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Curso Propedéutico de Física Moderna I Instituto de Ciencias Físicas UNAM Semana 3 :Principios de mecánica Cuántica Antonio M. Juárez Reyes, Instituto.

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1 Curso Propedéutico de Física Moderna I Instituto de Ciencias Físicas UNAM Semana 3 :Principios de mecánica Cuántica Antonio M. Juárez Reyes, Instituto de Ciencias Físicas Curso propedéutico, Física moderna 2008

2 Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008 ESTADO SÓLIDO 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores.

3 Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008 De manera general podemos Separar la materia sólida en 3 Grandes grupos: Cristales, (orden de largo alcance) Policristales (orden local) Materiales amorfos (desorden local) Por simplicidad, en estas notas discutiremos Solamente los cristales.

4 ¿Qué son los cristales? Un cristal es un sólido en el cual los átomos o moléculas constituyentes están se encuentran regularmente espaciadas y ordenadas en patrones que se repiten de manera Periódica en 3 dimensiones. 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina

5 Definiciones 1. La celda unitaria (o grupo cristalino) a) Una celda unitaria es la unidad más pequeña de una estructura cristalina, en 3D La cual muestra las mismas propiedades geométricas y de simetría bajo operaciones de transalción. Existen 7 de estas. b) Al considerar el centrado de los átomos en un cristal, en base a las 7 celdas unitarias Posibles, se pueden construir 14 arreglos, denominados Latices de Bravais c) Se pueden realizar operaciones de simetría respecto a un punto fijo. Estas Operaciones constituyen un grupo, denominado grupo punto. Existen 32 grupos punto Que son compatibles con la simetría de translación de las celdas unitarias y las Latices de Bravais. A estos grupos se les denomina grupo s cristalográficos punto La combinación de las 32 operaciones cristalinas punto, con las 7 tipos de celdas unitarias constituyen el grupo espacial cristalográfico, que contiene 230 grúpos únicos 6.1 Estductura de sólidos: Estructura cristalina

6 Definiciones 1. La celda unitaria (o grupo cristalino) La combinación de las 32 operaciones cristalinas punto, con las 7 tipos de celdas unitarias constituyen el grupo espacial cristalográfico, que contiene 230 grupos únicos Cualquier simetría cristalina que existe, existió o existirá en este universo Puede describirse con una combinación de éstos 230 grupos espaciales. 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina

7 Cualquier simetría cristalina que existe, existió o existirá en este universo Puede describirse con una combinación de esps 230 grupos espaciales. Sulfato De cobre Esmeraldas Diamantes Carbonato de calcio Y más … 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina

8 Definiciones 1. La celda unitaria (o grupo cristalino) Una celda unitaria general consiste de: 3 lados- a, b, c 3 ángulos-,, Una celda unitaria es la unidad más pequeña de una estructura cristalina, en 3D La cual muestra las mismas propiedades geométricas y de simetría bajo operaciones De transalción 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina

9 Existen siete tipos de celdas básicas: Cúbicaa=b=c = = =90° Tetragonala=b c = = =90° Ortorrómbicaa b c = = =90° Monoclínicaa b c = =90°, 90° Triclínicaa b c 90° Hexagonala=b c = =90°, =120° Rombohedrala=b=c = = 90° Revisemos qué cara tienen estas celdas: 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina

10 Existen siete tipos de celdas básicas: Cúbica a=b=c = = =90° Tetragonala=b c = = =90° Ortorrómbica a b c = = =90° 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina

11 Existen siete tipos de celdas básicas: Monoclínica a b c = =90°, 90° Triclínica a b c 90° Hexagonala=b c = =90°, =120° 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina

12 Existen siete tipos de celdas básicas: Rombohedral a=b=c = = 90° Finalmente: 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina

13 Latices de Bravois 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina Combinando las 7 celdas básicas con las posibilidades de centrado de algunos De los átomos que conforman el cristal, se pueden construir las Latices de Bravois Centrados posibles en una celda unitaria: 1.- Centrado primitivo (P) o básico: caso trivial en el que los átomos Pueden acomodare en las esquinas de la celda, únicamente. 2.- Centrado en el cuerpo del cristal (I). Un átomo puede acomodarse Al centro de la celda, manteniendo las propiedades de simetría de ésta. 3.- Centrado en las caras (F). Un átomo puede acomodarse al centro de cada una de las caras de la celda, manteniendo las propiedades de simetría de ésta. 4.- Centrado en una sola cara (A, B o C). Un átomo puede acomodarse En sólo una de las caras del cristal, manteniendo las propiedades de Simetría..

14 Cúbica a=b=c = = =90° Tetragonal a=b c = = =90° Ortorrómbica a b c = = =90° 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina Latices de Bravois

15 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina Latices de Bravois Monoclínica a b c = =90°, 90°

16 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina Grupos cristalinos puntuales Recordemos que un grupo de simetría consta de: a)elementos de simetría (ejes de simetría, planos de simetría, centros de inversión. b)Operaciones de simetría : Recordemos que un grupo es un conjunto el cual, bajo una operación * presenta Las siguientes características: 1.- Cerradura: para todo a y b en G, a*b también está en g 2.- Asociatividad: Para todo a,b y c en G, (a*b)*c = a*(b*c) 3.- Identidad: Existe un elemento en G tal que para todo a en g, a*e=e*a=a 4.- Inverso: Para cada elemento a en G, existe un elemento a -1 tal que a* =ea -1 =e

17 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina Grupos cristalinos puntuales En el caso de cristales, los elementos de un grupo son operaciones de simetría Éstas son las siguientes: --- E Trasformación identidad(E viene del alemán Einheit,que significa unidad). --- C n rotación (s. m. del reloj) por un angulo 2π radianes, con n entero --- C n k rotación (s. m. del reloj) por un ángulo de 2k /n radianes. Tanto n como k son enteros. --- S n Rotación impropia(s. m. del reloj) por un angulo de 2 /n radianes, seguido de una reflexión en el plano perpendicular al eje de rotación. S viene de Spiegel,que en alemán significa espejo --- i Inversión (equivale a S 2 ). En coordenadas cartesianas (x, y, z) (-x, -y, -z).

18 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina Grupos cristalinos puntuales Los grupos puntuales, en general, pueden ser infinitos. Sin embargo, para cristales Existe un teorema general que limita el número de elementos de un grupo cristalino. Teorema de restricción cristalográfico Este teorema establece que las operaciones de simetría rotacional en un cristal están Limitadas a rotaciones del tipo n=2, 3, 4 y 5.

19 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina Grupos cristalinos puntuales Para los que deseen ver de manera gráfica estos conceptos, les recomiendo el Tutorial siguiente en la red ( requieren Java applets, y toma un rato en cargar)

20 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina Grupos cristalinos puntuales Para los que deseen ver de manera gráfica estos conceptos, les recomiendo el Tutorial siguiente en la red ( requieren Java applets, y toma un rato en cargar) Un ejemplo rápido de cómo se pueden emplear Argumentos de simetría para inferir propiedades Físicas: Termoelectricidad y Piezoelectricidad: Sin centro de inversión

21 1. Por qué es importante considerar los cristales en términos de teoría de grupos? a) Una celda unitaria es la unidad más pequeña de una estructura cristalina, en 3D La cual muestra las mismas propiedades geométricas y de simetría bajo operaciones de transalción. Existen 7 de estas. b) Al considerar el centrado de los átomos en un cristal, en base a las 7 celdas unitarias Posibles, se pueden construir 14 arreglos, denominados Latices de Bravais c) Se pueden realizar operaciones de simetría respecto a un punto fijo. Estas Operaciones constituyen un grupo, denominado grupo punto. Existen 32 grupos punto Que son compatibles con la simetría de translación de las celdas unitarias y las Latices de Bravais. A estos grupos se les denomina grupo s cristalográficos punto La combinación de las 32 operaciones cristalinas punto, con las 7 tipos de celdas unitarias constituyen el grupo espacial cristalográfico, que contiene 230 grúpos únicos 6.1 Estductura de sólidos: Estructura cristalina

22 La combinación de las 32 operaciones cristalinas punto, con las 7 tipos de celdas unitarias constituyen el grupo espacial cristalográfico, que contiene 230 grupos únicos Cualquier simetría cristalina que existe, existió o existirá en este universo Puede describirse con una combinación de estos 230 grupos espaciales. 6.1 Estructura de sólidos: Estructura cristalina 1. Por qué es importante considerar los cristales en términos de teoría de grupos? El grupo de simetría al que pertenece un cristal permite determinar Las propiedades físicas de éste (Birrefringencia, piezoelectricidad) sin conocer detalles específicos de su composición química.

23 Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008 ESTADO SÓLIDO 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores.

24 Curso propedéutico, Física moderna Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Madelung ¿Cuánta energía se requiere para formar un cristal ( o para destruirlo)? Para responder esa pregunta consideremos un modelo de cristal sencillo, Compuesto de iones de Sodio y Cloro NaCl: Notas.

25 Curso propedéutico, Física moderna Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Madelung ¿Cuánta energía se requiere para formar un cristal ( o para destruirlo)? Para responder esa pregunta consideremos un modelo de cristal sencillo, Compuesto de iones de Sodio y Cloro NaCl: Notas.

26 Curso propedéutico, Física moderna Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Madelung Notas.

27 Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008 ESTADO SÓLIDO 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores.

28 6.3 Capacidad Calorífica Curso propedéutico, Física moderna 2008 Definición.-La capacidad calorífica (específica) de un cuerpo es la medida de la energía térmica requerida para elevar en un grado Kelvin una unidad de masa (gramo, kilogramo o mol). Desde el punto de vista termodinámico la capacidad calorífica de los cuerpos Se puede expresar como el cambio de energía térmica como función del Cambio en la temperatura ( Estableciendo la presión o el volumen de manera Constante) Sin embargo, para propósitos de este curso, revisaremos este concepto Desde el punto de vista microscópico. La revisión de el calor específico de Los cuerpos fue una de las áreas de la física que empujó el desarrollo del Atomisismo y de la mecánica cuántica.

29 6.3 Capacidad Calorífica Curso propedéutico, Física moderna 2008 Desde el punto de vista termodinámico la capacidad calorífica de los cuerpos Se puede expresar como el cambio de energía térmica como función del Cambio en la temperatura ( Estableciendo la presión o el volumen de manera Constante) Sin embargo, para propósitos de este curso, revisaremos este concepto Desde el punto de vista microscópico. La revisión de el calor específico de Los cuerpos fue una de las áreas de la física que empujó el desarrollo del Atomisismo y de la mecánica cuántica. Donde α es el coeficiente de expansión térmico … y β T es la compresibilidad isotérmica

30 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008

31 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 ¿Es posible establecer un modelo microscópico que explique estos valores?

32 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Para explicar los disntintos tipos de calores específicos, se desarrollaron Y evolucionaron varios modelos teóricos que trataron de explicarlos. La mecánica cuántica se desarrollo al encontrar inconsistencias entre las predicciones hechas con modelos Clásicos con la realidad Revisemos brevemente algunos modelos Para gases, podemos suponer que la energía que se suministra en forma de calor, se distribuye solamente entre los 3 grados de libertad translacional del átomo. (esto solo es cierto hasta ciertas temperaturas, ¿Por qué?)

33 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Con ésta suposición, es posible probar usando la teoría cinética de gases Que el calor específico a volumen constante corresponde a: Aquí, N corresponde a número total de átomos y n al número de moles. R es La constate universal de gases ideales, la cual tiene un valor de ( [70] J K 1 mol 1 ).R=

34 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Monatomic gasC V, m (J K 1 mol 1 )C V, m /R He Ne Ar Kr Xe ¿Qué tan buena es la aproximación, para los gases ideales? ¡La aproximación es bastante buena!

35 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Compliquemos las cosas: ¿Qué ocurre con las moléculas diatómicas? R.- Aquí tenemos que considerar otros grados de libertad: Rotaciones y vibraciones. Energía rotacional Energía vibracional Clásica Cuántica

36 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 EN una molécula diatómica, existen: 3 grados de libertad translacional 3 grados de libertad rotacional 1 grado de libertad vibracional (1 alrededor del eje principal es Muy pequeño y puede despreciarse) En total hay 6 grados de libertad

37 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 EN una molécula diatómica, existen: 3 grados de libertad translacional 3 grados de libertad rotacional 1 grado de libertad vibracional (1 alrededor del eje principal es Muy pequeño y puede despreciarse) En total hay 6 grados de libertad -- Los 3 grados vibracionales contribuyen con R/2 en energía molar total -- Los 2 grados rotacionales contribuyen con R/2 cada uno -- el vibracional con R (R/2 por el término cinético y R/2 por el potencial) TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 =

38 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna Los 3 grados vibracionales contribuyen con R/2 en energía molar total -- Los 2 grados rotacionales contribuyen con R/2 cada uno -- el vibracional con R (R/2 por el término cinético y R/2 por el potencial) TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R Diatomic gasC V, m (J K 1 mol 1 )C V, m / R H2H CO N2N Cl Br ¿Qué se ve en la realidad?

39 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Diatomic gas C V, m (J K 1 mol 1 ) C V, m / R H2H CO N2N Cl Br TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R Energía vibracional Clásica Cuántica ¿qué valores se obtienen Si uno considera el oscilador Cuántico?

40 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R Energía vibracional Clásica Cuántica ¿qué valores se obtienen Si uno considera el oscilador Cuántico? (clásico) El oscilador cuántico requiere una energía mínima de hw para excitarse Vibracionalmente. Esto quiere decir que si no hay suficiente energía térmica Los grados de libertad vibracionales no participan en la repartición de la Energía:

41 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R ¿qué valores se obtienen Si uno considera el oscilador Cuántico? (clásico) El oscilador cuántico requiere una energía mínima de hw para excitarse Vibracionalmente. Esto quiere decir que si no hay suficiente energía térmica Los grados de libertad vibracionales no participan en la repartición de la Energía: TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R (clásico) TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) = 5R/2 = 2.5R (cuántico)

42 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R (clásico) TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) = 5R/2 = 2.5R (cuántico) Diatomic gas C V, m (J K 1 mol 1 ) C V, m / R H2H CO N2N Cl Br Más cercano! ¿Por qué funciona mejor con moléculas ligeras que grandes?

43 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Modelos para sólidos Clásico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819) - El producto del calor específico por el peso atómico del elemento sólido es independiente del elemento Cuántico: Modelo de Einstein (1906) (Notas) -empleando el oscilador cuantizado y la distribucuón de boltzmann se obtienen acuerdos con calores específicos a alta y baja temperaturas.

44 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Modelos para sólidos Clásico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819) -El producto del calor específico por el peso atómico del elemento sólido es independiente del elemento 1.- Se modela un sólido como un conjunto de átomos ligados Por resortes, con un acoplamiento débil. 2.- Se sabe que el oscilador armónico lineal contribuye con R unidades al calor específico molar 3.-El modelo de sólido es un oscilador en 3 dimensiones, ergo: C v = 3R = 5.96 Cal/mol o C Richards 1893):

45 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Modelos para sólidos En general hubo poca concordancia de la predicción de D-P aunque para algunos sólidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumple Razonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas)

46 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Modelos para sólidos En general hubo poca concordancia de la predicción de D-P aunque para algunos sólidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumple Razonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas) Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrolló Un modelo de sólido, para evaluar el calor específico:

47 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrolló Un modelo de sólido, para evaluar el calor específico: PREMISAS 1. Cada átomo en la latiz es un oscilador armónico cuantizado 2. Los átomos vibran a la misma frecuencia

48 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Esbozo de la derivación de Einstein: NOTAS

49 Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008 ESTADO SÓLIDO La Próxima semana 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores.

50 Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008 ESTADO SÓLIDO 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores.

51 Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008 ESTADO SÓLIDO 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores.

52 Curso propedéutico, Física moderna 2008 NOTAS La tareas se subirá hoy en la tarde


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