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1. PROPOSICION Ejemplos: "Hoy es Lunes" "Estoy en la clase de Física" a:a: b:b: Enunciado al que se lo puede calificar o bien como Verdadero o bien como.

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2 PROPOSICION Ejemplos: "Hoy es Lunes" "Estoy en la clase de Física" a:a: b:b: Enunciado al que se lo puede calificar o bien como Verdadero o bien como Falso. NOTACIÓN: Primeras letras del abecedario en minúscula 2

3 NO PROPOSICIONES ¡Ojala deje de llover! ¿Hiciste el deber de Matemáticas? Siéntate y quédate quieto. VALOR DE VERDAD Verdadero:1 Falso:0 Cualidad de una proposición de ser verdadera o de ser falsa. Cualidad de una proposición de ser verdadera o de ser falsa. 3

4 OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOS NEGACIÓN No Símbolo : Ejemplos : "Hoy no es Lunes " : No Estoy en la clase de Física" No es verdad que No es cierto que 0 01 1 Tabla de verdad Lenguaje Relacionado 4

5 CONJUNCIÓN y y Símbolo : Ejemplo : " Tengo un lápiz " : "Tengo un cuaderno" : " Tengo un lápiz y un cuaderno " 0 1 1 00 00 001 11 Tabla de verdad OPERADORES LÓGICOS Lenguaje Relacionado pero 5

6 DISYUNCION INCLUSIVA O O Símbolo : Ejemplo : " Tengo un lápiz " : "Tengo un cuaderno " : " Tengo un lápiz o un cuaderno " 0 1 1 00 01 011 11 Tabla de verdad Lenguaje Relacionado OPERADORES LÓGICOS 6

7 DISYUNCION EXCLUSIVA 0……o.….. 0……o.….. Símbolo : Ejemplo : Daniel está en España " : Daniel está en Italia" : Daniel está en España o en Italia " 0 0 1 00 01 011 11 Tabla de verdad o bien……o bien….. o bien……o bien….. Lenguaje Relacionado OPERADORES LÓGICOS Significa : 7

8 ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) Símbolo : Ejemplo : Apruebas el preuniversitario " : Te regalaré un carro" : Si apruebas el preuniversitario entonces te regalaré un carro " 0 1 1 01 01 001 11 Tabla de verdad Lenguaje Relacionado OPERADORES LÓGICOS Si…..entonces.…. Si…..entonces.…. 8

9 Antecedente Hipótesis Premisa Antecedente Hipótesis Premisa Consecuente Tesis Conclusión. Consecuente Tesis Conclusión. OTROS LENGUAJES RELACIONADOS: a implica b Basta a para b a sólo si b b si a b cada vez que a a solamente si b b siempre que a b puesto que a b porque a b con la condición de que a OPERADORES LÓGICOS ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) 9

10 a es condición suficiente para b b es condición necesaria para a Ejemplo: "Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2" OPERADORES LÓGICOS verdadera 1. La divisibilidad para 4 es condición suficiente para la divisibilidad para 2" 2. La divisibilidad para 2 es condición necesaria para la divisibilidad para 4" Es suficiente que un número sea divisible para 4 para que se divisible para 2" Es necesario que un número sea divisible para 2 para que se divisible para 4" Condición Necesaria y Condición Suficiente ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) 10

11 VARIACIONES LA RECÍPROCA: LA INVERSA: LA CONTRARRECÍPROCA: Ejemplo: Si me pagan entonces iré a trabajar Iré a trabajar si me pagan OPERADORES LÓGICOS LA RECÍPROCA: Si voy a trabajar entonces me pagan LA INVERSA: Si no me pagan entonces no iré a trabajar LA CONTRARRECÍPROCA: Si no voy a trabajar entonces no me pagan ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) 11

12 VARIACIONES OPERADORES LÓGICOS Importante "Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2" RECÍPROCA: "Si un número es divisible para 2 entonces es divisible para 4" Falso Contraejemplo: 6 es divisible para 2, pero no es divisible para 4" ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA (CONDICIONAL) Condicional: 12

13 BICONDICIONAL Símbolo : 0 1 1 01 00 001 11 TABLA DE VERDAD Lenguaje Relacionado Ejemplo: OPERADORES LÓGICOS Significa : : Un triángulo es equilátero : Un triángulo tiene sus ángulo de igual medida : Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus ángulos de igual medida …..si y sólo si.…. …..si y sólo si.…. 13

14 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Simples: No poseen operador lógico Compuestas: Formadas por varias proposiciones y operadores lógicos Ejemplo: El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de sus proposiciones simples. Suponga que: 14

15 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Ejemplo: Determine el valor de verdad de las proposiciones simples sabiendo que el valor de verdad de la proposición compuesta es VERDADERO. 15

16 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111110011111100 0101010101010101 0101010001010100 1100000011000000 1110101111101011 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111110011111100 0101010101010101 0101010001010100 1100000011000000 11101011110101 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111110011111100 0101010101010101 0101010001010100 11000001100000 11101011110101 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111110011111100 0101010101010101 01010100101010 11000001100000 11101011110101 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111110011111100 01010100101010 01010100101010 11000001100000 11101011110101 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 11111101111110 01010100101010 01010100101010 11000001100000 11101011110101 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 11111101111110 01010100101010 01010100101010 11000001100000 111010111010 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 11111101111110 01010100101010 01010100101010 110000110000 111010111010 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 11111101111110 01010100101010 010101010101 110000110000 111010111010 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 11111101111110 010101010101 010101010101 110000110000 111010111010 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 111111111111 010101010101 010101010101 110000110000 111010111010 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 111111111111 010101010101 010101010101 110000110000 1110111101 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 111111111111 010101010101 010101010101 1100011000 1110111101 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 111111111111 010101010101 0101001010 1100011000 1110111101 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 111111111111 010101010101 0101001010 1100011000 1110111101 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 111111111111 0101001010 0101001010 1100011000 1110111101 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111111111 0101001010 0101001010 1100011000 1110111101 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111111111 0101001010 0101001010 1100011000 11101110 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111111111 0101001010 0101001010 11001100 11101110 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111111111 0101001010 01010101 11001100 11101110 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111111111 01010101 01010101 11001100 11101110 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 11111111 01010101 01010101 11001100 11101110 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 11111111 01010101 01010101 11001100 111111 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 11111111 01010101 01010101 110110 111111 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 11111111 01010101 010010 110110 111111 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 11111111 010010 010010 110110 111111 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 111111 010010 010010 110110 111111 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 111111 010010 010010 110110 1111 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 111111 010010 010010 1111 1111 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 111111 010010 0101 1111 1111 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 111111 0101 0101 1111 1111 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111 0101 0101 1111 1111 1111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111 0101 0101 1111 11111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111 0101 0101 111111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111 0101 0111111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111 00111111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 100111111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 10011111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1001111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 101111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 11111000011110000 1100110011001100 1010101010101010 1111000011110000 1100110011001100 1111000011110000 11001100 1111000011110000 11111111 FORMAS PROPOSICIONALES Expresión constituida por símbolos que representan o conectores lógicos o variables proposicionales. Expresión constituida por símbolos que representan o conectores lógicos o variables proposicionales. Ejemplo 16

17 1 Ejemplo 111111110111011110111111 110111111 1010 10111111 1010 1010 0111111 1010 1010 0000 111111 1010 1010 0000 1010 11111 1010 1010 0000 1010 1111 110110 1010 1010 0000 1010 1110110 101101 1010 0000 1010 1110110 101101 101101 0000 1010 1110110 101101 101101 001001 1010 1110110 101101 101101 001001 101101 1110110 101101 101101 001001 101101 111111 11001100 101101 101101 001001 101101 111111 11001100 10101010 101101 001001 101101 111111 11001100 10101010 10111011 00110011 10111011 111111 11001100 10101010 10111011 00110011 101101 111111 11001100 10101010 10111011 001001 101101 111111 11001100 10101010 10111011 00110011 10111011 11111111 Si se obtienen sólo proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales Si se obtienen sólo proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales FORMAS PROPOSICIONALES TAUTOLOGÍA Si se obtienen sólo proposiciones falsas Si se obtienen sólo proposiciones falsas Si se obtienen proposiciones verdaderas y otras falsas. Si se obtienen proposiciones verdaderas y otras falsas. CONTRADICCION: CONTRADICCION: CONTINGENCIA: CONTINGENCIA: 17

18 IMPLICACIONES LÓGICAS Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A implica lógicamente a B si y sólo si es una tautología. En este caso se escribe: Ejemplo 18

19 IMPLICACIONES LÓGICAS Algunas implicaciones lógicas típicas son: Adición Simplificación Modus Ponens Modus Tollens Silogismo Disyuntivo Silogismo Hipotético 19

20 1111 1010 1010 0000 1010 1111 110110 1010 1010 0000 1010 1110110 101101 1010 0000 1010 11111 1010 1010 0000 1010 1110110 101101 101101 0000 1010 1110110 101101 101101 001001 1010 1110110 101101 101101 001001 101101 1110110 101101 101101 001001 101101 111111 11001100 101101 101101 001001 101101 111111 11001100 10101010 101101 001001 101101 111111 11001100 10101010 10111011 00110011 10111011 111111 11001100 10101010 10111011 00110011 101101 111111 11001100 10101010 10111011 001001 101101 111111 11001100 10101010 10111011 00110011 10111011 11111111 1111 1010 1010 0000 11 EQUIVALENCIAS LÓGICAS Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A es lógicamente equivalente a B si y sólo si es una tautología. Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice que A es lógicamente equivalente a B si y sólo si es una tautología. En este caso se escribe: También: Ejemplo 1111111110111011110111111 110111111 1010 10111111 1010 1010 011 20

21 ALGEBRA DE PROPOSICIONES CONJUNCIÓNDISYUNCIÓN Conmutativa Asociativa Idempotencia Identidad Absorción 21

22 ALGEBRA DE PROPOSICIONES Otras: Leyes distributivas Doble negación Leyes de De Morgan Contrarrecíproca Implicación 22

23 ALGEBRA DE PROPOSICIONES Otras: Ley del tercer excluido Ley de la contradicción Ley de exportación Reducción al absurdo 23

24 Demostrar: EJEMPLOEJEMPLO EJEMPLOEJEMPLO Soluci ó n: Identidad Contradicción Distributivas Idempotencia Distributivas Contradicción Identidad 24

25 Sea la proposición: Si tú eres inteligente y no resuelves el problema entonces desconoces la materia Siendo: m : Tú eres inteligente n : Tú resuelves el problema p : Tú desconoces la materia a) Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN: b) c) d) e) Soluci ó n: Primero: Traducción: Transformamos empleando el álgebra de proposiciones: Segundo: EJEMPLOEJEMPLO EJEMPLOEJEMPLO Implicación Ley de De Morgan Implicación Asociativa de la disyunción 25

26 Sea la proposición: Hoy es jueves y tengo que dar un examen, pero si hay huelga, entonces no voy a la Universidad Siendo: a : Hoy es jueves b : Tengo que dar un examen c : Hay huelga a) Indique a que opción corresponde la TRADUCCIÓN: b) c) d) e) Soluci ó n: Primero: Traducción: Transformamos : Segundo: EJEMPLOEJEMPLO EJEMPLOEJEMPLO Contrarrecíproca Doble Negación Conmutativa d : Me voy a la Universidad 26

27 RAZONAMIENTOS VALIDEZ Un razonamiento es VÁLIDO cuando la forma proposicional que se obtiene de la proposición compuesta que lo define, es tautológica. Un razonamiento es VÁLIDO cuando la forma proposicional que se obtiene de la proposición compuesta que lo define, es tautológica. 27

28 RAZONAMIENTOS EJEMPLO1EJEMPLO1 EJEMPLO1EJEMPLO1 "Si aumenta la producción, aumentan los ingresos; si aumentan los ingresos, se recupera la inversión. Por lo tanto, si aumenta la producción,se recupera la inversión" SOLUCIÓN: a : Aumenta la producción b : Aumentan los ingresos c : Se recupera la inversión Traducción: Forma proposicional: 28

29 EJEMPLO1EJEMPLO1 EJEMPLO1EJEMPLO1 PRIMER MÉTODO:Aplicando leyes de Equivalencias Implicación De Morgan De Morgan Asociativa Del Tercero excluido Distributiva RAZONAMIENTOS Identidad para la conjunción Asociativa Del Tercero excluido Absorción para la disyunción 29

30 EJEMPLO1EJEMPLO1 EJEMPLO1EJEMPLO1 VALIDO Segundo Método:Reducción al Absurdo RAZONAMIENTOS 30

31 RAZONAMIENTOS EJEMPLO2EJEMPLO2 EJEMPLO2EJEMPLO2 "Si soy estudioso, aprobaré el curso ; si soy fiestero, no aprobaré el curso. Por lo tanto, no puedo ser estudioso y fiestero al mismo tiempo" Solución: a : Soy estudioso b : Aprobaré el curso c : Soy fiestero Traducción: Forma proposicional: 31

32 RAZONAMIENTOS EJEMPLO2 EJEMPLO2 EJEMPLO2 EJEMPLO2 PRIMER MÉTODO:Aplicando leyes de Equivalencias Implicación De Morgan De Morgan Doble negación Asociativa Distributiva Del tercero excluido Identidad para la conjunción Asociativa Del tercero excluido Absorción para la disyunción 32

33 RAZONAMIENTOS VALIDO 33 Segundo Método:Reducción al Absurdo EJEMPLO2 EJEMPLO2 EJEMPLO2 EJEMPLO2

34 La Lógica es difícil o no les gusta a muchos estudiantes. Si la Matemática es fácil, entonces la Lógica no es difícil. Por lo tanto, la Lógica es difícil. Solución: a : La lógica es difícil b : La lógica les gusta a muchos estudiantes c : La Matemática es fácil. EJEMPLO3 EJEMPLO3 EJEMPLO3 EJEMPLO3 NO VALIDO RAZONAMIENTOS 34


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