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Radiación sincrotrón La radiación sincrotrón es producida por la aceleración de una carga en un campo magnético. De la ecn.(2) se infiere que = constante.

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1 Radiación sincrotrón La radiación sincrotrón es producida por la aceleración de una carga en un campo magnético. De la ecn.(2) se infiere que = constante o que |v|=constante de la ecn.(1) tenemos 1. Potencia total emitida en la radiación sincrotrón. Calculemos la aceleración de una partícula de masa m, carga q, en un campo magnético B:

2 Expresando v en términos de las componentes a lo largo de B (v || ) y en un plano normal a B (v ): tenemos Movimiento circular + movimiento uniforme a lo largo de B movimiento helicoidal (3) v || = cte. y ya que |v|=cte. |v |= cte. (4)+ |v |= cte. en el plano normal a B el movimiento es circular uniforme.

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4 Frecuencia de rotación o giro: La aceleración es perpendicular a la velocidad y de magnitud: Usando la fórmula de Larmor, la potencia total emitida es: Potencia radiada por partículas con una distribución isotrópica de velocidades. Debemos promediar sobre todos los ángulos para una rapidez dada v. Sea α el ángulo entre el campo magnético y la velocidad. Tenemos:

5 Y ya que d = senα dα dφ donde

6 2. Espectro de la radiación sincrotrón. donde R es el vector entre el punto de observación y la posición de la partícula en el tiempo retardado, y 2.1 Diagramas de radiación. En general el campo eléctrico de la radiación está dado por: En el caso no relativista:

7 Sea θ el ángulo entre la aceleración y el vector R, A. Aceleración paralela a la velocidad: B. Aceleración perpendicular a la velocidad: Acelerador Lineal Ciclotrón

8 C. Caso relativista y cuando la aceleración es paralela a la velocidad: Esta expresión es similar al caso no relativista excepto por el factor κ 3 : Este factor concentra el potencial en un angosto haz alrededor de la velocidad de la partícula: Cherenkov

9 D. Caso relativista y cuando la aceleración es perpendicular a la velocidad: Sincrotrón Debido al efecto de enfocamiento, el campo de radiación está concentrado en un angosto haz en la dirección de la velocidad de la partícula. 2.2 Espectro de la radiación sincrotrón emitida por un electrón. Espectro de la radiación está relacionado a la variación del campo eléctrico.

10 El observador verá una serie de pulsos a medida que el vector velocidad del electrón barre la línea de la visual. 1 2 El observador verá el pulso desde los puntos 1 al 2 a lo largo de la trayectoria de la partícula, donde 1 y 2 son tales que el cono de emisión de ancho angular ~ 1/γ incluye la dirección de observación. El intervalo de tiempo de duración del pulso es muchísimo mas pequeño que el periodo de giro.

11 La distancia Δs a lo largo de la trayectoria es Δs=a Δθ. De la geometría de la figura: Δθ =2/γ, El radio de curvatura a lo podemos evaluar de la ecuación de movimiento: Ya que | Δv|=v Δθ y que Δs=v Δt, tenemos que

12 Usando la expresión para la frecuencia de giro, Reemplazando en la relación (5) : Los instantes t 1 y t 2 en los cuales la partícula pasa por los puntos 1 y 2 son tales que Δs=v(t 2 -t 1 ), Sean t 1 A y t 2 A los tiempos de llegada de la radiación desde los puntos 1 y 2.

13 Se tiene que t 1 A - t 2 A es menor que t 2 -t 1 por un tiempo igual al tiempo que la radiación se demora en recorrer la distancia Δs, Usando las expresiones (6) y (7), tenemos Recordando que

14 tenemos que en el caso relativista podemos escribir, ¡El ancho temporal del pulso es menor que el periodo de giro (T=2π/ω B ) por un factor de γ 3 ! El campo eléctrico es como se muestra en la figura. Esperamos que el espectro sea bastante ancho, llegando a frecuencias del orden de 1/Δt A.

15 Definiendo una frecuencia crítica, ω c, como Se puede demostrar que la potencia emitida por unidad de frecuencia por un electrón esta dada por: donde F es función adimensional. el espectro se extenderá hasta frecuencias del orden de ω c.

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17 Habíamos señalado que la potencia emitida por unidad de frecuencia por un electrón esta dada por: Derivación simple de esta dependencia. En el caso relativístico el campo eléctrico de la radiación es función de θ (el ángulo polar alrededor de la dirección de movimiento) solo a través de la combinación γθ. Recordar que:

18 Podemos entonces escribir: Usando argumentos similares a aquellos usados para determinar Δs, encontramos que : y donde t se refiere al tiempo medido en el sistema del observador. encontramos que la relación entre θ y t es: De estas dos expresiones, y de la relación,

19 Por lo tanto la dependencia en el tiempo del campo eléctrico se puede expresar como: Esta expresión es suficiente para derivar la dependencia general del espectro en función de la frecuencia. La transformada de Fourier del campo eléctrico es,

20 Haciendo el cambio de variables t=ω c τ, tenemos, Recordando que la energía por unidad de ángulo solidó y unidad de frecuencia esta dada por: integrando sobre los ángulos sólidos y dividiendo por el periodo orbital, tenemos que

21 donde F es una función adimensional y C 1 es una constante de proporcionalidad que se evalúa como se describe a continuación. Integrando sobre frecuencias, tenemos que la potencia total emitida, P, es: de manera que donde x ω/ω c.

22 Anteriormente habíamos encontrado que la potencia total emitida por un electrón moviéndose en un campo magnético B es: Comparando las expresiones (1) y (2) y recordando que encontramos que la potencia por unidad de frecuencia emitida por un electrón es:

23 La función F(x) tiene por expresiones asintóticas: y P ω 1/3 ωcωc ω

24 Usando la relación =E/mc 2, donde E es la energía del electrón, podemos expresar la frecuencia critica como: Normalizando en términos de cantidades astrofísicas:

25 Índice espectral de la radiación emitida por una distribución de electrones. o La potencia total radiada por unidad de volumen por unidad de frecuencia por esta distribución de partículas es: Consideremos la radiación sincrotón emitida por electrones con una distribución de energía de la forma

26 Haciendo el cambio de variables x=ω/ω c,y ya que ω c 2, (de las expresiones :y) tenemos que: de manera que: Por lo tanto,

27 Ya que la integral es una constante, tenemos que donde s(p-1)/2

28 Las contribuciones a la potencia emitida a la frecuencia ν, P(ν), proviene solo de electrones con frecuencia crítica mayor que ν. Resumen de la radiación sincrotrón La distribución angular de la radiacion emitida por una sola partícula yace en un cono con un ángulo ~1/. El espectro de esta radiación se extiende hasta frecuencias del orden de la frecuencia crítica ω c. Para una distribución de energías en forma de potencia con índice p, el índice espectral de la radiación es s=(p-1)/2.

29 N E P(ν) ν 1 2 3

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31 Solo contribuyen a la potencia P(ν) electrones con energías mayores a una energía critica E c dada por: Debido a la fuerte pendiente en la distribución de energías, la mayor parte de la contribución a la frecuenciaν proviene de electrones con ν=ν c. Veamos a continuación algunos ejemplos astrofísicos:

32 Radio emisión proviene de un chorro de partículas relativistas generado por una radio fuente en el centro de la radio galaxia. Radio galaxias

33 Remanentes de supernova Nebulosa del cangrejo (1054 DC)

34 Remanente de la supernova de Tycho (1572 DC)

35 Júpiter Planetas Ciclotrón producido por la interacción del viento solar con el campo magnético de Júpiter

36 Sincrotrón ópticamente grueso A bajas frecuencias (como en el libre-libre) la radiación sincrotrónica se autoabsorbe: Bajas frecuencias Altas frecuencias

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40 Polarización La potencia radiada en las dos direcciones de polarización es diferente. donde donde las K son funciones de Bessel modificadas de orden i

41 Polarización La polarización de un fotón que emite sincrotrón es en general elíptica, pero si hay electrones con todos los ángulos de ataque posibles, la componente en la dirección paralela al campo magnético se cancela, de modo que solo queda polarización lineal perpendicular al campo magnético. La polarización lineal puede llegar a ser de hasta el 75% (idealmente, en casos reales es del orden de unos pocos por ciento.

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43 En este caso ya encontramos, aproximando los fotones incidentes como ondas electromagnéticas, que donde ε y ε 1 son las energías del fotón incidente y dispersado, respectivamente. Se dice que la dispersión es coherente o elástica. 15. Dispersión de Compton 15.1 Dispersión por electrones en reposo. Para fotones con energias bajas, hν<< mc 2, la dispersión de la radiación por partículas libres se reduce al caso de la dispersión de Thomson.

44 El efecto cinemático surge debido a que el fotón además de su energía hν, tiene una cantidad de movimiento hν/c. donde n i y n f son las direcciones inicial y final del fotón. En el caso general, hay que considerar dos efectos: La cinemática del proceso de dispersion. El cambio en la seccion eficaz debido a efectos cuánticos. Sean P i y P f los cuadrivectores de momento del fotón en sus estados inicial y final. Tenemos: La dispersión no será elástica (ε ε 1 ) debido al retroceso de la carga.

45 Sean P ei y P ef los cuadrivectores de momento del electrón en sus estados inicial y final. Ya que el electrón esta inicialmente en reposo, se tiene que: De los principios de conservación de energía y momento, tenemos: Usando esta relación, y eliminando el momento final del electrón a través de la expresión:

46 se encuentra que: En términos de la longitud de onda, donde es la longitud de onda de Compton. En el proceso de dispersión hay un cambio en longitudes de onda del orden de λ c. Para longitudes de onda λ>> λ c (i.e. h << mc 2 ) la dispersión es casi elástica. Importante a altas energías.

47 De la mecánica cuántica se encuentra que la sección eficaz diferencial para radiación no polarizada es: Efecto Doppler. De las transformaciones de Lorentz se deriva que un fenómeno periódico en un sistema de referencia en movimiento K´ parece tener en el sistema de referencia K un periodo mas largo por un factor. En el caso que el electrón tiene una energía cinética suficientemente alta comparada con la energía del fotón, el electrón puede transferir energía al fotón. Este proceso se denomina dispersión inversa de Compton Dispersión por electrones en movimiento.

48 Por otro lado, si medimos los tiempos de llegada de pulsos (u otro fenómeno periódico) que se propagan con la velocidad de la luz, habrá un efecto adicional en el periodo observado debido al tiempo de retardo en la propagación de la luz. observador θ 1 2 v d l Considere que en el sistema de referencia K una fuente se mueve con velocidad v y que emite un periodo de radiación mientras se desplaza de la posición 1 a la posición 2.

49 Por otro lado, de la figura anterior tenemos: y Si la frecuencia de la radiación en el sistema en reposo es ω´, entonces en el sistema de referencia del observador el tiempo que se demora en moverse del punto 1 al 2 esta dado por la dilación del tiempo: La diferencia en los tiempos de llegada de la radiación emitida en los puntos 1 y 2, Δt A, es igual a Δt menos el tiempo que la radiación se demora en propagarse la distancia d,

50 la frecuencia observada será: Fórmula Doppler relativista. La fórmula Doppler se puede escribir también como: siendo el inverso de esta relación:

51 Transferencia de energía. Sea K el sistema del observador y K´ el sistema del electrón en reposo. El proceso de dispersión visto desde ambos sistemas se ilustra en la figura: K K´ ε ε´ε´ ε1ε1 ε1´ε1´ 1 ´ ´ x x 1

52 Usando las expresiones para el corrimiento Doppler, tenemos Por otro lado, usando la relación (1), tenemos que: donde

53 De las relaciones anteriores se puede derivar que en el caso de electrones relativistas las energías del fotón antes de la dispersión : en el sistema en reposo del electrón : ' despues de la dispersión : 1 siempre que la condición para la dispersión de Thomson en el sistema en reposo ( ε<

54 Sean: n(p): distribución de fotones en el espacio de fase. Invariante de Lorentz. f d : densidad de fotones con energías en el rango d. Bajo las transformaciones de Lorentz d 3 p transforma de la misma forma que la energía, de manera que es un invariante de Lorentz Potencia emitida por una distribución de electrones y fotones. Consideremos una distribución isotrópica de fotones que están siendo dispersados por una distribución isotrópica de electrones. Las cantidades f y n están relacionadas por la expresión:

55 En el sistema en reposo de los electrones la potencia total emitida (i.e. dispersada) es donde f'dε' es la densidad de fotones incidentes. y asumiendo que el cambio en la energía del fotón en el sistema en reposo es despreciable, tenemos que: Por lo tanto, De la invariancia de la potencia emitida:

56 Note que al derivar estas relaciones estamos suponiendo que 2 >> e /mc 2, de manera que la sección eficaz de Thomson es aplicable. expresión que solo contiene cantidades en el sistema del observador. ya que =0 y =1/3. Usando el hecho de que ε'=ε (1-βcosθ), la ecuación anterior se puede escribir como Para una distribución isotrópica de fotones tenemos,

57 donde La potencia neta perdida por los electrones, y por lo tanto convertida en energía de la radiación es: Ya que γ 2 -1=γ 2 β 2, tenemos finalmente que es la densidad de energía inicial de los fotones. ¡Note la similitud con la fórmula para sincrotrón!

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59 Radiación Compton emitida por un medio de electrones relativistas. Asumiendo que obtenemos Sea N(γ)dγ el número de electrones por unidad de volumen con γ en el rango γ, γ+dγ. La potencia total emitida por unidad de volumen es

60 1994 3C 279: Comptonization Model Synchrotron Ambient UV


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