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1 Conjuntos de puntos en el plano complejo Un conjunto S de puntos en el plano complejo es cualquier colección finita o infinita de puntos en el plano.

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1 1 Conjuntos de puntos en el plano complejo Un conjunto S de puntos en el plano complejo es cualquier colección finita o infinita de puntos en el plano complejo. Por ejemplo las soluciones de una ecuación cuadrática, los puntos de una línea, los puntos del interior de un círculo, etc. ¿Qué lugares geométricos describen las siguientes ecuaciones? La ecuación Arg z= define una semirecta infinita de pendiente. Entonces la desigualdad anterior define un sector infinito comprendido entre las semirectas infinitas Arg z= y Arg z=. (...)

2 2 Un conjunto de puntos S se llama abierto si cada punto de S tiene un vecindad constituida enteramente por puntos que pertenecen a S. Por ejemplo los puntos del interior de un círculo o un cuadrado. El complementario de un conjunto de puntos S es el conjunto de todos los puntos que no pertenecen a S. Un conjunto de puntos S se llama cerrado si su complementario es abierto. Ej.: los puntos sobre y dentro de un círculo o un cuadrado, puesto que sus complementarios (los puntos exteriores al círculo o al cuadrado) son abiertos.

3 3 La distancia entre dos puntos z y a es |z-a|. De modo que un círculo C de radio y centrado en a, puede expresarse como: |z-a| = a x y z En particular, el círculo de radio unidad centrado en el origen puede escribirse como: |z| = 1 x y 1 i ¿C es abierto o cerrado?

4 4 Los puntos dentro del círculo C vienen representados por: |z-a| < (un entorno abierto centrado en a). define un entorno circular cerrado centrado en a. El anillo abierto de radios 1 y 2, viene dado por: 1 < |z-a| < 2 a 1 x y 2 a x y z a x y z 0 < |z-a| < define un entorno punteado.

5 5 (1) Determina la región en el plano complejo dada por: |z-3-i| 4 Es la región circular cerrada de radio 4 con centro en 3+i. (2) Determina las regiones: (a) |z| 1 4 x y 3+i (a) Círculo unidad abierto (b) Círculo unidad cerrado (c) Exterior del círculo unidad.

6 6 ¿Qué lugar geométrico describe la siguiente ecuación? Una elipse de focos en -2 y 2 (suma de distancias a los focos igual a 5) con semieje mayor igual a 5/2) Ejercicio: ¿Qué representan las siguientes ecuaciones?

7 7 Un punto interior de un conjunto S es un punto para el que podemos encontrar un entorno o vecindad cuyos puntos pertenecen todos a S. Por ejemplo, el centro de un círculo. Un punto frontera de un conjunto S es un punto tal que todo entorno alrededor de él contiene puntos que pertenecen a S y que no pertenecen a S. Por ejemplo los puntos que forman la frontera de un círculo. Si un punto no es interior ni frontera de un conjunto de puntos S, entonces es un punto exterior a S. Entonces, si S es abierto no posee puntos frontera, solo puntos interiores. Si S es cerrado posee también a sus puntos frontera. Algunos conjuntos no son ni abiertos ni cerrados. Contienen algunos puntos frontera. Por ejemplo un entorno punteado. El plano complejo C es abierto y cerrado a la vez. No posee puntos frontera.

8 8 Conjuntos conexos ¿Son los siguientes conjuntos de puntos dominios? No existe camino entre el triángulo inferior y el triángulo superior. a x y Un disco abierto a 1 x y 2 Un anillo abierto x y Un cuadrado abierto sin diagonal. Un conjunto S se llama conexo si cualquier par de sus puntos pueden conectarse mediante un camino formado por puntos que pertenecen a S. Un abierto conexo se denomina dominio. P.ej.: todo entorno es un dominio.

9 9 Una región es un conjunto formado por un dominio, más, quizás, algunos o todos sus puntos frontera (Cuidado: algunos autores usan región para indicar dominio). Un conjunto es acotado si todo punto de S está dentro de algún círculo |z| = R. En caso contrario es no acotado. Un punto de S se dice que es de acumulación si cada entorno punteado del mismo contiene al menos un punto de S. Entonces, si S es cerrado contiene a todos sus puntos de acumulación. Un punto no es de acumulación si existe un entorno punteado del mismo que no contenga puntos de S. P.ej.: Todos los puntos del conjunto S = {i/n} (n = 1,2,...) no son de acumulación a excepción del cero.

10 10 Semiplanos infinitos x y Inferior: z = x+iy tales que y < 0 o Im(z) < 0. Semiplano superior: el conjunto de todos los puntos z = x+iy tales que y > 0 o Im(z) > 0. Derecho: z = x+iy tales que x > 0 o Re(z) > 0. Izquierdo: z = x+iy tales que x < 0 o Re(z) < 0 x y x y x y ¿Qué regiones describen? (a)Im(z) = 0, (b) Im(z) = a, (c) Re(z) = 0, (d) Re(z) = a

11 11 Funciones complejas Sea S un conjunto de números complejos z = x+iy. Una función f definida sobre S es una regla que asigna a cada z en S un número complejo w llamado valor de f en z. w = f(z) –z es una variable compleja. –S es el dominio de definición de f. –El conjunto de valores de la función f se llama rango de f. Como w es complejo (w = u+i v; con u y v reales) podemos escribir w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y) –Una función compleja f(z) es equivalente a un par de funciones reales u(x,y) y v(x,y), cada una dependiente de dos variables reales x e y.

12 12 Ejemplos: Función de variable compleja ¿Cuál es el valor de en ? Parte real Parte imaginaria ¿Cuáles son los dominios de definición de estas funciones?

13 13 Ejemplos: Polinomios de grado n: donde c 0, c 1...c n son constantes complejas y c n es distinto de cero. Funciones racionales (cocientes de polinomios): Si en f(z) = u+iv, v = v(x,y) = 0, entonces f es una función de variable compleja con valores reales. P.ej.: f(z)= |z| 2 = x 2 + y 2.

14 14 Funciones de variable real Representación geométrica cartesiana Variable real Asignación

15 15 Funciones de variable compleja ¿Cómo representarlas geométricamente? Parte imaginaria Asignación Parte real Imagen Preimagen. ¿Cuál es la otra?

16 16 Representación mediante dos planos: z y w. Plano z Plano w ¿Cómo transforman ?

17 17 Transformaciones mediante funciones lineales Existen muchas situaciones prácticas donde podemos simplificar un problema mediante una transformación en el plano complejo. Translación: Rotación alrededor del origen y alargamiento/contracción:

18 18 Funciones lineales Translación Rotación y alargamiento/contracción Ejemplo: Esta función transforma el cuadrado A en el cuadrado B.

19 19 La función/transformación Observemos que la transformación no es biyectiva. Los puntos +z y –z se transforman en el mismo w.

20 20 Curva en el plano zTransformación f(z)Curva en el plano w ¿En qué curva se transforma el círculo de radio unidad centrado en el origen a través de la función f(z)=z 2 ? La imagen traza una circunferencia dando dos vueltas.

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24 24 ¿En qué curvas se transforman rectas verticales en el plano z a través de la función f(z)=z 2 en el plano w? La ecuación de un parábola abierta hacia la izquierda: con vértice en (k 2, 0) y foco en el origen. Idem para rectas horizontales (pero serán parábolas hacia la derecha):

25 25 Tomemos como dominio un rectángulo con esquinas en ±3/2±3/2i. Observa como las líneas verticales, formadas por complejos de parte real constante, se convierten en parábolas abiertas hacia la izquierda. Y las líneas horizontales, formadas por números complejos de parte imaginaria constante, en parábolas abiertas a la derecha. Observa también como los ángulos entre rectas amarillas y rosas siguen siendo rectos: la transformación es conforme.. Douglas N. Arnold

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29 29 Observa que puesto que la transformación w = f(z) = z 2 es: Los puntos z sobre la hipérbola x 2 – y 2 = k se transforman en lineas u = k. Los puntos z sobre la hipérbola 2xy = k se transforman en lineas v = k.

30 30 f(z) = z 2 Esquema de color dependiente del valor real DominioRango

31 31 f(z) = z 3 Esquema de color dependiente del argumento DominioRango

32 32 Transformación w = f(z) = 1/z En este caso la transformación si es biyectiva excluyendo al origen. En coordenadas polares la transformación es: Una inversión en el círculo unidad (lo de fuera pasa adentro y al contrario) seguida de una reflexión respecto al eje x. Los puntos del círculo unidad permanecen invariantes. Los círculos se convierten en círculos. Las líneas que pasan por el origen se convierten en líneas que pasan por el origen.

33 33 f(z) = 1/z Esquema de color dependiente del argumento DominioRango

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35 35 (1)a y d distintos de 0: círculos que no pasan por el centro se transforman en círculos que no pasan por el centro. (2) a distinto de 0 y d = 0: círculos que pasan por el centro se transforman en rectas que no pasan por el centro. (3) a = 0 y d distinto de 0: rectas que no pasan por el centro se transforman en círculos que pasan por el centro. (4) a = d = 0: rectas que pasan por el centro se transforman en rectas que pasan por el centro. Veamos con más detalle la transformación f(z) = 1/z.

36 36 Ejemplo: ¿Cuál es la imagen de la recta x = c bajo la transformación f(z) = 1/z? Es decir, un círculo de centro (1/2c, 0) que pasa por el origen. El semiplano x > c se transforma en el interior del círculo.

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38 38 Transformaciones bilineales o de Moebius La transformación inversa es también bilineal: Observemos que la transformación no está definida para z = -d/c. Y lo mismo ocurre con w = a/c en el caso de la inversa. El conjunto de posibles transformaciones bilineales forman un grupo.

39 39 ¿Cómo transforma la bilineal? De modo que cualquier transformación bilineal puede obtenerse como una composición de transformaciones lineales y la transformación 1/z. Así que para las transformaciones bilineales transforman el conjunto de círculos y líneas en si mismo.

40 40 Ejemplo: Sea a una constante compleja tal que Im(a) > 0. Encontrar la imagen del semiplano infinito superior bajo la transformación bilineal: Consideremos primero el borde. Para los puntos z sobre el eje x, tenemos: De modo que el eje x se transforma en el círculo unidad con centro en el origen. z = a se transforma en w = 0 (un punto interior del círculo). La transformación es continua, y de aquí podemos deducir que la imagen del semiplano superior es el interior del círculo.

41 41 Nikolai Egorovich Zhukovskii ( ) (o Zhukovsky o Joukowski) La transformación de Zhukovsky Más general: La imagen de un círculo que pasa por z = 1 o z = -1 es una curva similar a la sección transversal de un ala de avión.

42 42 Límite Una función f(z) se dice que tiene límite w 0 cuando z tiende a z 0, y se escribe: u si f está definida en un entorno de z 0 (a excepción tal vez de z 0 mismo) y si: real > 0, un real > 0: z z 0, y |z - z 0 | <, entonces |f(z) - w 0 | <. x z0z0 y z w0w0 v f(z) En general = (, z 0 ) Si el límite existe, es único. Es decir: si dado un entorno de radio alrededor del límite, podemos determinar un entorno de radio (, z 0 ) alrededor de z 0.

43 43 Observemos que como en el caso de variable real, la definición de límite no nos dice cómo encontrarlo. Demostremos que: Utilizando la notación anterior, tenemos en este caso: Tomando =, por ejemplo, siempre se cumple. Ejercicio: Demostrar que si el límite existe, es único. (Nota: Suponer dos valores distintos para el límite, aplicar definiciones y demostrar entonces que ambos valores han de ser, a la fuerza, el mismo).

44 44 ¿Cuál es el equivalente a límite por la derecha y por la izquierda de variable real en el caso de variable compleja? En el plano complejo podemos acercarnos al límite a través de una infinidad de trayectorias. Por ejemplo: Toda vecindad de z 0 contiene valores de Arg z en el segundo cuadrante arbitrariamente cerca de, pero también del tercer cuadrante arbitrariamente cerca de. Acercándonos por C 1 y por C 2 obtenemos dos valores distintos del límite.

45 45 Ejemplo Esta función no está definida para z = x+iy = 0, (x = 0, y = 0). Veamos que no existe el límite de la función cuando z tiende a 0. (1)Nos aproximamos al origen a lo largo del eje y. Tomando x=0 en f(z), tenemos: Que se aproxima a i, a medida que nos acercamos al origen. (2) Tomando y=0 nos aproximamos a lo largo del eje x: Que tiende a 1. Como el límite por ambos caminos no coincide, el límite no existe.

46 46 Ejercicios: (1) Sean: Entonces: Nota: Utilizar la definición de límite y la desigualdad: (2) Demostrar que si

47 47 Propiedades de los límites Sean w 0 y w' 0 los límites, cuando z tiende a z 0, de f(z) y g(z) respectivamente. Entonces: En particular si f(z) = g(z) = z : y por inducción:Como además: Entonces, para un polinomio P(z) = a 0 +a 1 z+...+a n z n, tendremos: Nota: Es fácil demostrar estas propiedades a partir de u(x,y) y v(x,y).

48 48 Punto del infinito El número complejo infinito o punto del infinito, denotado por, no posee signo ni argumento. Su módulo es mayor que |z| para todo z complejo. ¿Es un punto del plano complejo? No es localizable, pero sí alcanzable a través de cualquier trayectoria en la que |z| sea creciente. Se opera como en los reales. Por ejemlo: z / = 0, z/0 =, etc. Cuando el plano complejo incluye al punto del infinito, hablamos de plano complejo extendido.

49 49 Bernhard Riemann ( ) Esfera de radio unidad centrada en el cero del plano complejo. Proyección estereográfica: hacemos corresponder cada punto del plano con un punto de la esfera como muestra la gráfica. El polo norte N de la esfera corresponde al punto del infinito. Esfera de Riemann

50 50 Otra forma de la esfera de Riemann Ahora ya podemos definir límites al infinito. Si para todo real > 0, un real > 0: |f(z) - w 0 | < para todo z: |z|> 1/. O: si para todo real > 0, un real > 0: |f(z)| < 1/ siempre que |z - z 0 | <.

51 51 Espiral de Arquímedes. Dado que, la ecuación anterior solo representa una espira de la espiral. Espirales esféricas de M.C. Escher La proyección estereográfica tiene dos propiedades importantes: las circunferencias siempre se transforman en circunferencias y la transformación conserva ángulos.

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53 53 Funciones continuas Decimos que f(z) es continua en una región si es continua en todo punto de la región. Una función f(z) se dice que es continua en z = z 0 si f(z 0 ) está definida en z 0 y Ejercicio:Las sumas, diferencias y productos de funciones continuas son continuas. El cociente de dos funciones continuas es continuo salvo en los puntos en que se anula el denominador. La composición de funciones continuas es continua. Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v serán continuas en todo punto en el que f(z) lo sea. Y a la inversa: f(z) será continua en todo punto en que u(x,y) y v(x,y) lo sean. (Nota: si en el límite = (, z 0 ) no depende de z 0, la continuidad es uniforme).

54 54 Ejemplo: Sea: ¿Es continua f(z) en z = i? (1) f(i) = 3i está definido. (2) Calculemos el límite de la función cuando z tiende a i: El límite existe pero no coincide con el valor de la función: la función no es continua.

55 55 Ejercicios: (1)Demostrar que si f(z) es continua en una región cerrada y acotada entonces es uniformemente continua. (2) Demostrar que si f(z) es continua en una región R, entonces la función |f(z)| también lo es. (3) Demostrar que si se cumplen las condiciones de (2) entonces existe M > 0 tal que |f(z)| M para todo z de R. Y donde la igualdad estricta es al menos válida para un punto de R.

56 56 Complex function revisited Cuando definimos al principio del capítulo una función compleja, en realidad lo hicimos para una función univaluada: a cada valor de z le correspondía un único valor w = f(z). Por ejemplo: f(z) = z 2. Las funciones complejas pueden ser multivaluadas cuando para algún valor de z le corresponde más de un valor de f(z), como ocurre, por ejemplo con f(z) = z. Podemos considerar una función multivaluada como una colección de funciones univaluadas. Cada miembro de esta colección se llama una rama de la función multivaluada. Es usual tomar una de estas ramas como la rama principal y el valor f(z) en esta rama como el valor principal. Para el caso de funciones reales pasa algo semejante. Por ejemplo, para f(x) = x tendríamos dos ramas (la positiva y la negativa). Y solemos tomar como rama principal a la positiva y como valor principal a +x. Pero en variable compleja hay más sutilezas...

57 57 Puntos de Ramificación y cortes de rama Para univaluar la raíz cuadrada de z hagamos como en el caso real, tomando arbitrariamente una de las dos posibilidades: Si giramos siguiendo un camino continuo como muestra la figura tendremos: ¡f(z) sufre una crisis de identidad!

58 58 Este camino continuo no nos genera problemas. ¿Cuál es la diferencia? Rodear el origen z = 0 parece ser lo que nos genera la crisis. z = 0 es en este caso un punto de ramificación de la función raíz cuadrada. ¿Qué ocurre si damos dos vueltas alrededor del origen?

59 59 Decimos que z 0 es un punto de ramificación de f(z) si el valor de f(z) no regresa a su valor original cuando trazamos una curva cerrada alrededor de él, de manera que f varía de forma continua a medida que recorremos la curva. Observación: debe ocurrir para cualquier curva alrededor de z 0 (lejana o cercana). La función no tiene por qué ser continua o existir en z 0.

60 60 ¿Cuál es la región más grande posible sin crisis de identidad? Para todos los puntos de la región R la raíz cuadrada está univaluada. Deseamos una región, lo mayor posible, tal que no exista posibilidad de trazar un camino continuo y cerrado que contenga al origen en su interior: una rama. Región infinitesimal alrededor del eje x positivo.

61 61 Univaluamos la función raíz cuadrada cortando el plano complejo a lo largo del eje real positivo. Rama Cortes de rama A es un punto infinitesimalmente cercano al corte por arriba. Y B por abajo. La función es discontinua a través del corte de rama. Nota: El corte es totalmente arbitrario.

62 62 Hojas y superficies de Riemann En la superficie de Riemann la función está univaluada. Cada rama corresponde a un piso (hoja de Riemman). Para el caso de la raíz cuadrada: las vueltas impares tocan arriba y las pares abajo.

63 63 Superficie de Riemann para f(z) = z 1/3 f(z) = z 1/n tendrá n hojas de Riemann. En particular si f(z) no posee puntos de ramificación, la superficie de Riemann coincide con el plano complejo C.


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