(100 ms) = 9.73 V , R3 = 30 W e = 20 V Vc (100 ms) = e e(-t/(RC)) Vc (100 ms) = V Q (100 ms) = e(-t/(RC)) Q (100 ms) = 51.3 mC b a b R1 R2 R3 C V I(100 ms) = Io e(-t/(RC)) = A Qt = C e = 100*10–6 C = mC mC e = 9.73 V V Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA

110 I2 = I1 + I3 +5 -10 I3 = 0 Þ I3 = ½ A -5 I1 + 10 I3 = 0 Þ I1= 1 A
S 6.14 Como el circuito hace rato esta conectado en el capacitor se comporta como un circuito abierto, es decir por el capacitor no circula corriente y la carga en el capacitor es Q = Vc*C. I2 I3 I1 5 V 3W 7W 1W 4W 1mF I2 = I1 + I I3 = 0 Þ I3 = ½ A I I3 = 0 Þ I1= 1 A V(3W) = 1.5 V, V(1W) = 1V Þ -1.5V + Vc + 1V = 0Þ Vc = ½ V \ Q = ½ V * 1mF = 0.5 1mC V(7W) = 3.5 V, V(4W) = 4V Þ -3.5V + 4V - Vc = 0 Þ Vc = ½ V \ Q = ½ V * 1mF = 0.5 1mC Luis F Millán B U. AUTONOMA DE COLOMBIA