Tema 2.- Formación de imágenes bidimensional.

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1 Tema 2.- Formación de imágenes bidimensional.
Transmitacia en amplitud de una lente esférica. La lente como elemento transformador de Fourier. Imagen de un punto a través de una lente. Imagen de objetos bidimensionales.

2 Transmitancia en amplitud de una lente
Una lente convierte una onda plana en una onda esférica convergente. Por tanto, su transmitancia en amplitud sed puede expresar como:

3 Capacidad de las lentes para realizar transformadas de Fourier
Estudiemos el caso de una haz láser colimado que ilumina una pantalla difractante de transmitancia t(x,y). La distribución de amplitudes del campo, justo detrás de la lente vale:

4 Capacidad de las lentes para realizar transformadas de Fourier

5 Capacidad de las lentes para realizar transformadas de Fourier

6 Capacidad de las lentes para realizar transformadas de Fourier
La difracción (propagación), tiene la capacidad de producir TF 2D en el infinito. Las lentes, tienen la habilidad de modificar la curvatura de los haces incidentes. Por ello, una lente transforma una onda plana en una onda esférica convergente. Consecuentemente, la lente proyecta el infinito sobre su plano focal imagen. Por tanto, una lente proyecta la TF de la pantalla difractante sobre su plano focal imagen. La aplicación conjunta de las habilidades de la propagación (produce TFs en el infinito) y de las lentes (cambian la curvatura de los frentes de onda), permite a las lentes proporcionar TFs 2D a distancia finita y a la velocidad de la luz.

7 Ejemplos de patrones de Fourier
Human chromosomes and spectrum. Downloaded from

8 El espectro de señales periódicas
Es conocido que una función periódica se puede descomponer, mediante un desarrollo en serie de Fourier, en un conjunto de componentes armónicas de frecuencia creciente y peso decreciente. Veamos el ejemplo de la red de Ronchi:

9 Ejemplos de Transformadas de Fourier

10 Formación de imágenes 2D
La Óptica Geométrica nos indica que este sistema proporciona en el plano P2 la imagen de t(x,y), pero escalada en un factor M=-f2/f1. Sin embargo la Óptica Geométrica no tiene en cuenta que el frente de ondas está recortado por el diafragma de apertura. Para calcular la estructura del frente de ondas en P2, no hace falta calcular, paso a paso, dicha estructura en todos los planos intermedios. Basta con tener en cuenta que este dispositivo produce dos transformadas de Fourier en cascada.

11 Formación de imágenes 2D

12 Formación de imágenes 2D
Este proceso es LSI (2D), dado que el output se puede escribir como la convolución entre el input escalado y un determinada función 2D. En otras palabras, la imagen difractiva se calcula como la convolución entre la imagen Geométrica y la PSF. LSI significa que todas las partes del input se escalan con el mismo factor y reciben la misma respuesta impulsional. La PSF se obtiene como la Transformada de Fourier del diafragma de apertura. Su tamaño es proporcional al producto lf2. Sistema TELECÉNTRICO: tanto la pupila de entrada como la de salida están en el infinito.

13 Ejemplos de patrones de Fourier
Consideremos un transformador de Fourier típico con l=0.633 mm (láser de He-Ne) y f=50 mm.

14 Ejemplos de patrones de Fourier

15 Ejemplos de formación de imágenes 2D
Cada punto del objeto produce, en el plano imagen, un disco de Airy de radio: Las imagenes de dos puntos son discernibles (“son resueltas”) si la distancia entre ellas es mayor que el radio del disco de Airy. No resueltas Resueltas

16 Resolución y pixelado 2 pixels/disk 1 pixel/ disk
Analicemos la relación entre resolución óptica y pixelado. La resolución en el plano objeto es: La resolución en el plano imagen: 4 pixels/disk (Nyquist) 20 pixels/disk Exigencia sobre el sensor:

17 Ejemplos de resolución y pixelado.
Leika M Monochrom NA2=0.21 5212x3468 px p=7.0 mm r2=1.7 mm Þ px/disk (resolution is imposed by sensor) iPhone 5 F#= NA2=0.21 3264x2449 px p=1.4 mm r2=1.7 mm Þ 1.2 px/disk (resolución impuesta por el sensor)

18 Formación de imágenes 2D
Estrictamente, el criterio de resolución de Rayleigh, sólo puede aplicarse en el caso de el que el input esté compuesto por fuentes puntuales de la misma intensidad. Para entender el concepto de resolución en la imagen de objetos extensos de intensidad variable, es mucho mejor analizar el proceso en el dominio frecuencial.

19 Formación de imágenes 2D
Basta con hacer la TF 2D de la distribución de intensidad de la imagen: El espectro de la imagen se obtiene como el producto entre el espectro del objeto y la TF de la PSF. La función H(u,v), determina cómo son transmitidas las frecuencias del objeto a través del sistema óptico. Por eso se la denomina: Optical Transfer Function (OTF). Para entender el concepto de OTF, revisitemos el concepto de espectro de una señal.

20 El espectro de señales periódicas
Es conocido que una función periódica se puede descomponer, mediante un desarrollo en serie de Fourier, en un conjunto de componentes armónicas de frecuencia creciente y peso decreciente. Veamos el ejemplo de la red de Ronchi:

21 La imagen de la red de Ronchi
La formación de la imagen se puede entender de dos formas diferentes. Por una parte, se puede calcular la imagen como la convolución entre la imagen geométrica y la PSF (normalmente el disco de Airy). Si el diafragma de apertura es grande, el disco de Airy es estrecho, y por tanto la imagen aparece nítida. Si el diafragma de apertura es pequeño la PSF es ancha, y por tanto la imagen aparece poco nítida.

22 La imagen de la red de Ronchi
Alternativamente, se puede tener en cuenta que la primera mitad del sistema formqador de imágenes proporciona la TF del objeto. Esta TF es recortada por el diafragma de apertura. El espectro recortado sufre una segunda TF, proporcionando entonces la imagen difractiva. Cuanto menor es el diafragma de apertura, ayor es el recorte que sufre el espectro, y por tanto, mayor es el emborronado de la imagen final.

23 Otros ejemplos de imágenes difractivas
Human chromosomes and spectrum. Downloaded from

24 Otros ejemplos de imágenes difractivas
Pine needle tissue and spectrum. Downloaded from

25 Ejemplos de Transformadas de Fourier

26 Demostraciones

27 Demostraciones

28 Demostraciones