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3. Determinar el número de raíces de la ecuación Respuesta. en el semiplano con Re(z) > 0. -iR iR Im (z) Re (z) Se supone que:

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8 3. Determinar el número de raíces de la ecuación Respuesta. en el semiplano con Re(z) > 0. -iR iR Im (z) Re (z) Se supone que:

9 En el segmento [-iR,iR]: En el arco C R : Re(z) = x > 0 Para valores grandes de R que cumplen que R > λ + 1, se cumple que |g(z)| > |h(z)|

10 En el contorno Γ: |g(z)| > |h(z)| f y g tienen el mismo número de ceros en el semiplano Re(z) > 0 (R) g tiene un cero en Re(z) > 0 λ – z – e -z = 0 tiene una raíz en Re(z) > 0

11 4. Obtener el número de raíces de la ecuación donde, en el círculo Examen SEPTIEMBRE 02/03: P-1

12 2. Determinar el número de ceros con sus multiplicidades que tiene el polinomio complejo en el disco anular

13 3. Obtener el número de ceros de la ecuación 3z 4 + 7z 3 – z + 2 = 0 en el interior del disco centrado en el origen y de radio unidad. Respuesta. Recurriendo al teorema de Rouché: f = 7z 3 |f|<7 g = 3z 4 – z + 2 |g|<6 |f| > |g| nº de ceros de f = 3, es igual al nº de ceros de f + g. Por ello, la ecuación tiene en el disco 3 ceros.

14 d) Determinar el número de ceros con sus multiplicidades y con parte real no negativa que tiene el polinomio complejo: Respuesta. -iR iR Im (z) Al recorrer la semicircunferencia C R con R :

15 Parametrizando el segmento L R : z = it con t variando desde R a –R, se obtiene: Para dibujar aproximadamente esta curva en el plano w, buscamos los puntos más relevantes de la misma. Los cortes con los ejes son: - Eje real:

16 - Eje imaginario: v u La curva pasa por el origen, lo que se traduce en que P(z) tiene raíces imaginarias puras: t = ± 1 => z = ± i. Para aplicar el método de Nyquist el polinomio no puede tener ceros sobre el contorno, por lo que analizamos la existencia de raíces con parte real positiva del polinomio:

17 Al recorrer la semicircunferencia C R con R : Parametrizando el segmento L R : z = it con t variando desde R a –R, se obtiene:

18 Para dibujar aproximadamente esta curva en el plano w, buscamos los puntos más relevantes de la misma. - Los cortes con los ejes son: * Eje real: * Eje imaginario:

19 - Comportamiento en los extremos del segmento L R cuando R : * z = it con t +: * z = it con t -:

20 Dibujamos en el plano w el contorno resultante recorriéndolo desde t hasta t - y analizamos cómo varía el argumento: v u

21 Con todo:, luego el polinomio dado no tiene ninguna raíz con parte real positiva. En definitiva, P(z) tiene dos raíces en el eje imaginario (z = ±i) y ninguna que cumpla Re(z) > 0.

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