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Curso Propedéutico de Física Moderna I Instituto de Ciencias Físicas UNAM Semana 3 :Principios de mecánica Cuántica Antonio M. Juárez Reyes, Instituto.

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1 Curso Propedéutico de Física Moderna I Instituto de Ciencias Físicas UNAM Semana 3 :Principios de mecánica Cuántica Antonio M. Juárez Reyes, Instituto de Ciencias Físicas Curso propedéutico, Física moderna 2008

2 Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008 ESTADO SÓLIDO 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores.

3 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Monatomic gasC V, m (J K 1 mol 1 )C V, m /R He Ne Ar Kr Xe ¿Qué tan buena es la aproximación, para los gases ideales? ¡La aproximación es bastante buena!

4 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Compliquemos las cosas: ¿Qué ocurre con las moléculas diatómicas? R.- Aquí tenemos que considerar otros grados de libertad: Rotaciones y vibraciones. Energía rotacional Energía vibracional Clásica Cuántica

5 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 EN una molécula diatómica, existen: 3 grados de libertad translacional 3 grados de libertad rotacional 1 grado de libertad vibracional (1 alrededor del eje principal es Muy pequeño y puede despreciarse) En total hay 6 grados de libertad

6 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna Los 3 grados vibracionales contribuyen con R/2 en energía molar total -- Los 2 grados rotacionales contribuyen con R/2 cada uno -- el vibracional con R (R/2 por el término cinético y R/2 por el potencial) TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R Diatomic gasC V, m (J K 1 mol 1 )C V, m / R H2H CO N2N Cl Br ¿Qué se ve en la realidad?

7 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Diatomic gas C V, m (J K 1 mol 1 ) C V, m / R H2H CO N2N Cl Br TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R Energía vibracional Clásica Cuántica ¿qué valores se obtienen Si uno considera el oscilador Cuántico?

8 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R (clásico) TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) = 5R/2 = 2.5R (cuántico) Diatomic gas C V, m (J K 1 mol 1 ) C V, m / R H2H CO N2N Cl Br Más cercano! ¿Por qué funciona mejor con moléculas ligeras que grandes?

9 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Modelos para sólidos Clásico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819) - El producto del calor específico por el peso atómico del elemento sólido es independiente del elemento Cuántico: Modelo de Einstein (1906) (Notas) -empleando el oscilador cuantizado y la distribucuón de boltzmann se obtienen acuerdos con calores específicos a alta y baja temperaturas. Modelo clásico de conductividad de Drude Estadística de Fermi-Dirac. Partículas idénticas. Modelo de metales de Sommerfeld

10 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Modelos para sólidos Clásico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819) -El producto del calor específico por el peso atómico del elemento sólido es independiente del elemento 1.- Se modela un sólido como un conjunto de átomos ligados Por resortes, con un acoplamiento débil. 2.- Se sabe que el oscilador armónico lineal contribuye con R unidades al calor específico molar 3.-El modelo de sólido es un oscilador en 3 dimensiones, ergo: C v = 3R = 5.96 Cal/mol o C Richards 1893):

11 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Modelos para sólidos En general hubo poca concordancia de la predicción de D-P aunque para algunos sólidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumple Razonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas)

12 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Modelos para sólidos En general hubo poca concordancia de la predicción de D-P aunque para algunos sólidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumple Razonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas) Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrolló Un modelo de sólido, para evaluar el calor específico:

13 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Curso propedéutico, Física moderna 2008 Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrolló Un modelo de sólido, para evaluar el calor específico: PREMISAS 1. Cada átomo en la latiz es un oscilador armónico cuantizado 2. Los átomos vibran a la misma frecuencia

14 Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008 ESTADO SÓLIDO La Próxima semana 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4Teoría clásica de conducción (Modelo de Drude) 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores.

15 Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008 ESTADO SÓLIDO 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Modelo de Sommerfeld Capacidad calorífica de Metales 6.6 Teoría de semiconductores.

16 Temario, semana 6 Curso propedéutico, Física moderna 2008 ESTADO SÓLIDO 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores. Modelo de Kronig-Penney

17 Teoría de Bandas Curso propedéutico, Física moderna 2008 En un sistema atómico, los valores permitidos de energía están cuantizados En un material sólido, los niveles de energía forman bandas 1 átomo Muchos átomos

18 Teoría de Bandas Curso propedéutico, Física moderna 2008 ¿por qué se forman bandas al asociar átomos? Recordemos cómo se forma una molécula al sumar dos átomos: Sumando dos átomos en estado 1S se tienen dos combinaciones posibles Una simétrica y otra antisimétrica:

19 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 Energéticamente

20 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 Para 3 moléculas, la combinación lineal de orbitales da lugar a 3 niveles: 10 átomos:

21 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 Para un número Grande de átomos los Niveles desaparecen Y en su lugar aparecen Bandas.

22 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 Para justificar de manera más formal la aparición de bandas, revisaremos El modelo de Kronig-Penney, para evaluar los niveles de energía permitidos En un material. 1.- Consideramos un modelo unidimensional, en el que un electron sufre la influencia de los iones de la latiz 2.- Modelamos un cristal como una serie De potenciales periódicos de separación d La región I es el espacio entre iones y la II el lugar donde se encuentran Los iones.

23 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 La región I es el espacio entre iones y la II el lugar donde se encuentran Los iones. La dinámica Del electrón estádada por: V(r) = V(r + a)

24 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 Las soluciones en estas regiones son:

25 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 Se determinan a partir de condiciones de continuidad En las fronteras de las regiones, en particular para Psi y para Su derivada, así como de la normalización de PSI EC1

26 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 Sin embargo, estas son solo soluciones para las regiones I y II, mientras que Nosotros buscamos soluciones para toda la malla. Con el fin de encontrar la solución general, recurrimos al teorema de Bloch:

27 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 TEOREMA DE BLOCH Si x es un vector cualquiera en una latiz periódica e infinita, y ψ es solución a la ecuación de schroedinger para un potencial V(r), entonces, para una latiz que satisfaga V(r)=V(r+t) existe un vector de onda k en la latiz inversa, y una Función periódica u j (k) tales que: Tiene la misma periodicidad del potencial Se puede ver de la ecuación 1 que: Es decir, la función de onda en x es igual a aquella desplazada en a Unidades, más un cambio de fase exp(ika)

28 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 Evaluando lafunción de onda en d y en a, tenemos:

29 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 Y de las derivadas, se puede probar que:

30 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: (1) (2) (3)

31 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: (1) (2) (3) Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición

32 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: (1) (2) (3) Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición

33 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición Esta condición establece constricciones sobre las energías posibles en el potencial, y los vectores de onda posibles.

34 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición Soluciones válidas No hay soluciones que satisfagan el teorema De Bloch.

35 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 Algunas soluciones numéricas

36 Modelo de Kronig Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008 Algunas soluciones numéricas

37 Curso propedéutico, Física moderna 2008 NOTAS La tareas se subirá hoy en la tarde

38 Curso propedéutico, Física moderna 2008 NOTAS Dependiendo de el valor Del gap de energía se tienen conductores, semiconductores Y aislantes.

39 Curso propedéutico, Física moderna 2008 NOTAS La tarea de toda esta seccion se subirá el día de mañana. -


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