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TEORÍA DE LA DECISIÓN. Criterio de Bayes Consideremos el problema de decisión dado en la siguiente tabla de ganancias: ACCIONES EVENTOSa1 a2a2a2a2 θ1θ1θ1θ10-4.

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1 TEORÍA DE LA DECISIÓN

2 Criterio de Bayes Consideremos el problema de decisión dado en la siguiente tabla de ganancias: ACCIONES EVENTOSa1 a2a2a2a2 θ1θ1θ1θ10-4 θ2θ2θ2θ ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

3 Aunque a 1 es la acción maximín, la acción a 2 representaría una mejor elección si el evento θ 2 tiene una buena posibilidad de ocurrir. Como se observa, se tiene una deficiencia del criterio maximín como la de ser un criterio de decisión muy conservador. En general las acciones que se adoptan utilizando el principio maximín o minimax, suponen que la naturaleza es un oponente consciente, quien desea infringir al decisor tanto daño como le sea posible. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.3

4 En algunas situaciones el decisor tendrá cierta información sobre los eventos que pueden ocurrir. Evidentemente el decisor debe tener en cuenta esta información que por lo general se puede resumir en una distribución de probabilidad, llamada distribución a priori. A menudo este tipo de distribuciones son subjetivas, en el sentido de que pueden depender de la experiencia o intuición de una persona ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.4

5 El criterio de Bayes es un procedimiento que utiliza la distribución a priori con el fin de ayudar en la selección de una acción. Para cada acción evaluamos el pago esperado con respecto a esta distribución, este pago será representado por: l (a j )=E θ [ l (a j, θ )], j=1,…,n ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.5

6 El criterio de Bayes, indica al decisor que seleccione aquella acción, llamémosla a k, que de lugar al pago esperado óptimo. Este pago, notado por l *(a k ), viene dado entonces por l *(a k )=Optimo{ l (a j )=} 1jn La decisión más conveniente no necesariamente es única. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.6

7 Ejemplo Una empresa está considerando la contratación de tres personas. El campo principal de cada uno de los probables empleados y sus salarios anuales son: PersonaEspecialidadSalario 1Publicidad12 2Ventas15 3Ventas18 7 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

8 El beneficio anual bruto (ingreso menos todos los costos excepto sueldos), que aportaría cada uno de ellos a la empresa, depende del estado de la economía y es el que aparece en la siguiente tabla Estado de Economía Persona 1 Persona 2 Persona 3 Bueno Regular Pobre ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

9 La especialidad de la persona 1 se complementa con la especialidad de las personas 2 y 3, razón por la cual, cuando aquella es contratada con una de éstas, el beneficio anual bruto que aportaría cada una de ellas sería del 120 % del dado anteriormente. Por otra parte, como las personas 2 y 3 se desempeñan en el mismo campo, si son contratadas el beneficio bruto para cada una sería sólo del 70% del señalado anteriormente. De acuerdo con la información que tien a su disposición la empresa se conoce que en un año cualquiera, el estado de la economía es bueno, regular y pobre, con probabilidades 0.6, 0.3 y 0.1 respectivamente. Determine las posibles acciones que podría adoptar la empresa. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.9

10 Tabla de los beneficios netos para la empresa Personas contratadas Est. Economía Prob a0a0a0a0 a1a1a1a1 a2a2a2a2 a3a3a3a3 a 12 a 13 a 23 a 123 Bueno , Regular Pobre Beneficio esperado ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

11 Criterio de máxima verosimilitud En este modelo, el interés se centra en el evento que tiene la mayor probabilidad, con la exclusión de los otros eventos. De esta manera, de las entradas que corresponden al evento con esta probabilidad, se escoge la acción más conveniente, obteniéndose así la acción de máxima verosimilitud. Formalmente, si θ r (1rm) es el evento más probable, se debe escoger la acción a k para la cual ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.11

12 l (a k, θ r )=Optimo{ l (a j, θ r )} 1jn ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.12

13 Ejemplo Una compañía tiene una máquina que llena frascos con aceite. En un trabajo de producción, sea θ la proporción de frascos que la máquina llena mal. Un trabajo de producción consiste en envasar 5000 frascos y el costo de llenar mal un frasco es 4. La compañía tiene la opción de contratar un experto que ajuste la máquina, a un costo de 300 más dos por cada frasco mal envasado. De experiencias anteriores la compañía ha encontrado que el valor de, θ es 0.01, 0.03, 0.05 o 0.07 con probabilidades 0.1, 0.2, 0.4 y 0.3 respectivamente. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.13

14 Las acciones que podría adoptar la compañía son: a 1 :contratar un experto para ajustar la máquina. a 2 : no contratar experto alguno. Determine la función de pagos. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.14

15 Tabla de costos Acciones Proporción θ Probabilida des a1a1a1a1 a2a2a2a ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.

16 Conclusión Es más probable que la máquina envase mal el 5% de los frascos, vemos que, la acción de máxima verosimilitud para la compañía es a 1. El costo más probable es 800 Si se compara este resultado con el criterio de bayes, ¿cuál sería la acción a tomar? Compare ahora con el criterio minimax ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DRA. SANDRA GUTIÉRREZ P.16


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