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1 6. Series. 2 Sucesiones Veamos un ejemplo de sucesión compleja: {1 + i n }: Si lim n z n = L, decimos que la sucesión es convergente.

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1 1 6. Series

2 2 Sucesiones Veamos un ejemplo de sucesión compleja: {1 + i n }: Si lim n z n = L, decimos que la sucesión es convergente.

3 3 Otro ejemplo: la sucesión converge.

4 4 Una sucesión {z n } de números complejos z n = x n + iy n converge a c = a + i b sii la sucesión de partes reales {x n } converge a a y la sucesión de partes imaginarias {y n } converge a b. Por tanto la convergencia z n c implica quex n a, y n b. Demostración ( ): Si |z n -c| <, con z n = x n + iy n entonces dentro de un círculo de radio, para c = a + i b se cumple que: |x n -a| <, |y n -b| < y x a a+ a- b- b+ b znzn c Límite de una sucesión

5 5 Demostración ( ): Igualmente, si x n a y y n b cuando n, entonces para un >0 dado, podemos hallar un N suficientemente grande tal que para n> N se cumpla que: |x n -a| < /2, |y n -b| < /2 con lo que z n = x n +iy n estará contenido en un cuadrado de centro c y lado. De modo que z n estará contenido en un círculo de radio y centro c. x a a+ a- b- b+ b znzn c b+ /2 b- /2 a+ /2a- /2 y

6 6 Ejemplos: (1)La sucesión { i n /n} = {i, -1/2, -i/3, 1/4,......} es convergente y límite es 0. (2) La sucesión {i n } = {i, -1, -i, 1,....} es divergente. (3) La sucesión {z n } con z n = (1+i) n es divergente. {z n } = { 1+i, 2i, -2+2i, -4, -4-4i,....} (4) La sucesión {z n } con z n = 2-1/n + i(1+2/n) es convergente. {z n } = { 1+3i, 3/2+2i, 5/3+5i/3, 7/4+3i/2,....} El límite cuando n es c = 2+i (y |z n -c| = |-1/n+2i/n| = 5/n 5/ ) Diremos que una sucesión {z n } es convergente sii: lim z n = c. Una sucesión divergente significa que no converge. n

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8 8 La sucesión converge a i. Observa que Re(i) = 0 y Im(i) = 1. Entonces:

9 9 Sea,donde Si,entonces Igual que hemos hecho mención a la parte real e imaginaria para la convergencia de la sucesión, podemos hablar del módulo y el argumento. Así:

10 10 Sea por ejemplo la sucesión de términos: El módulo converge a: Y el argumento a: Por tanto la sucesión converge a:

11 11 Series Dada una sucesión {z n }, una serie infinita o serie se puede formar a partir de una suma infinita: La sucesión de sumas: s 1 = z 1 s 2 = z 1 + z 2 s 3 = z 1 + z 2 + z s n = z 1 + z z n es la sucesión de sumas parciales de la serie infinita. Los z 1, z 2,..... son denominados términos de la serie.

12 12 Series convergentes Una serie convergente es aquella tal que la sucesión de sumas parciales converge, i.e.: donde s es la suma o valor de la serie y se expresa: Una serie divergente es aquella que no converge. Llamaremos resto R n de la serie a: Si la serie converge y suma s, entonces

13 13 (1)Una serie con z m = x m +iy m converge con suma s = u+iv sii u = x 1 +x converge y v = y 1 +y converge. (2) Si una serie z 1 + z converge, entonces En caso contrario, la serie diverge. (3) Que {z m } 0 es condición necesaria para la convergencia, pero no suficiente. Recuerda que para la serie harmónica 1+ ½ +1/ el término 1/n 0 cuando n tiende a infinito, pero la serie diverge. Ejercicios: Demostrar que

14 14 Serie geométrica Para la serie geométrica: el término enésimo de la sucesión de sumas parciales es: Observa que z n 0 cuando n para |z| < 1, en cuyo casi S n converge a a/(1 – z). La serie diverge para |z| 1.

15 15 Ejemplo: es una serie geométrica con a = (1 + 2i)/5 y z = (1 + 2i)/5. Puesto que |z| < 1, tenemos que:

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17 17 Teorema de Cauchy para series. Una serie z 1 + z es convergente sii dado cualquier >0 podemos hallar un N tal que |z n+1 +z n z n+p | < para todo n > N y p =1, 2... Convergencia absoluta. Una serie z 1 + z es absolutamente convergente si la serie de los valores absolutos de sus términos |z m | = |z 1 | + |z 2 | m=1 es convergente. Si z 1 + z converge pero |z 1 |+ |z 2 | diverge, la serie z 1 +z es condicionalmente convergente. Ejemplo: La serie 1 - 1/2 + 1/3 - ¼ +... converge condicionalmente. Si una serie es absolutamente convergente es convergente

18 18 ¿Es la serie convergente? Es absolutamente convergente, puesto que |i k /k 2 | = 1/k 2 y la serie real es convergente. De modo que la serie original es convergente.

19 19 Comparación de series: Si dada una serie dada z 1 + z , podemos hallar una serie convergente b 1 + b con términos reales no negativos tal que |z n | b n para todo n = 1, 2,...entonces la serie dada converge, incluso absolutamente. (Ejercicio: demostrarlo) Criterio del cociente: Si una serie z 1 + z con z n 0 (n = 1, 2,...) cumple que |z n+1 /z n | q N, con un q dado para cualquier N) la serie converge absolutamente. En cambio si |z n+1 /z n | 1 ( n > N) la serie diverge. (Ejercicio: demostrarlo)

20 20 Si tenemos una serie z 1 + z con z n 0 (n = 1, 2,..) tal que Entonces se cumple que: a)Si L < 1 la serie converge absolutamente. b)Si L > 1 diverge. c)Si L = 1 no sabe, no contesta. (Ejercicio: demostrarlo) Dado ¿Es S convergente o divergente? Converge.

21 21 Criterio de la raíz: Si una serie z 1 + z cumple que para todo n > N n |z n | q < 1 (n < N) donde q<1 está fijado, la serie converge absolutamente. Si para infinitos n se cumple que: n |z n | 1, la serie diverge. Entonces, si una serie z 1 +z cumple que para todo n > N lim n |z n | = L n entonces: a)Si L < 1 la serie converge absolutamente b)Si L > 1 diverge c)Si L = 1 no podemos extraer conclusiones

22 22 Dado ¿Es S convergente? Como el límite es mayor que 1, la serie diverge. La serie geométrica converge con suma 1/(1-q) si |q| < 1 y diverge para otros valores. Ejercicio: demostrar que

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26 26 Números primos (parte I)

27 27 ¿Qué es un número primo? "primo" = "de base" Un entero mayor que uno se llama número primo si solo tiene como divisores a 1 y a él mismo.

28 28 Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de las que espero convencerles tan fuertemente que queden permanentemente grabadas en sus corazones. La primera es que, a pesar de su sencilla definición y de su papel como ladrillos en la construcción de los números naturales, los números primos pertenecen a la clase más arbitraria y perversa de los objetos estudiados por los matemáticos: crecen como malas hierbas entre los números naturales, parecen no obedecer otra ley que las del azar, y nadie puede predecir donde brotará el siguiente. El segundo hecho es incluso más sorprendente, pues afirma justo lo contrario: que los números primos exhiben sorprendentes regularidades, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi militar. Don Zagier, "The first 50 million primes" Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19

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30 30 El teorema fundamental de la aritmética muestra que los primos son los ladrillos básicos con los que están construidos los enteros. Dice: Todo entero positivo mayor que uno puede ser escrito de forma única como el producto de primos, con los factores primos en el producto en orden de tamaño no decreciente. (Euclides, Elementos). El teorema fundamental de la aritmética

31 31 (a) n! y (n! + 1) no tienen factores comunes. (b) O bien (n! + 1) es primo o bien es factorizable: (b.1) Si (n! + 1) es primo queda demostrada la afirmación. (b.2) Si (n! + 1) puede descomponerse en factores, por (a) ninguno de ellos puede dividir a n! De modo que cualquier factor de (n! + 1) estará entre n y (n! + 1). (b.2.1) Si el factor es primo queda demostrada la afirmación. (b.2.2) Si el factor no es primo, entonces por el mismo argumento (b.2), será mayor que n y podemos volver a descomponerlo hasta encontrar finalmente un primo mayor que n. ¿Cuántos primos existen? Euclides demostró que siempre existe al menos un primo entre n y (n! + 1) de la siguiente manera:

32 32 Por ejemplo, hay nueve primos entre y : Pero entre los cien enteros siguientes, desde a , hay solo dos: y Ausencia aparente de un patrón regular en la secuencia de números primos

33 33 Los matemáticos griegos probaron, alrededor del 300 antes de nuestra era, que existen infinitos primos y que están espaciados de manera irregular, es decir que la distancia entre dos primos consecutivos puede ser arbitrariamente larga.

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35 35 The Counting Prime Function Así los primos menores o iguales a 25 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23 de modo que (25) = 9. "¿Cuántos primos menores que un número x hay?"

36 36 La distribución de números primos parece ser aleatoria. Por ejemplo, hay probablemente infinitos primos gemelos y existen gaps arbitrariamente largos entre primos.

37 37 "It is evident that the primes are randomly distributed but, unfortunately we don't know what 'random' means". R.C. Vaughan

38 38 Sin embargo, la función π(x) exhibe un sorprendente "buen comportamiento". "Here is order extracted from confusion, providing a moral lesson on how individual eccentricities can exist side by side with law and order". The Mathematical Experience by Philip J Davis & Reuben Hersh

39 39 "For me, the smoothness with which this curve climbs is one of the most astonishing facts in mathematics." Don Zagier, "The first 50 million primes" Mathematical Intelligencer, 0 (1977) 1-19

40 40 n (n)n/ (n) ,0001, ,0009, ,000,00078, ,000,000664, ,000,0005,761, ,000,000,00050,847, ,000,000,000455,052, Observemos que cuando pasamos de un orden de magnitud al siguiente el cociente n/ (n) se incrementa aproximadamente 2.3. Sabiendo que Ln 10 = Gauss formuló la conjetura de que (n) es aproximadamente igual a n/Ln n = 2.3

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42 42 En 1798 Legendre publica la primera conjetura significativa sobre la forma funcional de (x), cuando en su libro Essai sur la Théorie des Nombres escribe que: Legendre

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44 44 Zagier en su artículo dice al respecto: "within the accuracy of our picture, the two coincide exactly." The logarithmic integral function Li(x)

45 45 Se sabe que Li(x) no es siempre mayor que (x), pero eso ocurre por primera vez ¡alrededor de !

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47 47 Antes de la existencia de los ordenadores...Tablas de D. N. Lehmer: primos hasta

48 48 reference 14antiquity 225L. Pisano (1202; Beiler) 3168F. van Schooten (1657; Beiler) 41229F. van Schooten (1657; Beiler) 59592T. Brancker (1668; Beiler) A. Felkel (1785; Beiler) J. P. Kulik (1867; Beiler) Meissel (1871; corrected) Meissel (1886; corrected) Lehmer (1959; corrected) Bohmann (1972; corrected) Lagarias et al. (1985) Lagarias et al. (1985) Lagarias et al. (1985) M. Deleglise and J. Rivat (1994) M. Deleglise (June 19, 1996) M. Deleglise (June 19, 1996) M. Deleglise (June 19, 1996) project (Dec. 2000) P. Demichel and X. Gourdon (Feb. 2001) 23 Prime Counting Function -- from Wolfram MathWorld.htm

49 49 El número de primos que no excede a x es asintótico a x/log x. En otras palabras, la probabilidad de que "un número x escogido al azar sea primo es 1/log x". El teorema de los números primos: En 1896, de la Valee Poussin y Hadamard probaron simultáneamente lo que se había sospechado durante mucho tiempo, el teorema de los números primos:

50 50 El teorema nos dice que x/log x es, hasta cierto punto, una buena aproximación a π(x). Al decir que "a(x) es asintótico a b(x)" o "a(x) ~ b(x)" decimos que el límite de a(x)/b(x) es 1 cuando x tiende a infinito. Pero, observemos que a(x) ~ b(x) no significa que a(x) - b(x) sea pequeño.

51 51 x (x) x/log xx/(log x -1) El teorema de los números primos implica que podemos usar x/(log x - a) (con cualquier constante a) para aproximar (x). Chebychev demostró que la mejor elección era a = 1.

52 52 Que Li(x) sea asintótica con (x) es impresionante, pero lo que nos gustaría es estimar (x) lo mejor posible. Es decir, si nos gustaría conocer este error E(x) lo más exactamente posible. Y eso nos lleva al problema más famoso de la matemática...

53 53 Euler la llamó función zeta en Consideró que s era un real mayor que 1. La función zeta ζ(s)

54 54 Repitamos la operación para el siguiente primo: 3.

55 55 Producto de Euler para la función zeta. Euler utilizó esta identidad para demostrar que i.e., existen infinitos primos.

56 56 Series de Taylor en variable real: Es fácil ver por qué el radio de convergencia es |x|<1. Pero, en este caso: ¿cuál es el motivo? Retomemos nuestro hilo...

57 57 ¿Podemos expandir cualquier función compleja en series? Podemos expandir funciones analíticas en unas series especiales llamadas series de potencias ¿Cómo hallar esas series ? (1) Usando el Teorema de Taylor (2) Usando otras series conocidas (y algunos trucos)

58 58 Serie de potencias coeficientes complejos centro de desarrollo P.ej. Una serie de potencias en es:

59 59 Convergencia de series de potencias Las series de potencias en general convergen para algunos valores de z, y para otros. Por ejemplo la serie converge para |z |< 1, pero diverge para |z |1. Fuera del círculo de convergencia la serie de potencias diverge. Círculo de convergencia: mayor círculo centrado en z 0 en el que la serie de potencias converge. (Serie geométrica) Radio de convergencia R =1

60 60 La serie diverge para todo z (excepto z = 0) Ejemplos: La serie converge para todo z Radio de convergencia infinito; R = Radio de convergencia cero; R = 0

61 61 : converge (1)La serie de potencias siempre converge para z = z o (2) Hay un radio de convergencia R para el cual: : diverge Los valores z tq. pueden converger o no

62 62 El radio de convergencia R puede ser: (i) cero (converge solo en z = z 0 ). (ii) un número finito R (converge en todos los puntos del círculo |z z 0 | < R). (iii) (converge para todo z). La serie de potencias puede converger en algunos, todos o ninguno de los puntos de la circunferencia de convergencia. Hay que determinarlo por separado. En resumen:

63 63 ¿Hay una forma rápida para hallar el radio de convergencia? La fórmula de Cauchy-Hadamard : (i) R = 1/L. (ii) R es. (iii)R = 0.

64 64 Ejemplo:

65 65 : converge : diverge

66 66 Ejemplo: : converge : diverge

67 67 Ejemplo: : converge : diverge

68 68 El radio de convergencia es. Otro ejemplo:

69 69 Recuerda además que todo lo dicho para series, evidentemente funciona para series de potencias. Por ejemplo: (1) Sila serie diverge. (2) Sila serie diverge. (3) Comparar: (4) Si la serie diverge.

70 70 El test de la raíz nos muestra que R = 1/3. El círculo de convergencia es |z – 2i| = 1/3. La serie converge absolutamente para: |z – 2i| < 1/3.

71 71 Resumen y varios comentarios interesantes: (Observa que para nosotros era: En el punto iv se resuelve el enigma)

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75 75 Series de Taylor

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78 78 Series de potencias y funciones analíticas Cualquier función analítica f (z) puede ser representada por una serie de potencias con radio de convergencia R 0. La función representada por la serie es analítica en todo punto dentro del radio de convergencia. Ejemplo: la serie converge para |z|1 Radio de convergencia R = 1

79 79 A las series de potencias que representan funciones analíticas f (z) se les llama series de Taylor. (Cauchy, 1831) ¿Cómo encontrar la serie de potencias de una función analítica determinada? Vienen dadas por la fórmula:

80 80 Desarrollar f(z)=sin z alrededor de z 0 =0 (serie de Mclaurin):

81 81 Demostración del teorema de Taylor: x y Por la fórmula integral de Cauchy: Vamos a desarrollar el integrando:

82 82 Utilizando la fórmula generalizada de Cauchy:

83 83 Donde hemos definido el residuo R n : Observemos que: Si M es el valor máximo que puede alcanzar sobre C 1 : Y puesto que r/r 1 < 1, el límite cuando N tiende a infinito del residuo es cero. De modo que para cada z interior a C 0, la serie de Taylor converge a f(z).

84 84 Brook Taylor ( ) En 1715 agregaba a las matemáticas una nueva rama llamada ahora El cálculo de lasdiferencias finitas, e inventó laintegración por partes. Descubrió la célebre fórmula conocida como laserie de Taylor. Taylor también desarrolló los principios fundamentales de la perspectiva (1715). James Gregory (1638 – 1675) descubrió las series de Taylor 40 años antes que Taylor...

85 85 Ejemplo: (1) Tomemos centro z = 0 : centro punto singular Encontrar la serie de Taylor para

86 86 (2) Tomemos centro z =1/2 : centro punto singular

87 87 Una función analítica f (z) puede ser representada mediante series de potencias con distintos centros z o (aunque hay únicamente una serie para cada centro). Hay por lo menos un punto singular en la circunferencia de convergencia

88 88 Ejemplo: con centro z = 0 centro ¡no hay puntos singulares!

89 89 Unicidad del desarrollo de Taylor Supongamos que f(z) es analítica y desarrollable alrededor de z 0, tq: ¿Existirá otra serie de potencias: Tomando z = z 0 en las expresiones anteriores: Son los mismos coeficientes del desarrollo de Taylor

90 90 Derivar la serie de Taylor directamente a partir de la fórmula puede ser complicado. Normalmente se usan otros métodos: (1) La serie geométrica (2) La serie binomial (3) Otras series conocidas como la exponencial, el coseno, etc.

91 91 Ejemplo: Expandir para z = 0 (usar la serie geométrica) Primero dibujamos el centro y los puntos singulares de f(z) para hacernos una idea: puntos singulares: Parece que el radio de convergencia es R=1. centro

92 92 Sabemos que Por tanto La serie geométrica converge para |z| <1 por tanto nuestra serie converge para |z| 2 <1 O lo que es lo mismo: para |z| <1. Y efectivamente el radio de convergencia es R = 1 como habíamos predicho.

93 93 Ejemplo: centro z = 1 Expandir para z = 1 (usar la serie geométrica) De nuevo dibujamos el centro y los puntos singulares de f(z): puntos singulares: Parece que el radio de convergencia es R = 1/2

94 94 por tanto Sabemos que La serie geométrica converge para |z | <1, por tanto nuestra serie converge para |2(z-1)|<1 es decir, para |z -1| < 1/2.

95 95 Encuentra la serie de Maclaurin de la función:

96 96 Ejemplo: Centro z = 0 Expandir para z = 0 Punto singular: (Usar la serie binomial) Centro y puntos singulares R = 1:

97 97 La serie binomial es: Por tanto: La serie binomial converge para |z | < 1 Por tanto nuestra serie converge para |-z | <1 Es decir |z | < 1. es singular en z = -1

98 98 Ejemplo: Expandir en z = 0 Centro z = 0 Puntos singulares: … el radio de convergencia debería ser R = 2.

99 99 Usaremos fracciones parciales: Ahora converge para

100 100 y converge para Así que converge para

101 101 Converge para |z|<4. hay convergencia en el área común Converge para |z|<2 Para:

102 102 Otras series útiles (Ejercicio: demostrar por la fórmula de Taylor)

103 103 Ejemplo: Expandir en z = 0 no hay puntos singulares … el radio de convergencia debería ser R =. Usando la serie (de uso de series conocidas)

104 104 Ejemplo:

105 105 De otra manera:

106 106 En algunos casos excepcionales, un punto singular puede incluso aparecer dentro del círculo de convergencia. Recordemos que el Ln z es singular (no analítico) sobre el eje negativo. Centro

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115 115 Una serie de potencias puede diferenciarse término a término en cu círculo de convergencia

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117 117 Ejercicio: Obtener el desarrollo de Taylor de la función f(z) = 1/z alrededor de z 0 = 1. Respuesta: Ejercicio: Diferenciando la serie anterior obtener el desarrollo de Taylor de la función g(z) = 1/z 2 alrededor de z 0 = 1.

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119 119 Ejercicio: Obtener la serie de Maclaurin de la función seno integral (se trata de una función que aparece con frecuencia en problemas de radiación electromagnética y que no es posible evaluar en términos de funciones elementales): Observa que la serie de Taylor converge también para 0.

120 120 Integrando la serie término a término:

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124 124 Multiplicación de series Podemos multiplicar dos series de potencias término a término, y recolectar los términos con igual potencia para determinar una nueva serie de potencias, el producto de Cauchy de las dos series:

125 125 Ejemplo: Obtener mediante el producto de series, el desarrollo de Maclaurin de f(z) = e z /(1-z). Para |z| < 1, la condición más fuerte de las dos.

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133 133 De hecho, podemos definir las funciones elementales a partir de series de potencias. Por ejemplo:

134 134 Notemos que (a) siempre tenemos potencias positivas de (z-z 0 ). (b) la serie converge dentro de un disco. Como hemos visto podemos expandir una función analítica en serie de Taylor alrededor de un centro. Por ejemplo, Podemos expandir la misma función respecto a distintos centros. Por ejemplo:

135 135 Pero hay otro tipo de series que: (a) incluyen potencias negativas de (z-z 0 ) (b) convergen dentro de un anillo Tales series se llaman series de Laurent. Puntos singulares en z = 1, 2 Centro Ejemplo Converge para 1<|z|<2

136 136 Recordatorio: Singularidades aisladas Supongamos que z = z 0 es una singularidad de una función compleja f. El punto z 0 se llama singularidad aislada si existe un disco puntuado abierto 0 < |z – z 0 | < R en el que la función es analítica.

137 137 Si tomamos una función y dibujamos sus puntos singulares, podremos separar el plano complejo en distintas regiones de convergencia. La serie de Laurent siempre converge dentro de un anillo. Ejemplo centro Dentro del disco |z|<1 tenemos la serie de Taylor: centro En el anillo 1< |z| < tenemos la serie de Laurent:

138 138 Por supuesto, podemos tener distintos centros... Dentro de un disco |z+1| < 2 tenemos la serie de Taylor. En el anillo 2< |z+1|< tenemos la serie de Laurent. centro

139 139 El centro podría ser, incluso, el punto singular... centro z 0 =1 En este caso, la serie es válida para 0< |z-1|<, un disco con el punto singular z 0 =1 situado en el centro. En este caso, la serie está formada por un único término

140 140 La función f(z) = (sin z)/z 3 es no analítica en z = 0 y no podemos expandirla como serie de Maclaurin. Sabemos que: converge para todo z. Así que: convergerá para todo z excepto z = 0, 0 < |z|.

141 141 Ejemplo ¿Cuántas series con centro z 0 = 1/4 puede tener la función ? | z-1/4 | < 5/4 5/4 < | z-1/4 | < 7/4 7/4 < | z-1/4 | < El anillo siempre está entre los puntos singulares. La función presenta dos singularidades (polos simples), en z = -1, 2.

142 142 Ejemplo ¿Cuántas series con centro z 0 = 0 tiene la función ? La función presenta una singularidad (polo de segundo orden) en z = 2. |z| < 2|z| < 2 2 < |z| <

143 143 Ejemplo Tres singularidades (polos simples): z = -i, 1, 4. | z-2 | <1 1< | z-2 | <2 Centro z = 2 para:

144 144 Supongamos que la función f(z) es analítica en un anillo de centro z 0, r 0 < |z - z 0 | < r 1. Entonces f(z) admite representación en serie de Laurent: ¿Cómo hallar la serie de Laurent? Teorema de Laurent: donde Pierre Alphonse Laurent (1843) ¿Cuánto valen los b n s cuando f(z) es analítica en |z-z 0 | < r 1 ? C r0r0 r1r1

145 145 x y Demostración del teorema de Laurent: Por la fórmula integral de Cauchy para un dominio doblemente conexo:

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148 148 Observemos que: Si M es el valor máximo que puede alcanzar sobre C 1 : Y puesto que r/r 1 < 1, el límite cuando N tiende a infinito del residuo es cero. De modo que para cada z interior a C 0, la serie de Taylor converge a f(z).

149 149 Igual que para el caso de la serie de Taylor, hay distintas formas de hallar la serie de Laurent de una función. En la práctica, no usaremos la fórmula anterior. Un método más simple consiste en usar la serie geométrica, tal como hicimos con la serie de Taylor. Hallando la serie de Laurent Ejemplo (1) Expandir la función 1/(1-z) en potencias negativas de z Dado que converge para |z |<1, la serie converge para |1/z| 1

150 150 Ejemplo Expandir la función 1/(i-z) en potencias de z-2 (Serie de Taylor) Dado que converge para |z|<1, la serie converge para

151 151 Otra posibilidad consiste en expandir la función 1/(i-z) en potencias negativas de z-2 (serie de Laurent): Dado que converge para |z|<1, la serie converge para

152 152 Ejemplo (3) Expandir la función con centro z = 1 converge para 0 < |z -1|< ¡El centro es el punto singular !

153 153 Cada serie de Laurent tiene dos partes: Potencias positivas (serie de Taylor) Potencias negativas (Parte Principal) DENTRO FUERA

154 154 Ejemplo Expandir la función con centro z = 0 ¿De cuántas formas podemos hacerlo? (a) |z| < 1 (b) 1 < |z| < 3 (c) 3 < |z| < centro

155 155 (a) |z| < 1 Dentro del disco, términos positivos: serie de Taylor.

156 156 (b) 1 < |z| < 3 potencias negativas 1 < |z| < potencias positivas |z| < 3 Serie de Laurent

157 157 En la página anterior, ¿cómo sabíamos qué término expandir en potencias negativas y cuál, si lo había, expandir en potencias positivas? El término está fuera - términos negativos El término está dentro - términos positivos El anillo final resulta de la superposición

158 158 (c) 3 < |z| < potencias negativas 3 < |z| < potencias positivas |z |<

159 159 (a) 0 < |z – 1| < 2

160 160 (b) 0 < |z – 3| < 2. (binomial válida para |(z – 3)/2| < 1 o |z – 3| < 2)

161 161 0 < |z| < 1.

162 162 1 < |z – 2| < 2. En el centro z = 2 f es analítica. Queremos encontrar dos series de potencias enteras de z – 2; una convergiendo para 1 < |z – 2| y la otra para |z – 2| < 2. |(z – 2)/2| < 1 o |z – 2| < 2.

163 163 |1/(z – 2)| < 1 o 1 < |z – 2|.

164 164 f(z) = e 3/z, 0 < |z|.

165 165 (a) 0 < |z| < 1, (b) 1 < |z|, (c) 0 < |z – 1| < 1 (d) 1 < |z – 1|.

166 166

167 167

168 168 Dada la función f(z), obtener la serie de Laurent en torno a cada uno de sus puntos singulares. A la vista del desarrollo, clasificar las singularidades. Puntos singulares z 0 = 0 z 0 = 3 Examen JUNIO 04/05: P-1

169 169 z 0 = 0 Polo doble 0 3 z 0 = 3 Polo simple 0 3

170 170 P1. Junio 2006 Respuesta. Puntos singulares, z = 0, z = 2. Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la función f(z) válido en el entorno de cada uno de sus puntos singulares.

171 171 Entorno de z = 0; 0 < |z| < 2 2 Entorno de z = 2; 0 < |z - 2| < 2 2 4

172 172 es analítica en |z – 2| Admite desarrollo de Taylor:

173 173 Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la función válido en el disco |z| < a. Especificar el máximo valor de a donde el desarrollo es convergente. a Respuesta. Ptos. singulares z = ±1. (z = 0 es una singularidad evitable: lim (z0) f(z) = 1) a máx = |z – 0| = 1. Recordemos que:

174 174

175 175 P1. Septiembre 2007 Sea la función donde se considera la determinación del argumento (0,2π). Se pide: a)Calcular razonadamente el dominio de analiticidad, y clasificar las singularidades, especificando el tipo. b)Indicar las coronas en torno a z 0 = 0 donde se puede hallar el desarrollo de Laurent. c)Calcular el desarrollo de Laurent en torno a z 0 = 0 en la corona |z| > 4.

176 176 Respuesta. a) La función f es el producto de dos funciones, luego no es analítica en aquellos puntos en los que: - El cociente no es analítico, es decir, el punto z = 0. - La función no es analítica. Para analizar el dominio de holomorfía de esta función se debe considerar: * Por un lado, los puntos singulares de, en este caso, z = 1. * Por otro lado, los puntos singulares de log w con la determinación (0,2π). Esta determinación no es analítica en w = 0 y en los puntos que cumplen Im(w) = 0 y Re(w)>0. Introduciendo la variable z = x + iy

177 177 con lo que Así, no es analítica en todo el segmento real

178 178 Con todo, la función f es analítica en todo el plano complejo menos en z = 0 y en el segmento Re (z) Im (z) - Los puntos no son aislados, luego la función no admite desarrollo en serie en torno a ellos. - El punto z = 0 es una singularidad aislada. Para analizar de qué tipo observamos que f se puede expresar de la formacon analítica en z = 0 y g(0) = log(-4) = Ln(4) + iπ 0. Luego z = 0 es un polo doble.

179 179 b) El único punto singular aislado es z 0 = 0, por lo que se puede obtener tanto la serie de Laurent de la función en torno a z 0 = 0 válida en la corona 0 4. Para calcular el desarrollo en serie de la corona |z| > 4, derivamos respecto de z la función, de modo que y buscamos los desarrollos de cada fracción convergente en el dominio |z| > 4 o, expresado de modo más conveniente,

180 180 (... continuar el problema...)

181 181 Obtener todos los posibles desarrollos en serie de potencias (Taylor y Laurent) de las funciones complejas: Respuesta. a) Desarrollaremos primero en serie de Taylor alrededor de z = 1. Observemos que f(z) tiene un punto singular en z = -1, de modo que el desarrollo será válido para |z – 1| < 2, es decir, |(z – 1)/2| < 1. alrededor de z = 1. Indicar el radio de convergencia de cada una de las series obtenidas.

182 182 Entonces: Ahora desarrollaremos fuera del círculo anterior, es decir, para |z – 1| < 2 ó |(z – 1)/2| < 1, en serie de Laurent. Observemos que |(z – 1)/2| < 1 y entonces:

183 183 b) Observemos que ; entonces derivando las series anteriores obtenemos:

184 184 y

185 185 Obtener la serie de Laurent válida en el dominio 1 < |z| < 2 de la función compleja: Respuesta.

186 186

187 187

188 188

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190 190

191 191

192 192

193 193

194 194

195 195

196 196

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198 198

199 199 Gracias al desarrollo de Laurent podemos encontrar el valor de algunas integrales. Por ejemplo, calculemos: Encontremos las serie de Laurent de e 1/z : Recordemos:

200 200 Otro ejemplo: Desarrollemos f(z) = 1/(z-i) 2 en serie de Laurent alrededor de z 0 = i. ¡Hemos resuelto infinitas integrales de una tacada! ¡Ya está desarrollado! Todos los coeficientes a n y b n son cero a excepción de b 2 = 1. Entonces, como:

201 201 Acabemos con la pregunta de la transparencia sobre series de Taylor en variable real: Es fácil ver por qué el radio de convergencia es |x|<1. Pero, en este caso: ¿cuál es el motivo?

202 202

203 203


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