Modelos Lineales Generalizados Mixtos Bayesianos Semiparamétricos

Presentación del tema: "Modelos Lineales Generalizados Mixtos Bayesianos Semiparamétricos"— Transcripción de la presentación:

1 Modelos Lineales Generalizados Mixtos Bayesianos Semiparamétricos
Sesión 4

2 Modelos Marginales vs GLMM
Recordemos nuestro ejemplo: p c 2 + 1 = : 5 9 8 GEE GLMM Estimación (EE) Estimación (EE) Razón (Intercept) (0.1664) (0.5707) trt (0.2467) (0.7274) times (0.0263) (0.0329) trt:times (0.0484) (0.0451)

3 GLMM Bayesianos semiparamétrico
( y i j b ) = h ( i ) = X + Z b b i d N ( ; )

4 GLMM Bayesianos semiparamétrico
( y i j b ) = h ( i ) = X + Z b b i d N ( ; ) ¿Porqué normal?

5 GLMM Bayesiano semiparamétrico
( y i j b ) = h ( i ) = X + Z b b i j G d Medida de Probabilidad Aleatoria

6 GLMM Bayesiano semiparamétrico
Modelos de probabilidad en el espacio de distribuciones de probabilidad Dirichlet Process (DP) y variaciones: Mixtures of DP DP Mixture Models Polya Trees (PT) y variaciones: Mixtures of PT

7 Procesos de Dirichlet G j M ; » D P ( )
Introducidos por Ferguson (1973, The Annals of Statistics, 1: ). Diferentes caracterizaciones: Distribución de realizaciones finito-dimensionales. Urnas de Polya (Blackwell y MacQueen, 1973, The Annals of Statistics, 1: ) Stick-Breaking (Sethuraman, 1994, Statistica Sinica, 4: ; Rolin, 1993) Notación: G j M ; D P ( )

8 Procesos de Dirichlet: Caracterización constructiva
G0 es una medida de probabilidad en el espacio de interés y M > 0 Trajectorias en el espacio de la distribuciones de probabilidad discretas: Donde, G ( ) = P 1 i ! ; 1 ; 2 : i d G ! l = V Q 1 j ( ) V 1 ; 2 : i d B e t a ( M )

9 Procesos de Dirichlet: Caracterización constructiva
Q l 1 j = ( V ) V l ! l 0.4 0.6 0.5 0.3 0.3 0.8 0.24 G0

10 µ ; : j G » G j M ; » D P ( ) Procesos de Dirichlet E ( G j M ; ) = V
Principales propiedades: Si y E ( G j M ; ) = V a r ( G j M ; ) = 1 + 1 ; : n j G i d G j M ; D P ( ) G j 1 ; : n M D P Ã + X i = !

11 Procesos de Dirichlet M=1 M=100

12 Mezclas de procesos de Dirichlet
En la práctica puede ser difícil especificar G0 para centrar el DP. Una alternativa es centrar el DP en una familia paramétrica y considerar una distribución a priori Esto se conoce con el nombre de mezcla de procesos de Dirichlet. f G : 2 g P ( d )

13 Mezclas inducidas por DP (Dirichlet process mixtures)
La naturaleza discreta de los DP es molesto en algunas aplicaciones (e.g., modelamiento de densidades). Una alternativa es considerar la convolución F ( x ) = Z f j G d M ; D P :

14 Árboles de Polya

15 Árboles de Polya

16 µ ; : j G » G j ¦ ; A » P T ( ) Árboles de Polya ® = + ² 2 E G j µ ; :
Principales propiedades: Si para todo , entonces G distribuye DP. Si y = + 1 2 E 1 ; : n j G i d G j ; A P T ( ) G j 1 ; : n P T ( A ) A = f : 2 E g ; = + n

17 Árboles de Polya Principales propiedades:
Es posible centrar el árbol de Polya en torno a un G0, i.e., E(G)=G0. asegura que G es absolutamente continua con probabilidad 1. 1 m = c 2

18 Árboles de Polya c=5 c=2000

19 Mezclas de árboles de Polya

20 GLMM Bayesiano semiparamétrico
R package DPpackage Disponible desde:

21 GLMM Bayesiano semiparamétrico
Modelo condicional: y i j ; 2 n d : N ( ) y i j n d : P o s ( e x p f g ) y i j n d : B ( e x p f g = 1 + ) y i j n d : B ( ) y i j ; n d : ( l o g ) y i j ; n d : M u l t ( K f k + ) = 1 g

22 GLMM Bayesiano semiparamétrico
Modelos noparamétricos: DP/MDP (versión actual). Mezclas de normales inducidas por un DP (DP mixtures of normals) (versión actual). PT/MPT (disponible desde el autor).

23 Ejemplo: Datos de colesterol
Estudio Framingham: 200 sujetos muestreados en forma aleatoria. Los datos incluyen el nivel de colesterol medido al inicio del estudio y cada 2 años por 10 años, la edad al inicio del estudio, y el género. Modelo: Y i j = + 1 s e x 2 a g 3 t b

24 Ejemplo: Datos de colesterol

25 Ejemplo: Datos de colesterol
Bayesian semiparametric linear mixed effect model Call: PTlmm.default(fixed = y ~ sex + age, random = ~time | newid, prior = prior, mcmc = mcmc, typep = 1, state = state, status = TRUE) Posterior Inference of Parameters: (Intercept) time sex age residual mu-(Intercept) mu-time sigma-(Intercept)-time sigma-time alpha Acceptance Rate for Metropolis Steps = Number of Observations: 1044 Number of Groups: 200

26 Ejemplo: Datos de colesterol
I C L P N r m a - 6 3 . 4 5 1 2 ( = ) ; : 7 9 T U 8

27 Ejemplo: Datos de colesterol

28 Ejemplo: Datos de colesterol

29 Ejemplo: Datos de colesterol

30 Ejemplo: Datos de Infección de la Uña

31 GLMM Bayesiano semiparamétrico

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