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1. Modelos matemáticos ISAAC NEWTON (1642 - 1727) GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 - 1716) (© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

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1 1. Modelos matemáticos ISAAC NEWTON ( ) GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ ( ) (© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

2 Suposiciones Se expresan las suposiciones en términos de ecuaciones diferenciales Formulación matemática Se resuelven las EDs Se obtiene la solución Se muestran las predicciones del modelo. Por ejemplo, gráficamente Se comprueban las predicciones del modelo con hechos conocidos Si es necesario, se modifican las suposiciones o se aumentan la resolución del modelo EDs como modelos matemáticos

3 Modelos lineales Crecimiento y decaimiento k > 0 es una constante de crecimiento, y k > 0 es una constante de decaimiento.

4 Dinámica Poblacional (Thomas Maltus 1798) Si P(t) representa la población en el tiempo t, entonces dP/dt P dP/dt = kP donde k > 0 es una constante de proporcionalidad. Desintegración Radiactiva Si A(t) representa la cantidad de sustancia radiactiva restante en el tiempo t, entonces dA/dt A dA/dt = kA donde k < 0 es una constante de proporcionalidad. Una sola ED puede servir como un modelo matemático para muchos fenómenos.

5 Solución: Como dP/dt = kt, dP/dt – kt = 0, tenemos P(t) = ce kt, usamos P(0) = P 0 luego c = P 0 y P(t) = P 0 e kt Como P(1) = 3/2 P(0), entonces P(1) = P 0 e k = 3/2 P(0). Por tanto, k = ln(3/2) = Ahora P(t) = P 0 e t = 3P 0, t = ln3/ = Crecimiento de bacterias P 0 : cantidad inicial de bacterias = P(0) P(1) = 3/2 P(0) Determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias.

6 Un reactor convierte U-238 en el isótopo plutonio 239. Después de pasar 15 años, 0.043% de la cantidad inicial A 0 del plutonio se ha desintegrado. Calcule el período de semidesintegración de este isótopo. Solución: Sea A(t) la cantidad de Plutonio en el tiempo t. La ED es La solución es A(t) = A 0 e kt. Si 0.043% de A 0 se han desintegrado, queda %. Período de semidesintegración del plutonio Entonces, A 0 = A(15) = A 0 e 15k, luego k = (ln )/15 = Sea A(t) = A 0 e t = ½ A 0 En este caso tenemos

7 Un hueso fosilizado contiene 1/1000 de la concentración de C-14 que se encuentra en la materia viva. Determine la edad del fósil. Solución: Sabemos que el período de semidesintegración p del C-14 es 5600 años. Entonces A 0 /2 = A 0 e 5600k, k = (ln 2)/5600 = A(t) = A 0 /1000 = A 0 e t Fechado con carbono

8 La ley de Newton del enfriamiento/calentamiento Si T(t) representa la temperatura de un cuerpo en el tiempo t y T m la temperatura del medio, entonces la rapidez con que un cuerpo se enfría o calienta es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente T m : dT/dt T - T m dT/dt = k(T - T m ) donde k es una constante de proporcionalidad, el coeficiente de transmisión de calor que depende del material. a) Verificar que la solución general de la ED es: b) Si K = 0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse una taza de café hirviendo si la temperatura ambiente es de T a =15°C ? c) Dibujar la familia de curvas solución para diferentes temperaturas iniciales T 0 de la taza de café.

9 La temperatura de un pastel es 300 F. Tres minutos más tarde su temperatura es 200 F. ¿Cuánto tarda el pastel en alcanzar una temperatura ambiente de 70 F? Solución: Se hace la identificación T m = 70, luego y T(3) = 200.

10 Para T(0) = 300, c 2 = 230 Para T(3) = 200, e 3k = 13/23, k = AsíT(t) = e t A partir de (5), sabemos que sólo para t =, T(t) = 70. Esto significa que necesitamos un período de tiempo razonablemente largo para llegar a T = 70.

11 Propagación de una enfermedad Si x(t) representa el número de personas que se han contagiado de una enfermedad e y(t) el número de personas que todavía no, entonces dx/dt = kxy donde k es una constante de proporcionalidad. Por la descripción anterior, imagínese una comunidad con una población fija n, si se introduce en esta comunidad una persona infectada, tenemos x + y = n +1, y dx/dt = kx(n + 1 – x)

12 Reacciones Químicas Observe al siguiente reacción: CH 3 Cl + NaOH CH 3 OH + NaCl Si asumimos que x(t) es la cantidad de CH 3 OH a timpo t, y son las cantidades de los reactivos, entonces la velocidad de reacción es dx/dt = k( - x)( - x)

13 Reacciones Químicas (8) o (9)

14 La reacción química se describe como entonces Por separación de variables y fracciones parciales: Para X(10) = 30, 210k = , finalmente

15 Mezclas Si A(t) representa la cantidad de sal en el tanque en tiempo t, entonces dA/dt = velocidad de entrada – velocidad de salida = R entrada - R salida Tenemos R entrada = 6 lb/min, R salida = A(t)/100 (lb/min), entonces dA/dt = 6 – A/100 ó dA/dt + A/100 = 6

16 ¿Cuánta sal queda en el depósito tras pasar un período de tiempo largo? Solución: Como Para x(0) = 50, tenemos x(t) = e -t/100 Cuando el tiempo t es bastante grande, x(t) = 600.

17 Drenaje de un Tanque Basándonos en la Ley de Torricelli, si V(t) representa el volumen de agua en el tanque en tiempo t: Como V(t) = A w h, entonces:

18 Circuitos en Serie A partir de la Segunda Ley de Kirchhoff tenemos: donde q(t) es la carga y dq(t)/dt = i(t) es la intensidad de corriente.

19 Circuitos en serie

20 Supongamos E(t) = 12 Volt, L = ½ Henry R = 10 Ohm. Determine i(t) donde i(0) = 0. Solución: Luego Para i(0) = 0, c = -6/5, entonces i(t) = (6/5) – (6/5)e -20t.

21 Una solución general de es Cuando E(t) = E 0 es una constante, la solución se convierte en donde al primer término se conoce como la parte de estado estable, y el segundo termino es un término transitorio.

22 Modelos no lineales Dinámica de poblaciones Si P(t) representa el de una población en el tiempo t, la rapidez de crecimiento relativo (o específico), está definida por Cuando la rapidez de crecimiento solo depende de la cantidad presente, la ED es que se llama hipótesis de dependencia de de densidad.

23 Si K es la capacidad de soporte, tenemos f(K) = 0, y simplemente se permite que f(0) = r. La siguiente figura muestra tres funciones que satisfacen estas dos condiciones. Ecuación logística

24 Suponemos que f (P) = c 1 P + c 2. Empleando las condiciones, tenemos c 2 = r, c 1 = r/K. Luego nuestra ec. pasa a ser, lo mismo que a la que se conoce como ecuación logística, su solución se llama función logística y su gráfica, curva logística.

25 A partir tras una simplificación, tenemos Solución de la ecuación logística Si P(0) = P 0 a/b, entonces c 1 = P 0 /(a – bP 0 )

26 Gráfica de P(t) De (5), tenemos la gráfica como en la Fig Cuando 0 < P 0 < a/2b, Fig. 2.47(a). Cuando a/2b < P 0 < a/b, Fig. 2.47(b).

27 Teniendo en cuenta conclusiones previas, imagínese un campus de 1000 estudiantes, en este caso tenemos la ED Determine x(6). Solución: Identificamos a = 1000k, b = k, de (5)

28 Como x(4) = 50, -1000k = , así x(t) = 1000/( e t )

29 Modificación de la ecuación logística que se conoce como ED de Gompertz.

30 Observación: En cuanto al ejemplo 1, P(t) es una función continua. Sin embargo, esto debería estar descartado teniendo en cuenta que el modelo matemático no es real. Fig

31 Fig. 2.41

32 Caída de los cuerpos A parir de la primera ley de Newton tenemos Problema de valor inicial

33 Caída de los cuerpos y la resistencia del aire Tenemos la ED: y puede escribirse como:

34 Deslizamiento de cadena Tenemos: ó

35 Cables suspendidos dy/dx = W/T 1

36 Modelos Lineales: PVI

37 donde = k/m. Movimiento armónico simple o libre no amortiguado La solución general es Período T = 2 /, frecuencia f = 1/T = /2.

38 Forma alternativa para x(t) Podemos escribir la solución también como x(t) = A sen( t + ) donde y es la fase,

39

40 es una constante de amortiguamiento positiva. Luego x(t) + ( /m)x + (k/m)x = 0 puede ponerse como donde 2 = /m, 2 = k/m La ecuación auxiliar es m m + 2 = 0, y las raíces son Movimiento libre amortiguado

41 2 – 2 > 0. Sea entonces Se dice que es sobreamortiguado. Caso 1:

42 Caso 2: 2 – 2 = 0. Luego Se dice que es críticamente amortiguado.

43 2 – 2 < 0. Sea entonces Se dice que es subamortiguado. Caso 3: Alternativa:

44 Movimiento forzado con amortiguamiento

45 Interprete y resuelva (26) Solución: Interpretación: m = 1/5, k = 2, = 1.2, f(t) = 5 cos 4t La masa se libera inicialmente desde el reposo ½ abajo de la posición de equilibrio Solución: Ejemplo 6

46 Suponiendo x p (t) = A cos 4t + B sen 4t, tenemos A = 25/102, B = 50/51, entonces Usando x(0) = 1/2, x(0) = 0 c 1 = 38/51, c 2 = 86/51, (28) Ejemplo 6 (2)

47 Términos Transitorio y de Estado Estable Gráfica de (28) se muestra en la Fig x c (t) se desvanece cuando t : término transitorio x p (t) permanece cuando t : término de estado estable

48 Fig 3.29

49 La solución de es Fig Ejemplo 7

50 Fig 3.30

51 Resolver donde F 0 es una constante y. Solución: x c = c 1 cos t + c 2 sen t Sea x p = A cos t + B sen t, tras la sustitución, A = 0, B = F 0 /( 2 2 ), Ejemplo 8

52 Como x(0) = 0, x(0) = 0, entonces Así (30) Ejemplo 8 (2)

53 Resonancia Pura Cuando =, consideramos el caso. (31)

54 Cuando t, los desplazamientos se vuelven largos De hecho, |x(t n )| cuando t n = n /, n = 1, 2, ….. Como se muestra en la Fig 3.31, se dice que es una resonancia pura.

55 Fig 3.31

56 La siguiente ecuación es la ED de movimiento forzado con amortiguamiento: (32) Si i(t) denota la corriente en Fig 3.32, entonces (33) Como i = dq/dt, tenemos (34) Circuitos LRC en Serie

57 Fig 3.32

58 Hallar q(t) en la Fig 3.32, donde L = henry, R = 10 ohm, C = farad, E(t) = 0, q(0) = q 0 coulombs, y i(0) = 0 ampere. Solución: Usando los datos: Como se ha descrito antes, Usando q(0) = q 0, i(0) = q(0) = 0, c 1 = q 0, c 2 = q 0 /3 Ejemplo 9

59 Encuentre al solución de estado estable q p (t) y la coriente de estado estable, when E(t) = E 0 sen t. Solución: Sea q p (t) = A sen t + B cos t, Ejemplo 10

60 Si Usando el método similar, obtenemos So Observación: X y Z se denominan reactancia y impedancia, respectivamente. Ejemplo 10 (2)

61 3.9 Modelos Lineales: PVF Deflexión de una viga Momento de flexión M(x) en un punto x a lo largo de la viga está relacionado con la carga por unidad w(x) mediante la ecuación (1) Además, M(x) es proporcional a la curvatura de la curva elástica M(x) = EI (2) donde E, I son constantes.

62 Del cálculo, tenemos y, donde deflexión y(x) es pequeña. Finalmente tenemos (3) Entonces (4)

63 Terminología Extremos de la vigaCondiciones en la frontera empotradosy = 0, y = 0 libresy = 0, y = 0 apoyados simplemente o abisagrados y = 0, y = 0 Fig 3.41

64

65 Una viga de longitud L se fija en ambos extremos. Hallar la deflexión de la viga si una carga constante w 0 está uniformemente distribuida a lo largo de su longitud, esto es, w(x)= w 0, 0 < x < L Solución: De (4) tenemos Extremos empotrados significa Tenemos m 4 = 0, y c (x) = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x 3, y Ejemplo 1

66 Ejemplo 1 (2) Entonces Usando las condiciones de la frontera, tenemos c 1 = 0, c 2 = 0, c 3 = w 0 L 2 /24EI, c 4 = w 0 L/12EI Eligiendo w 0 = 24EI y L = 1, tenemos Fig 3.42.

67 Fig 3.42

68 Resolver Solución: Caso 1 : = 0 y = c 1 x + c 2, y(0) = c 2 = 0, y(L) = c 1 L = 0, c 1 = 0 luegoy = 0, solución trivial. Caso 2 : 0 Escogiendoy = c 1 Ch x + c 2 Sh x y(0) = 0, c 1 = 0; y(L) = 0, c 2 = 0 luegoy = 0, solución trivial. Ejemplo 2

69 Caso 3 : > 0, = 2, > 0 Escogiendoy = c 1 cos x + c 2 sen x y(0) = 0, c 1 = 0; y(L) = 0, c 2 sin L= 0 Si c 2 = 0, y = 0, solución trivial. Así que c 2 0,sen L = 0, L = n, = n /L Así, y = c 2 sen (n x/L) es una solución para cada n. Ejemplo 2 (2)

70 Tomando c 2 = 1, para cada: la función correspondiente: Observación: n = (n /L) 2, n = 1, 2, 3, … se conocen como valores propios. y n = sen (n x/L) se llaman funciones propias. Ejemplo 2 (3)

71 Pandeo de una Columna Vertical Delgada En cuanto a la Fig 3.43, la ED es (5) donde P es una fuerza compresiva vertical constante aplicada en la parte superior de la columna.

72 Fig 3.43

73 En cuanto a la Fig 3.43, cuando la columna se fija con bisagras en ambos extremos, hallar la deflexión. Solución: El PVF es Intuitivamente, si la carga P no es suficientemente grande, no hay deflexión. La pregunta es: ¿para qué valores de P el PVF posee soluciones no triviales? Ejemplo 3

74 Escribiendo = P/EI, vemos es idéntica al ejemplo 2. Del Caso 3, las curvas de deflexión son y n = c 2 sen (n x/L), que corresponden a los valores propios n = P n /EI = n 2 2 /L 2, n = 1, 2, 3, … Desde el punto de vista físico, solo para P n = EIn 2 2 /L 2, la columna experimenta flexión. Llamamos a estas P n las cargas críticas y la más pequeña P = P 1 = EI 2 /L 2 se llama la carga de Euler, y y 1 = c 2 sen( x/L) se conoce como primer modo de pandeo. Fig 3.44 Ejemplo 3 (2)

75 Fig 3.44

76 Cuerda Rotatoria La ED simple y + y = 0(6) ocurre una y otra vez como un modelo matemático. Fig 3.45.

77 Fig 3.45

78 tenemos F = T sen 2 – T sen 1 (7) Cuando 1 y 2 son pequeños, sen 2 tan 2, sen 1 tan 1 Como tan 2, tan 1 son tangentes de las rectas que contienen a los vectoresT 1 y T 2, entonces tan 2 = y(x + x), tan 1 = y(x) Así (7) pasa a ser (8) Porque F = ma, m = x, a = r 2. Con x pequeño, obtenemos r = y.

79 Así (9) Al igualndo (8) = (9), tenemos (10) Para x cercano a cero, tenemos (11) Y las condiciones en la frontera son y(0) = y(L) = 0.

80 3.10 Modelos No Lineales Resortes no lineales El modelo (1) cuando F(x) = kx se dice que es lineal. Sin embargo, (2) es un resorte no lineal. Otro modelo (3)

81 F(x) = kx + k 1 x 3 se dice que es duro si k 1 > 0; y es suave, si k 1 < 0. Fig Resortes Duros y Suaves Fig 3.50

82 Ejemplo 1 Las EDs (4) y (5) son casos especiales de(2). Fig3.51 muestra la gráfica obtenida de un programa de solución numérica.

83 Fig 3.51

84 El modelo de un péndulo simple se representa en la Fig De la figura, tenemos la aceleración angular a = s = l, la fuerza Luego (6) Péndulo No Lineal

85 Fig 3.52

86 Como Si empleamos solo los dos primeros términos, Si es pequeño, (7) Linealización

87 Fig 3.53 muestra algunos resultados con condiciones iniciales diferentes obtenidos con un programa de solución numérica. Podemos observar que si la velocidad inicial es bastante grande, el péndulo se saldrá de los límites. Ejemplo 2

88 Fig 3.53

89 Recordando (17) de la Sec 1.3 y Fig 1.26 dy/dx = W/T 1, puede modificarse como (8) donde es la densidad y s es la longitud del arco. Como la longitud s es (9) Cables Telefónicos

90 entonces (10) Al derivar (8) con respecto a x y usando (10), obtenemos (11)

91 Ejemplo 3 De la Fig 1.26, obtenemos y(0) = a, y(0) = 0. Sea u = y, la ecuación (11) se convierte en Así Ahora y(0) = u(0) = 0, sinh -1 0 = 0 = c 1 Como u = sinh( x/T 1 ) = dy/dx, entonces Usando y(0) = a, c 2 = a (T 1 / )

92 De la Fig 3.54, tenemos (12) cuando y = R, kMm/R 2 = Mg, k = gR 2 /M, entonces (13) Movimiento de un Cohete

93 Fig 3.54

94 Suponiendo que la masa es variable, F = ma debería modificarse como (14) Masa Variable

95 Ejemplo 4 Una cadena uniforme de 10 pies de largo se enrolla sin tensión sobre el suelo. Un extremo de ella cadena se jala verticalmente hacia arriba por medio de una fuerza de 5 libras. La cadena pesa 1 libra por pie. Determine la altura del extremo sobre el nivel del suelo en el instante t. Solución: Seax(t) = la altura v(t) = dx/dt (velocidad) W = x 1 = x (peso) m = W/g = x/32 (masa) F = 5 – W (fuerza neta)

96 Entonces (15) Como v = dx/dt (16) es de la forma F(x, x, x) = 0 Como v = x, y luego (15) pasa a ser (17) Ejemplo 4 (2)

97 Escribiendo (17) como (v 2 +32x – 160) dx + xv = 0(18) (18) puede multiplicarse por un factor de integración para transformarse en exacta, donde podemos encontrar que le factor de integración es es (x) = x (compruébese). Luego Use el método de la Sec. 2.4 (19) Como x(0) = 0, entonces c 1 = 0. Resolviendo (19) = 0, para v = dx/dt > 0, obtenemos Ejemplo 4 (3)

98 Compruebe que (20) Usando x(0) = 0 de nuevo,, elevamos al cuadrado ambos lados de (20) y resolvemos para x (21) Ejemplo 4 (4)

99 3.11 Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Muelle conectado/Sistema de masas De la Fig 3.58 y la Ley de Newton (1)

100 Fig 3.58

101 Método de Solución Considere dx/dt = 3y, dy/dt = 2x ó Dx – 3y = 0, 2x – Dy = 0(2) Entonces, multiplicando la primera por D, la segunda por 3, y eliminando la y, se obtiene D 2 x – 6x =0 (3) Un método similar puede proporcionar (4)

102 Volviendo las ecuaciones originales, dx/dt = 3y tras la simplificación, tenemos (5)

103 Resolver Dx + (D + 2)y = 0 (D – 3)x – 2y = 0(6) Solución: Multiplicando la primera por D – 3, la segunda por D, y restando, [(D – 3)(D + 2) + 2D]y = 0 (D 2 + D – 6)y = 0 luego y(t) = c 1 e 2t + c 2 e -3t (7) Ejemplo 1

104 Usando el método similar, x(t) = c 3 e 2t + c 4 e -3t (8) Sustituyendo (7) y (8) en la primera ecuación de (6), (4c 1 + 2c 3 )e 2t + (c 2 – 3c 4 )e 3t = 0 Luego 4c 1 + 2c 3 = 0 = c 2 – 3c 4 c 3 = –2c 1, c 4 = – c 2 Ejemplo 1 (2)

105 Ejemplo 2 Resolverx – 4x + y = t 2 x + x + y = 0(9) Solución: (D – 4)x + D 2 y = t 2 (D + 1)x + Dy = 0(10) Eliminando x, entonces y m = 0, 2i, 2i Sea podemos obtener A = 1/12, B = ¼, C = 1/8.

106 Así (11) Método similar para obtener x(t) Entonces m= 2i, 2i, Sea x p (t) = At 2 + Bt + C, luego podemos obtener A = 1/4, B = 0, C = 1/8 Ejemplo 2 (2)

107 Así (12) Usando la segunda ecuación de (9), tenemos Ejemplo 2 (3)

108 Ejemplo 3 En (3) de Sec. 2.9, tenemos Junto con las condiciones iniciales dadas, podemos usar el mismo método para obtener x 1 y x 2, no mencionados aquí.

109 Resolver (13) con Solución: Luego Ejemplo 4

110 Ejemplo 4 (2) Usando el mismo método, tenemos (14)

111 Fig 3.59


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