Radiación sincrotrón La radiación sincrotrón es producida por la aceleración de una carga en un campo magnético. 1. Potencia total emitida en la radiación.

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1 Radiación sincrotrón La radiación sincrotrón es producida por la aceleración de una carga en un campo magnético. 1. Potencia total emitida en la radiación sincrotrón. Calculemos la aceleración de una partícula de masa m, carga q, en un campo magnético B: De la ecn.(2) se infiere que = constante o que |v|=constante ∴ de la ecn.(1) tenemos

2 Expresando v en términos de las componentes a lo largo de B (v||) y en un plano normal a B (v⊥):
tenemos (3) ⇒ v||= cte. y ya que |v|=cte. ⇒ |v⊥|= cte. (4)+ |v⊥|= cte. ⇒ en el plano normal a B el movimiento es circular uniforme. Movimiento circular + movimiento uniforme a lo largo de B → movimiento helicoidal

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4 Potencia radiada por partículas con una distribución
Frecuencia de rotación o giro: La aceleración es perpendicular a la velocidad y de magnitud: Usando la fórmula de Larmor, la potencia total emitida es: Potencia radiada por partículas con una distribución isotrópica de velocidades. Debemos promediar sobre todos los ángulos para una rapidez dada v. Sea α el ángulo entre el campo magnético y la velocidad. Tenemos:

5 Y ya que d= senα dα dφ ∴ donde

6 2. Espectro de la radiación sincrotrón.
En general el campo eléctrico de la radiación está dado por: donde R es el vector entre el punto de observación y la posición de la partícula en el tiempo retardado, y 2.1 Diagramas de radiación. En el caso no relativista:

7 Sea θ el ángulo entre la aceleración y el vector R,
A. Aceleración paralela a la velocidad: Acelerador Lineal B. Aceleración perpendicular a la velocidad: Ciclotrón

8 C. Caso relativista y cuando la aceleración es paralela a la
velocidad: Esta expresión es similar al caso no relativista excepto por el factor κ3: Este factor concentra el potencial en un angosto haz alrededor de la velocidad de la partícula: Cherenkov

9 2.2 Espectro de la radiación sincrotrón emitida por un electrón.
D. Caso relativista y cuando la aceleración es perpendicular a la velocidad: Sincrotrón 2.2 Espectro de la radiación sincrotrón emitida por un electrón. Espectro de la radiación está relacionado a la variación del campo eléctrico. ♦ Debido al efecto de enfocamiento, el campo de radiación está concentrado en un angosto haz en la dirección de la velocidad de la partícula.

10 ♦ El observador verá una serie de pulsos a medida que el
vector velocidad del electrón barre la línea de la visual. ♦ El intervalo de tiempo de duración del pulso es muchísimo mas pequeño que el periodo de giro. 1 2 El observador verá el pulso desde los puntos 1 al 2 a lo largo de la trayectoria de la partícula, donde 1 y 2 son tales que el cono de emisión de ancho angular ~ 1/γ incluye la dirección de observación.

11 La distancia Δs a lo largo de la trayectoria es Δs=a Δθ.
De la geometría de la figura: Δθ =2/γ, ⇒ El radio de curvatura a lo podemos evaluar de la ecuación de movimiento: Ya que | Δv|=v Δθ y que Δs=v Δt , tenemos que

12 Usando la expresión para la frecuencia de giro,⇒
Reemplazando en la relación (5) : Los instantes t1 y t2 en los cuales la partícula pasa por los puntos 1 y 2 son tales que Δs=v(t2-t1), ⇒ Sean t1A y t2A los tiempos de llegada de la radiación desde los puntos 1 y 2.

13 Se tiene que t1A - t2A es menor que t2-t1 por un tiempo igual al tiempo que la radiación se demora en recorrer la distancia Δs, Usando las expresiones (6) y (7), tenemos ∴ Recordando que

14 ∴ tenemos que en el caso relativista podemos escribir,
¡El ancho temporal del pulso es menor que el periodo de giro (T=2π/ωB) por un factor de γ3 ! El campo eléctrico es como se muestra en la figura. Esperamos que el espectro sea bastante ancho, llegando a frecuencias del orden de 1/ΔtA.

15 Definiendo una frecuencia crítica , ωc, como
el espectro se extenderá hasta frecuencias del orden de ωc . Se puede demostrar que la potencia emitida por unidad de frecuencia por un electrón esta dada por: donde F es función adimensional.

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17 Derivación simple de esta dependencia.
Habíamos señalado que la potencia emitida por unidad de frecuencia por un electrón esta dada por: Derivación simple de esta dependencia. En el caso relativístico el campo eléctrico de la radiación es función de θ (el ángulo polar alrededor de la dirección de movimiento) solo a través de la combinación γθ. Recordar que:

18 Podemos entonces escribir:
Usando argumentos similares a aquellos usados para determinar Δs, encontramos que : y donde t se refiere al tiempo medido en el sistema del observador. De estas dos expresiones, y de la relación, encontramos que la relación entre θ y t es:

19 Por lo tanto la dependencia en el tiempo del campo eléctrico
se puede expresar como: Esta expresión es suficiente para derivar la dependencia general del espectro en función de la frecuencia. La transformada de Fourier del campo eléctrico es,

20 Haciendo el cambio de variables t=ωcτ, tenemos,
Recordando que la energía por unidad de ángulo solidó y unidad de frecuencia esta dada por: integrando sobre los ángulos sólidos y dividiendo por el periodo orbital, tenemos que

21 donde F es una función adimensional y C1 es una constante
de proporcionalidad que se evalúa como se describe a continuación. Integrando sobre frecuencias, tenemos que la potencia total emitida , P, es: de manera que donde x ≡ ω/ωc.

22 Anteriormente habíamos encontrado que la potencia total emitida por un electrón moviéndose en un campo magnético B es: Comparando las expresiones (1) y (2) y recordando que encontramos que la potencia por unidad de frecuencia emitida por un electrón es:

23 La función F(x) tiene por expresiones asintóticas:
y P ω1/3 ωc ω

24 Usando la relación =E/mc2, donde E es la energía del
electrón, podemos expresar la frecuencia critica como: Normalizando en términos de cantidades astrofísicas:

25 Índice espectral de la radiación emitida por
una distribución de electrones. Consideremos la radiación sincrotón emitida por electrones con una distribución de energía de la forma o La potencia total radiada por unidad de volumen por unidad de frecuencia por esta distribución de partículas es:

26 Haciendo el cambio de variables x=ω/ωc ,y ya que ωc∝2,
(de las expresiones : y ) tenemos que: de manera que: Por lo tanto,

27 Ya que la integral es una constante , tenemos que
donde s≡(p-1)/2

28 Resumen de la radiación sincrotrón
♦ La distribución angular de la radiacion emitida por una sola partícula yace en un cono con un ángulo ~1/. ♦ El espectro de esta radiación se extiende hasta frecuencias del orden de la frecuencia crítica ωc. ♦ Para una distribución de energías en forma de potencia con índice p, el índice espectral de la radiación es s=(p-1)/2 . Las contribuciones a la potencia emitida a la frecuencia ν, P(ν), proviene solo de electrones con frecuencia crítica mayor que ν.

29 N 1 2 3 E P(ν) ν

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31 Solo contribuyen a la potencia P(ν) electrones con energías
mayores a una energía critica Ec dada por: Debido a la fuerte pendiente en la distribución de energías , la mayor parte de la contribución a la frecuenciaν proviene de electrones con ν=νc. Veamos a continuación algunos ejemplos astrofísicos:

32 Radio galaxias Radio emisión proviene de un chorro de partículas relativistas generado por una radio fuente en el centro de la radio galaxia.

33 Remanentes de supernova
Nebulosa del cangrejo (1054 DC)

34 Remanente de la supernova de Tycho (1572 DC)

35 Planetas Ciclotrón producido por la interacción del viento solar con el campo magnético de Júpiter Júpiter

36 Sincrotrón ópticamente grueso
A bajas frecuencias (como en el libre-libre) la radiación sincrotrónica se autoabsorbe: Bajas frecuencias Altas frecuencias

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40 Polarización La potencia radiada en las dos direcciones de polarización es diferente. donde donde las K son funciones de Bessel modificadas de orden i

41 Polarización La polarización de un fotón que emite sincrotrón es en general elíptica, pero si hay electrones con todos los ángulos de ataque posibles, la componente en la dirección paralela al campo magnético se cancela, de modo que solo queda polarización lineal perpendicular al campo magnético. La polarización lineal puede llegar a ser de hasta el 75% (idealmente, en casos reales es del orden de unos pocos por ciento.

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43 15. Dispersión de Compton 15.1 Dispersión por electrones en reposo.
Para fotones con energias bajas, hν<< mc2, la dispersión de la radiación por partículas libres se reduce al caso de la dispersión de Thomson. En este caso ya encontramos, aproximando los fotones incidentes como ondas electromagnéticas, que donde ε y ε1 son las energías del fotón incidente y dispersado, respectivamente. Se dice que la dispersión es coherente o elástica.

44 En el caso general, hay que considerar dos efectos:
♦ La cinemática del proceso de dispersion. ♦ El cambio en la seccion eficaz debido a efectos cuánticos. El efecto cinemático surge debido a que el fotón además de su energía hν, tiene una cantidad de movimiento hν/c. La dispersión no será elástica (ε ≠ ε1 ) debido al retroceso de la carga. Sean Pi y Pf los cuadrivectores de momento del fotón en sus estados inicial y final. Tenemos: donde ni y nf son las direcciones inicial y final del fotón.

45 Sean Pei y Pef los cuadrivectores de momento del electrón
en sus estados inicial y final. Ya que el electrón esta inicialmente en reposo, se tiene que: De los principios de conservación de energía y momento, tenemos: Usando esta relación, y eliminando el momento final del electrón a través de la expresión:

46 ∴ En el proceso de dispersión hay un cambio en longitudes
se encuentra que: En términos de la longitud de onda, donde es la longitud de onda de Compton. ∴ En el proceso de dispersión hay un cambio en longitudes de onda del orden de λc. Para longitudes de onda λ>> λc (i.e. h << mc2) la dispersión es casi elástica. Importante a altas energías.

47 15.2 Dispersión por electrones en movimiento.
De la mecánica cuántica se encuentra que la sección eficaz diferencial para radiación no polarizada es: 15.2 Dispersión por electrones en movimiento. En el caso que el electrón tiene una energía cinética suficientemente alta comparada con la energía del fotón, el electrón puede transferir energía al fotón. Este proceso se denomina dispersión inversa de Compton. Efecto Doppler. De las transformaciones de Lorentz se deriva que un fenómeno periódico en un sistema de referencia en movimiento K´ parece tener en el sistema de referencia K un periodo mas largo por un factor .

48 Considere que en el sistema de referencia K una fuente se
Por otro lado, si medimos los tiempos de llegada de pulsos (u otro fenómeno periódico) que se propagan con la velocidad de la luz, habrá un efecto adicional en el periodo observado debido al tiempo de retardo en la propagación de la luz. Considere que en el sistema de referencia K una fuente se mueve con velocidad v y que emite un periodo de radiación mientras se desplaza de la posición 1 a la posición 2. observador d θ v 1 l 2

49 Si la frecuencia de la radiación en el sistema en reposo es
ω´, entonces en el sistema de referencia del observador el tiempo que se demora en moverse del punto 1 al 2 esta dado por la dilación del tiempo: Por otro lado, de la figura anterior tenemos: y La diferencia en los tiempos de llegada de la radiación emitida en los puntos 1 y 2, ΔtA, es igual a Δt menos el tiempo que la radiación se demora en propagarse la distancia d,

50 ∴ la frecuencia observada será:
Fórmula Doppler relativista. La fórmula Doppler se puede escribir también como: siendo el inverso de esta relación:

51 15.2.2 Transferencia de energía.
Sea K el sistema del observador y K´ el sistema del electrón en reposo. El proceso de dispersión visto desde ambos sistemas se ilustra en la figura: ε1´ ε1 ´ 1´  1 x x’ ε´ ε K´ K

52 Usando las expresiones para el corrimiento Doppler, tenemos
Por otro lado, usando la relación (1) , tenemos que: donde

53 ∴ el proceso inverso de Compton convierte un fotón de baja
De las relaciones anteriores se puede derivar que en el caso de electrones relativistas las energías del fotón ♦ antes de la dispersión :  ♦ en el sistema en reposo del electrón : ' ♦ despues de la dispersión : 1 están aproximadamente en las razones: siempre que la condición para la dispersión de Thomson en el sistema en reposo (ε<<mc2) se cumpla. ∴ el proceso inverso de Compton convierte un fotón de baja energía en uno de alta energía por un factor del orden de 2.

54 15.3 Potencia emitida por una distribución de electrones y fotones.
Consideremos una distribución isotrópica de fotones que están siendo dispersados por una distribución isotrópica de electrones. Sean: ♦ n(p): distribución de fotones en el espacio de fase. Invariante de Lorentz. ♦ f d: densidad de fotones con energías en el rango d. Las cantidades f y n están relacionadas por la expresión: Bajo las transformaciones de Lorentz d3p transforma de la misma forma que la energía, de manera que es un invariante de Lorentz.

55 Por lo tanto, En el sistema en reposo de los electrones la potencia total emitida (i.e. dispersada) es donde f'dε' es la densidad de fotones incidentes. De la invariancia de la potencia emitida: y asumiendo que el cambio en la energía del fotón en el sistema en reposo es despreciable, tenemos que:

56 Note que al derivar estas relaciones estamos suponiendo
que 2 >> e /mc2, de manera que la sección eficaz de Thomson es aplicable. Usando el hecho de que ε'=ε(1-βcosθ), la ecuación anterior se puede escribir como expresión que solo contiene cantidades en el sistema del observador. Para una distribución isotrópica de fotones tenemos, ya que <cosθ>=0 y <cos2θ>=1/3.

57 ∴ donde es la densidad de energía inicial de los fotones.
La potencia neta perdida por los electrones, y por lo tanto convertida en energía de la radiación es: Ya que γ2-1=γ2β2, tenemos finalmente que ¡Note la similitud con la fórmula para sincrotrón!

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59 Radiación Compton emitida por un medio de electrones
relativistas. Sea N(γ)dγ el número de electrones por unidad de volumen con γ en el rango γ, γ+dγ. La potencia total emitida por unidad de volumen es Asumiendo que obtenemos

60 Comptonization Comptonization 3C 279: Comptonization Model 1994
Synchrotron Comptonization Ambient UV