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Modelos Lineales Generalizados Mixtos Bayesianos Semiparamétricos Sesión 4.

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Presentación del tema: "Modelos Lineales Generalizados Mixtos Bayesianos Semiparamétricos Sesión 4."— Transcripción de la presentación:

1 Modelos Lineales Generalizados Mixtos Bayesianos Semiparamétricos Sesión 4

2 Recordemos nuestro ejemplo: p c 2 ¾ = 2 : GEE GLMM Estimación (EE) Estimación (EE) Razón (Intercept) (0.1664) (0.5707) trt (0.2467) (0.7274) times (0.0263) (0.0329) trt:times (0.0484) (0.0451) Modelos Marginales vs GLMM

3 GLMM Bayesianos semiparamétrico E ( y i j b i ) = ¹ i h ( ¹ i ) = X i ¯ + Z i b i b i ii d » N ( 0 ; § )

4 E ( y i j b i ) = ¹ i h ( ¹ i ) = X i ¯ + Z i b i b i ii d » N ( 0 ; § ) ¿Porqué normal?

5 GLMM Bayesiano semiparamétrico E ( y i j b i ) = ¹ i h ( ¹ i ) = X i ¯ + Z i b i b i j G ii d » G Medida de Probabilidad Aleatoria

6 GLMM Bayesiano semiparamétrico Dirichlet Process (DP) y variaciones: Mixtures of DP DP Mixture Models Polya Trees (PT) y variaciones: Mixtures of PT Modelos de probabilidad en el espacio de distribuciones de probabilidad

7 Procesos de Dirichlet Introducidos por Ferguson (1973, The Annals of Statistics, 1: ). Diferentes caracterizaciones: Distribución de realizaciones finito-dimensionales. Urnas de Polya (Blackwell y MacQueen, 1973, The Annals of Statistics, 1: ) Stick-Breaking (Sethuraman, 1994, Statistica Sinica, 4: ; Rolin, 1993) Notación: G j M ; G 0 » DP ( MG 0 )

8 Procesos de Dirichlet: Caracterización constructiva G 0 es una medida de probabilidad en el espacio de interés y M > 0 Trajectorias en el espacio de la distribuciones de probabilidad discretas: Donde, G ( ¢ ) = P 1 i = 1 ! i ; ± µ i ( ¢ ) µ 1 ; µ 2 ;::: ii d » G 0 V 1 ; V 2 ;::: ii d » B e t a ( 1 ; M ) ! l = V l Q l ¡ 1 j = 1 ( 1 ¡ V j )

9 Procesos de Dirichlet: Caracterización constructiva G0G ! l V l Q l ¡ 1 j = 1 ( 1 ¡ V j )

10 Principales propiedades: Si y E ( G j M ; G 0 ) = G 0 V ar ( G j M ; G 0 ) = G 0 ( 1 ¡ G 0 ) M + 1 Procesos de Dirichlet µ 1 ;:::; µ n j G ii d » G G j M ; G 0 » DP ( MG 0 ) G j µ 1 ;:::; µ n ; M ; G 0 » DP Ã MG 0 + n X i = 1 ± µ i ! :

11 M=1 M=100

12 Mezclas de procesos de Dirichlet En la práctica puede ser difícil especificar G 0 para centrar el DP. Una alternativa es centrar el DP en una familia paramétrica y considerar una distribución a priori Esto se conoce con el nombre de mezcla de procesos de Dirichlet. f G ª : ª 2 © g P ( d ª )

13 Mezclas inducidas por DP (Dirichlet process mixtures) La naturaleza discreta de los DP es molesto en algunas aplicaciones (e.g., modelamiento de densidades). Una alternativa es considerar la convolución F ( x ) = Z f ( x j µ ) G ( dµ ) G j M ; G 0 » DP ( MG 0 ) :

14 Árboles de Polya

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16 Principales propiedades: Si para todo, entonces G distribuye DP. Si y µ 1 ;:::; µ n j G ii d » G ® ² = ® ² 0 + ® ² 1 ² 2 E ¤ G j ¦ ; A » PT ( ¦ ; A ) A ¤ = f ® ¤ ² :² 2 E ¤ g ; G j µ 1 ;:::; µ n » PT ( ¦ ; A ¤ ) ® ¤ ² = ® ² + n ²

17 Árboles de Polya Principales propiedades: Es posible centrar el árbol de Polya en torno a un G 0, i.e., E(G)=G 0. asegura que G es absolutamente continua con probabilidad 1. ® ² 1 ¢¢¢ ² m = cm 2

18 Árboles de Polya c=5 c=2000

19 Mezclas de árboles de Polya

20 R package DPpackage Disponible desde: GLMM Bayesiano semiparamétrico

21 Modelo condicional: y ij j ´ ij ; ¾ 2 i n d : » N ( ´ ij ; ¾ 2 ) y ij j ´ ij i n d : » P o i sson ( exp f ´ ij g ) y ij j ´ ij i n d : » B i n ( exp f ´ ij g =( 1 + exp f ´ ij g )) y ij j ´ ij i n d : » B i n ( © ( ´ ij )) y ij j ´ ij ; ° i n d : » M u l t ( K ; f © ( ° k + ´ ij ) : k = 1 ;:::; K g ) y ij j ´ ij ; º i n d : » ¡ ( l og ( ´ ij ) ; º ) GLMM Bayesiano semiparamétrico

22 Modelos noparamétricos: DP/MDP (versión actual). Mezclas de normales inducidas por un DP (DP mixtures of normals) (versión actual). PT/MPT (disponible desde el autor). GLMM Bayesiano semiparamétrico

23 Ejemplo: Datos de colesterol Estudio Framingham: 200 sujetos muestreados en forma aleatoria. Los datos incluyen el nivel de colesterol medido al inicio del estudio y cada 2 años por 10 años, la edad al inicio del estudio, y el género. Modelo: Y ij = ¯ 0 + ¯ 1 sex i + ¯ 2 age i + ¯ 3 t ij + b 0 i + b 1 i t ij + ² ij

24 Ejemplo: Datos de colesterol

25 Bayesian semiparametric linear mixed effect model Call: PTlmm.default(fixed = y ~ sex + age, random = ~time | newid, prior = prior, mcmc = mcmc, typep = 1, state = state, status = TRUE) Posterior Inference of Parameters: (Intercept) time sex age residual mu-(Intercept) mu-time sigma-(Intercept)-time sigma-time alpha Acceptance Rate for Metropolis Steps = Number of Observations: 1044 Number of Groups: 200 Ejemplo: Datos de colesterol

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30 Ejemplo: Datos de Infección de la Uña

31 GLMM Bayesiano semiparamétrico

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