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1 2. Funciones de variable compleja Gary Larson. 2 Conjuntos de puntos en el plano complejo Un conjunto S de puntos en el plano complejo es cualquier.

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1 1 2. Funciones de variable compleja Gary Larson

2 2 Conjuntos de puntos en el plano complejo Un conjunto S de puntos en el plano complejo es cualquier colección finita o infinita de puntos en el plano complejo. Por ejemplo las soluciones de una ecuación cuadrática, los puntos de una línea, los puntos del interior de un círculo, etc. ¿Qué lugares geométricos describen las siguientes ecuaciones? La ecuación Arg z= define una semirecta infinita de pendiente. Entonces la desigualdad anterior define un sector infinito comprendido entre las semirectas infinitas Arg z= y Arg z=. (...)

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5 5 Un conjunto de puntos S se llama abierto si cada punto de S tiene un vecindad constituida enteramente por puntos que pertenecen a S. Por ejemplo los puntos del interior de un círculo o un cuadrado. El complementario de un conjunto de puntos S es el conjunto de todos los puntos que no pertenecen a S. Un conjunto de puntos S se llama cerrado si su complementario es abierto. Ej.: los puntos sobre y dentro de una circunferencia o un cuadrado, puesto que sus complementarios (los puntos exteriores a la circunferencia o al cuadrado) son abiertos.

6 6 La distancia entre dos puntos z y a es |z-a|. De modo que un círculo C de radio y centrado en a, puede expresarse como: |z-a| = a x y z En particular, el círculo de radio unidad centrado en el origen puede escribirse como: |z| = 1 x y 1 i ¿C es abierto o cerrado?

7 7 Los puntos dentro del círculo C vienen representados por: |z-a| < (un entorno abierto centrado en a). define un entorno circular cerrado centrado en a. a x y z a x y z 0 < |z-a| < define un entorno punteado o reducido.

8 8 El anillo abierto de radios 1 y 2, viene dado por: 1 < |z-a| < 2 a 1 x y 2

9 9 (1) Determina la región en el plano complejo dada por: |z-3-i| 4 Es la región circular cerrada de radio 4 con centro en 3+i. (2) Determina las regiones: (a) |z| 1 4 x y 3+i (a) Círculo unidad abierto (b) Círculo unidad cerrado (c) Exterior del círculo unidad.

10 10 Re(z) 1 (No es un conjunto abierto).

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12 12 ¿Qué lugar geométrico describe la siguiente ecuación? Una elipse de focos en -2 y 2 (suma de distancias a los focos igual a 5) con semieje mayor igual a 5/2) Ejercicio: ¿Qué representan las siguientes ecuaciones?

13 13 ¿Qué lugar geométrico describen las siguientes ecuaciones: Nota: Busca las definiciones de parábola e hipérbola.

14 14 Un punto interior de un conjunto S es un punto para el que podemos encontrar un entorno o vecindad cuyos puntos pertenecen todos a S. Por ejemplo, el centro de un círculo. Un punto frontera de un conjunto S es un punto tal que todo entorno alrededor de él contiene puntos que pertenecen a S y que no pertenecen a S. Por ejemplo los puntos que forman la frontera de un círculo. Si un punto no es interior ni frontera de un conjunto de puntos S, entonces es un punto exterior a S. Entonces, si S es abierto no posee puntos frontera, solo puntos interiores. Si S es cerrado posee también a sus puntos frontera. Algunos conjuntos no son ni abiertos ni cerrados. Contienen algunos puntos frontera. Por ejemplo un entorno punteado. El plano complejo C es abierto y cerrado a la vez. No posee puntos frontera.

15 15 Una región es un conjunto formado por un dominio, más, quizás, algunos o todos sus puntos frontera (Cuidado: algunos autores usan región para indicar dominio). Un conjunto es acotado si todo punto de S está dentro de algún círculo |z| = R. En caso contrario es no acotado. Un punto de S se dice que es de acumulación si cada entorno punteado del mismo contiene al menos un punto de S. Entonces, si S es cerrado contiene a todos sus puntos de acumulación. Un punto no es de acumulación si existe un entorno punteado del mismo que no contenga puntos de S. P.ej.: Todos los puntos del conjunto S = {i/n} (n = 1,2,...) no son de acumulación a excepción del cero.

16 16 Semiplanos infinitos x y Inferior: z = x+iy tales que y < 0 o Im(z) < 0. Semiplano superior: el conjunto de todos los puntos z = x+iy tales que y > 0 o Im(z) > 0. Derecho: z = x+iy tales que x > 0 o Re(z) > 0. Izquierdo: z = x+iy tales que x < 0 o Re(z) < 0 x y x y x y ¿Qué regiones describen? (a)Im(z) = 0, (b) Im(z) = a, (c) Re(z) = 0, (d) Re(z) = a

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18 18 Conjuntos de Julia Iteración: Condición inicial y órbita: Utilizando la identidad de Moivre: Gaston Maurice Julia Cuando decía en 1980 a mis amigos que estaba trabajando con H. Hubbard en el estudio de polinomios de grado 2 en variable compleja (y más específicamente en z z 2 + c ), me preguntaban: ¿Esperas encontrar alguna cosa nueva? Adrien Douady

19 19 En el paso enésimo tendremos: Si comenzamos con un número complejo de módulo r < 1, sucesivamente el módulo irá disminuyendo hasta tomar valor r = 0 para n infinito. Al contrario, si r > 1 el módulo aumentará exponencialmente, tendiendo a infinito. El caso frontera, r = 1, mantendrá los valores de la iteración en un círculo de radio unidad sobre el plano complejo.

20 20 De modo que todos los puntos del plano complejo pertenecen a uno de estos dos conjuntos: (a)Si escapan al infinito (r > 1): conjunto de escape E. En este caso los puntos exteriores del círculo unidad. La frontera de P (r = 1) es el conjunto de Julia de esta iteración: la circunferencia unidad. (b) Si permanecen recluidos en una región finita (r 1): conjunto prisionero P. En este caso el círculo unidad cerrado.

21 21 Julia centró sus estudios en el conjunto de iteraciones cuadráticas: Fijado el parámetro complejo c establecemos una iteración cuadrática en concreto. Al potenciar el módulo, la iteración nos manda al origen o al infinito, excepto para el módulo de valor 1 (con c = 0). Elevar al cuadrado implica multiplicar el ángulo por dos. Sumar c = a + ib, consiste en una traslación.

22 22 c = c = 1/4 c = 0 c = -3/4 c = c = c = -2 c = i c=(+0.285,+0.535) c=(-0.125,+0.750) c=(-0.500,+0.563) c=(-0.687,+0.312)

23 23 ¿Cómo discriminar si un punto del plano complejo pertenece o no al conjunto de escape E c ? Existe un sencillo criterio: Si |z| |c| y |z| > 2, entonces z es un punto de escape de la iteración z n+1 = z n 2 + c. Supongamos que definimos r(c) = max (|c|, 2), y que se cumplen las condiciones del criterio. Entonces, existe un > 0 tal que r(c) = 2 + y |z| r(c).

24 24 Observemos que: |z 2 + c| |z 2 | - |c| = |z| 2 - |c| |z| 2 - |z| = (|z| - 1)·|z| Recordemos que |z| r(c) = 2 +. Entonces: (|z| - 1)·|z| (1 + )·|z|. En conclusión, si z cumple las condiciones previas, entonces: |z 2 + c| (1 + )·|z|. De modo que en cada iteración el módulo del nuevo valor crece.

25 25 Fractint/Winfract Ultrafractal (UF) probablemente es el programa de generación de fractales más usado por la comunidad de ciberartistas que experimentan con fractales. Puedes bajarte una versión de evaluación en la página oficial del programa. No te pierdas la galería de imágenes en: Te harás una idea de las posibilidades de UF. Ejecutar Ultrafractal localmente.Ultrafractal Curso de fractales en nuestra página del departamento:

26 26 Conjuntos conexos ¿Son los siguientes conjuntos de puntos dominios? No existe camino entre el triángulo inferior y el triángulo superior. a x y Un disco abierto a 1 x y 2 Un anillo abierto x y Un cuadrado abierto sin diagonal. Un conjunto S se llama conexo si cualquier par de sus puntos pueden conectarse mediante un camino formado por puntos que pertenecen a S. Un abierto conexo se denomina dominio (en algunos textos se denomina región). P.ej.: todo entorno es un dominio.

27 27 Teorema: Cualesquiera dos puntos de un dominio pueden unirse por medio de una línea poligonal contenida en el dominio.

28 28 El conjunto de Mandelbrot Benoit Mandelbrot (1924 -)

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30 30 El valor de c determina si un conjunto de Julia es conexo o no. Para determinar qué valores de c producen conjuntos de Julia conexos parece que no quede más remedio que determinar cada conjunto iterando todos los puntos del plano complejo para cada función z 2 + c. Afortunadamente, se puede demostrar que basta con iterar z 0 = (0, 0) para cada c.

31 31 Si la órbita con semilla z 0 = (0, 0) no escapa al infinito, entonces el conjunto de Julia es conexo. El conjunto de todos los valores c tales que sus correspondientes conjuntos de Julia son conexos forman en el plano complejo el famoso conjunto de Mandelbrot. Este es el dibujo original que Mandelbrot descubrió a la comunidad científica a finales de los 70 cuando trabajaba en el centro de investigación Thomas J. Watson.

32 32 En la figura de la izquierda están representados algunos conjuntos de Julia con distintos valores de c (indicados en el plano complejo por las líneas de color azul). Para valores de c dentro del conjunto de Mandelbrot la forma de los conjuntos de Julia es semejante a círculos. Fuera del conjunto tenemos nubes de puntos desconectados (conjuntos de Julia no conexos). Los conjuntos de Julia más interesantes estéticamente se observan en la frontera. Las formas dendríticas de los conjuntos de Julia corresponden a las fronteras filamentosas del conjunto de Mandelbrot. En la imagen inferior puedes observar un gif animado del efecto de la variación continua del parámetro c en las formas de los conjuntos J a lo largo de una línea que va desde la frontera de M (forma dendrítica) hasta su interior (forma circular).

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38 38 Funciones complejas Sea S un conjunto de números complejos z = x+iy. Una función f definida sobre S es una regla que asigna a cada z en S un número complejo w llamado valor de f en z. w = f(z) –z es una variable compleja. –S es el dominio de definición de f. –El conjunto de valores de la función f se llama rango de f. Como w es complejo (w = u+i v; con u y v reales) podemos escribir: w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y) –Una función compleja f(z) es equivalente a un par de funciones reales u(x,y) y v(x,y), cada una dependiente de dos variables reales x e y.

39 39 Ejemplos: Función de variable compleja ¿Cuál es el valor de en ? Parte real Parte imaginaria ¿Cuáles son los dominios de definición de estas funciones?

40 40 Ejemplos: Polinomios de grado n: donde c 0, c 1...c n son constantes complejas y c n es distinto de cero. Funciones racionales (cocientes de polinomios): Si en f(z) = u+iv, v = v(x,y) = 0, entonces f es una función de variable compleja con valores reales. P.ej.: f(z)= |z| 2 = x 2 + y 2.

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42 42 Funciones de variable real Representación geométrica cartesiana Variable real Asignación

43 43 Funciones de variable compleja ¿Cómo representarlas geométricamente? Parte imaginaria Asignación Parte real Imagen Preimagen. ¿Cuál es la otra?

44 44 Representación mediante dos planos: z y w Plano z Plano w ¿Cómo transforman ?

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46 46 Transformaciones mediante funciones lineales Existen muchas situaciones prácticas donde podemos simplificar un problema mediante una transformación en el plano complejo. Translación: Rotación alrededor del origen y alargamiento/contracción:

47 47 Funciones lineales Translación Rotación y alargamiento/contracción Ejemplo: Esta función transforma el cuadrado A en el cuadrado B.

48 48 La función/transformación ¿Es biyectiva la transformación? Plano z Plano w

49 49 ¿Cómo puede ser? Si a cada punto de la semicircunferencia del plano z le corresponde un solo punto del plano w, ¿cómo media circunferencia se transforma en una entera? ¿No hay el doble de puntos en una circunferencia que en media? Plano z Plano w

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52 52 Curva en el plano z Transformación f(z) Curva en el plano w Parametrizamos la curva: Obtenemos la transformación de la parametrización: Y de aquí la curva transformada: En general

53 53 ¿En qué curva se transforma una circunferencia de radio unidad centrado en el origen a través de la función f(z)=z 2 ? La imagen traza una circunferencia de radio unidad centrada en el origen dando dos vueltas. Circunferencia de radio unidad centrada en el origen: Parametrizamos. Todos los puntos de la cincurferencia pueden expresarse como: La transformación es: En componentes: Usando la parametrización: Que nos proporciona la curva:

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55 55 Encuentra la imagen de la línea Re(z) = 1 bajo la transformación f(z) = z 2. Re(z) = x = 1,

56 56 ¿En qué curvas se transforman rectas verticales en el plano z a través de la función f(z)=z 2 en el plano w? La ecuación de un parábola abierta hacia la izquierda: con vértice en (k 2, 0) y foco en el origen. Idem para rectas horizontales (pero serán parábolas hacia la derecha):

57 57 Tomemos como dominio un rectángulo con esquinas en ±3/2±3/2i. Observa como las líneas verticales, formadas por complejos de parte real constante, se convierten en parábolas abiertas hacia la izquierda. Y las líneas horizontales, formadas por números complejos de parte imaginaria constante, en parábolas abiertas a la derecha. Observa también como los ángulos entre rectas amarillas y rosas siguen siendo rectos: la transformación es conforme.. Douglas N. Arnold

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61 61 Observa que puesto que la transformación w = f(z) = z 2 es: Los puntos z sobre la hipérbola x 2 – y 2 = k se transforman en lineas u = k. Los puntos z sobre la hipérbola 2xy = k se transforman en lineas v = k.

62 62 f(z) = z 2 Esquema de color dependiente del valor real DominioRango

63 63 f(z) = z 3 Esquema de color dependiente del argumento DominioRango

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65 65 Límite de una función compleja Una función f(z) se dice que tiene límite w 0 cuando z tiende a z 0, y se escribe: u si f está definida en un entorno de z 0 (a excepción tal vez de z 0 mismo) y si: real > 0, un real > 0: z z 0, y |z - z 0 | <, entonces |f(z) - w 0 | <. x z0z0 y z w0w0 v f(z) En general = (, z 0 ) Si el límite existe, es único. Es decir: si dado un entorno de radio alrededor del límite, podemos determinar un entorno de radio (, z 0 ) alrededor de z 0.

66 66 Observemos que como en el caso de variable real, la definición de límite no nos dice cómo encontrarlo. Demostremos que: Utilizando la notación anterior, tenemos en este caso: Tomando =, por ejemplo, siempre se cumple. Ejercicio: Demostrar que si el límite existe, es único. (Nota: Suponer dos valores distintos para el límite, aplicar definiciones y demostrar entonces que ambos valores han de ser, a la fuerza, el mismo).

67 67 ¿Cuál es el equivalente a límite por la derecha y por la izquierda de variable real en el caso de variable compleja? En el plano complejo podemos acercarnos al límite a través de una infinidad de trayectorias. Por ejemplo: Toda vecindad de z 0 contiene valores de Arg z en el segundo cuadrante arbitrariamente cerca de, pero también del tercer cuadrante arbitrariamente cerca de. Acercándonos por C 1 y por C 2 obtenemos dos valores distintos del límite.

68 68 Ejemplo Esta función no está definida para z = x+iy = 0, (x = 0, y = 0). Veamos que no existe el límite de la función cuando z tiende a 0. (1)Nos aproximamos al origen a lo largo del eje y. Tomando x=0 en f(z), tenemos: Que se aproxima a i, a medida que nos acercamos al origen. (2) Tomando y=0 nos aproximamos a lo largo del eje x: Que tiende a 1. Como el límite por ambos caminos no coincide, el límite no existe.

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70 70 Ejercicios: (1) Sean: Entonces: Nota: Utilizar la definición de límite y la desigualdad: (2) Demostrar que si

71 71 Propiedades de los límites Sean w 0 y w' 0 los límites, cuando z tiende a z 0, de f(z) y g(z) respectivamente. Entonces: En particular si f(z) = g(z) = z : y por inducción:Como además: Entonces, para un polinomio P(z) = a 0 +a 1 z+...+a n z n, tendremos: Nota: Es fácil demostrar estas propiedades a partir de u(x,y) y v(x,y).

72 72 Ejercicio: Demostrar que

73 73 Punto del infinito

74 74 Punto del infinito El número complejo infinito o punto del infinito, denotado por, no posee signo ni argumento. Su módulo es mayor que |z| para todo z complejo. ¿Es un punto del plano complejo? No es localizable, pero sí alcanzable a través de cualquier trayectoria en la que |z| sea creciente. Se opera como en los reales. Por ejemlo: z / = 0, z/0 =, etc. Cuando el plano complejo incluye al punto del infinito, hablamos de plano complejo extendido.

75 75 Ejemplo: Sea Determina la imagen para z =. Cuando z tiende a infinito obtenemos f(z) = 1. Nota. Una forma alternativa de encontrar el valor en el infinito es encontrar la imagen de 1/z para z =0.

76 76 Algunas relaciones útiles:

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79 79 Sol.: a) 4, b), c), d) 0, e) No existe, f) 6i. Sol.: No existe.

80 80 Bernhard Riemann ( ) Esfera de radio unidad centrada en el cero del plano complejo. Proyección estereográfica: hacemos corresponder cada punto del plano con un punto de la esfera como muestra la gráfica. El polo norte N de la esfera corresponde al punto del infinito. La esfera de Riemann

81 81 Otra forma de la esfera de Riemann Ahora ya podemos definir límites al infinito. Si para todo real > 0, un real > 0: |f(z) - w 0 | < para todo z: |z|> 1/. O: si para todo real > 0, un real > 0: |f(z)| < 1/ siempre que |z - z 0 | <.

82 82 Espiral de Arquímedes. Dado que, la ecuación anterior solo representa una espira de la espiral. Espirales esféricas de M.C. Escher La proyección estereográfica tiene dos propiedades importantes: las circunferencias siempre se transforman en circunferencias y la transformación conserva ángulos.

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85 85 Funciones complejas continuas Decimos que f(z) es continua en una región si es continua en todo punto de la región. Una función f(z) se dice que es continua en z = z 0 si f(z 0 ) está definida en z 0 y Ejercicio:Las sumas, diferencias y productos de funciones continuas son continuas. El cociente de dos funciones continuas es continuo salvo en los puntos en que se anula el denominador. La composición de funciones continuas es continua. Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v serán continuas en todo punto en el que f(z) lo sea. Y a la inversa: f(z) será continua en todo punto en que u(x,y) y v(x,y) lo sean. (Nota: si en el límite = (, z 0 ) no depende de z 0, la continuidad es uniforme).

86 86 Ejemplo: Sea: ¿Es continua f(z) en z = i? (1) f(i) = 3i está definido. (2) Calculemos el límite de la función cuando z tiende a i: El límite existe pero no coincide con el valor de la función: la función no es continua.

87 87 Funciones continuas Ejercicios: (1) Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v serán continuas en todo punto en el que f(z) lo sea. (2) Y a la inversa: f(z) será continua en todo punto en que u(x,y) y v(x,y) lo sean. Nota: Recuerda que, u(x,y) será continua en (a,b) sii lim (x,y)(a,b) u(x,y) = u(a,b).

88 88 Transformación w = f(z) = 1/z En este caso la transformación sí es biyectiva, excluyendo al origen. En coordenadas polares la transformación es: Una inversión en el círculo unidad (lo de fuera pasa adentro y al contrario) seguida de una reflexión respecto al eje x. Las circunferencias de radio r se convierten en circunferencias de radio 1/r. En particular, una circunferencia de radio unidad permanece invariante.

89 89 f(z) = 1/z Esquema de color dependiente del argumento DominioRango Biyección "We may thus think of the interior of the unit circle as a condensed image, a microcosmos, of its exterior". To infinity and beyond, Eli Maor

90 90 ? ¿Qué figura permanece invariante?

91 91 Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American.The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1984.

92 92 Una línea que pase por el centro O, permanece invariante... Una línea que no pase por el centro O se transforma en un círculo k que pasa por O (y al revés) y está completamente dentro del círculo unitario de inversión c. Si la línea es tangente al círculo unitario de inversión c, el círculo k toca en el mismo punto a la línea y al centro O.... Planos z y w superpuestos Vamos a describirlo con algo de mates...

93 93 Veamos con más detalle la transformación f(z) = 1/z.

94 94 Ejemplo: ¿Cuál es la imagen de la recta x = c bajo la transformación f(z) = 1/z? Es decir, un círculo de centro (1/(2c), 0) que pasa por el origen. El semiplano x > c se transforma en el interior del círculo.

95 95 Podemos escribir la ecuación general de un círculo y una recta en el plano z en la forma: Bajo la transformación 1/z, la ecuación general se convertirá en:

96 96 (1)a y d distintos de 0: círculos que no pasan por el centro se transforman en círculos que no pasan por el centro. (2) a distinto de 0 y d = 0: círculos que pasan por el centro se transforman en rectas que no pasan por el centro. (3) a = 0 y d distinto de 0: rectas que no pasan por el centro se transforman en círculos que pasan por el centro. (4) a = d = 0: rectas que pasan por el centro se transforman en rectas que pasan por el centro. Se transforma bajo 1/z en: De hecho, si pensamos en rectas como círculos de radio infinito, 1/z transforma círculos en círculos.

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98 98 u = 1/a u = -1/b b = 0; u = -v b distinto de 0; en circunferencias. v = -ku circunf. u 2 = -v 3 /(1+v)

99 99 Transformaciones bilineales o de Möbius La transformación inversa es también bilineal: Observemos que la transformación no está definida para z = -d/c. Y lo mismo ocurre con w = a/c en el caso de la inversa. El conjunto de posibles transformaciones bilineales forman un grupo. August Ferdinand Möbius ( )

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101 101 Cuando c 0, T(z) tiene un cero simple en z 0 = d/c, y entonces: Ejemplo: Si T(z) = (2z + 1)/(z – i), calcula T(0), T( ), T(i).

102 102 Las transformaciones de Möbius son biyecciones

103 103 ¿Cómo transforma la bilineal? De modo que cualquier transformación bilineal puede obtenerse como una composición de una transformación lineal y una transformación 1/z. Así que para las transformaciones bilineales transforman el conjunto de círculos y líneas en sí mismo.

104 104 Re(z) 24 Re(z') b) Determinar la imagen de la región, al considerar la transformación: Examen JUNIO 04/05: P-1

105 105 Re(z'') 3/161/4 Recordemos cómo actúa la inversión:...exterior del círculo...

106 106 Re(z''') 3/81/2...seguimos en el exterior del círculo...

107 107 Re(Z) -3/8-1/2Re(Z) 1/41/8

108 108 Ejemplo: Sea a una constante compleja tal que Im(a) > 0. Encontrar la imagen del semiplano infinito superior bajo la transformación bilineal: Consideremos primero el borde. Para los puntos z sobre el eje x, tenemos: De modo que el eje x se transforma en el círculo unidad con centro en el origen. z = a se transforma en w = 0 (un punto interior del círculo). La transformación es continua, y de aquí podemos deducir que la imagen del semiplano superior es el interior del círculo.

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116 116 Möbius Transformations Revealed is a short video by Douglas Arnold and Jonathan Rogness which depicts the beauty of Möbius transformations and shows how moving to a higher dimension reveals their essential unity. It was one of the winners in the 2007 Science and Visualization Challenge and was featured along with the other winning entries in the September 28, 2007 issue of journal Science. The video, which was first released on YouTube in June 2007, has been watched there by more than a million viewers and classified as a "Top Favorite of All Time" first in the Film & Animation category and later in the Education category. It has been selected for inclusion in MathFilm Festival 2008.Douglas ArnoldJonathan Rogness2007 Science and Visualization ChallengeScienceMathFilm Festival 2008

117 117 Tripletes a Tripletes Observa que podemos crear una transformación de Moebius a partir de tres puntos: esta transformación tendrá un cero en z = z 1 (T(z 1 ) = 0, T(z 2 ) = 1 y tiene un polo en z = z 3 (T(z 3 ) = ). De modo que T(z) transforma los complejos z 1, z 2, z 3 en 0, 1, e, respectivamente.

118 118 De la misma manera, la transformación de Moebius: transforma w 1, w 2, w 3 en 0, 1 e, y S -1 transforma 0, 1 e en w 1, w 2, w 3. De modo que w = S -1 (T(z)) transforma el triplete z 1, z 2, z 3 en el triplete w 1, w 2, w 3. Observa que como w = S -1 (T(z)), tenemos que S(w) = T(z) y

119 119 Ejemplo: Construye una transformación de Moebius que transforma los puntos 1, i, 1 sobre el círculo unidad |z| = 1 a los puntos 1, 0 y 1 sobre el eje real. Despejando w, tenemos w = i(z – i)/(z + i).

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123 123 Ejemplo: Construye una transformación de Moebius que transforma los puntos, 0, 1 sobre el eje real en los puntos 1, i, 1 sobre el círculo |w| = 1. Puesto que z 1 =, los términos z z 1 y z 2 z 1 en: son 1. Y entonces:

124 124 Versión matricial Podemos asociar la transformación bilineal a una matriz:

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126 126 Jos Leys

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139 139 August Ferdinand Möbius ( ) Max Bill, Endless surface. From 1953 to Size125 x 125 x 80 cm. Open air Sculpture Middlelheim Museum, Antverpen, Belgium. La banda de Moebius (Möbius strip)

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141 141 Moebius Strip II, M. C. Escher (1963)

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