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Investigación de Operaciones UNIDAD 1. Programación lineal.

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1 Investigación de Operaciones UNIDAD 1. Programación lineal.

2 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. ¿Qué es la Investigación de Operaciones? Las primeras actividades formales de investigación de operaciones se dieron en Inglaterra durante la Segunda Guerra Mundial, cuando se encomendó a un equipo de científicos ingleses la toma de decisiones acerca de la mejor utilización de los materiales bélicos.

3 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Al término de la guerra las ideas formuladas en operaciones militares fueron adaptadas para mejorar la eficiencia y la productividad en el sector civil. Hoy en día la IO es una herramienta dominante e indispensable para tomar decisiones.

4 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Un elemento principal de la IO es el modelado matemático. Aunque la solución del modelo matemático establece una base para tomar una decisión, se deben tener en cuenta factores intangibles o no cuantificables, por ejemplo el comportamiento humano, para poder llegar a la decisión final.

5 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Modelos de IO Imaginen que tienen un compromiso de negocios por 5 semanas entre Fayetteville (FYV) y Denver (DEN). Vuelan hacia FYV el lunes y regresan el miércoles. Un boleto normal de viaje redondo cuesta $400, pero se ofrece el 20% de descuento si las fechas del boleto abarcan un fin de semana.

6 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Un boleto de viaje en cualquier dirección cuesta 75% del precio normal. ¿Cómo comprar los boletos para el periodo de cinco semanas?

7 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Podemos pensar que el caso es un problema de decisiones, cuya solución requiere identificar tres componentes. 1. ¿Cuáles son las alternativas de decisión? 2. ¿Bajo qué restricciones se toma la decisión? 3. ¿Cuál es el criterio objetivo adecuado para evaluar las alternativas?

8 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Podemos considerar tres alternativas: 1. Comprar cinco boletos normales FYV-DEN- FYV 2. Comprar uno FYV-DEN, cuatro DEN-FYV- DEN que abarquen fines de semana, y uno DEN-FYV 3. Comprar uno FYV-DEN-FYV que abarque el lunes de la primera semana y el miércoles de la última, y cuatro DEN-FYV-DEN que cubran los viajes restantes. Cada boleto de esta alternativa abarca un fin de semana.

9 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. La restricción para estas opciones es que debes poder salir de FYV el lunes y regresar el miércoles de la misma semana. Un criterio objetivo para evaluar cada alternativa es el precio de los boletos. La alternativa que tenga el costo mínimo será la mejor.

10 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. En forma específica, Costo de la alternativa 1= 5 x $400= $2000 Costo de la alternativa 2= 0.75x$400+4X(0.8x$400)+0.75 x$400=$1880 Costo de la alternativa 3= 5x(0.8x$400)=$1600

11 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Entonces, deberíamos escoger la alternativa 3 En general, el primer paso crucial de cualesquier modelo de investigación de operaciones es la definición de alternativas o las variables de decisión del problema.

12 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. A continuación, se usan las variables de decisión para construir la función objetivo y las restricciones del modelo. Terminados los tres pasos, el modelo de IO se suele organizar con el siguiente formato general:

13 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Maximizar o minimizar la función objetivo Sujeta a Restricciones

14 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Una solución del modelo es factible si satisface todas las restricciones. Es óptima si, además de ser factible, produce el mejor valor (máximo o mínimo) de la función objetivo. En el ejemplo de los boletos, el problema presenta 3 alternativas factibles, y la tercera es la produce la solución óptima.

15 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Aunque los modelos de investigación de operaciones deben optimizar determinado criterio objetivo sujeto a un conjunto de restricciones, la calidad de la solución que se obtenga depende de la exactitud del modelo para representar el sistema real.

16 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Por ejemplo, en el modelo de los boletos, si uno no puede identificar todas las alternativas dominantes para comprarlos, entonces la solución resultante sólo es óptima en relación con las alternativas que se representaron en el modelo.

17 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. En forma específica, si en el modelo falta la alternativa 3, la solución óptima resultante diría que hay que gastar $1880 como mínimo de compra de boletos, y con ello sólo se obtiene una solución subóptima del problema.

18 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. La conclusión es que la solución óptima de un modelo sólo es la mejor para ese problema. Si sucede que el modelo representa al sistema real en forma razonablemente buena, su solución también será óptima para el caso real.

19 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Solución del modelo de IO En la IO no se tiene una sola técnica general con la que se resuelvan todos los modelos matemáticos que surgen en la práctica. En lugar de eso, la clase y la complejidad del modelo matemático determina la naturaleza del método de solución.

20 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. La solución del problema de los boletos requiere una clasificación sencilla de alternativas, basada en el precio de compra total. La técnica más importante de IO es la programación lineal. Se diseña para modelos con funciones objetivo y restricciones estrictamente lineales.

21 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Hay otras técnicas, como la programación entera, en la las variables toman valores enteros; la programación dinámica, en la que el modelo original se puede descomponer en subproblemas más pequeños; la programación de red, en la que el problema se puede modelar como una red y la programación no lineal, en la que las funciones del modelo son no lineales.

22 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Una peculiaridad de la mayor parte de las técnicas de investigación de operaciones es que en general las soluciones no se obtienen en formas cerradas, es decir, parecidas a fórmulas. En lugar de esto, se determinan mediante algoritmos.

23 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Un algoritmo proporciona reglas fijas de cómputo que se aplican en forma repetitiva al problema, y cada repetición (llamada iteración) obtiene una solución cada vez más cercana a la óptima.

24 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Como los cálculos asociados con cada iteración suelen ser tediosos y voluminosos, es necesario ejecutar esos algoritmos en una computadora. Algunos modelos matemáticos pueden ser tan complicados que es imposible resolverlos con cualesquiera de los algoritmos disponibles de optimización.

25 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. En esos casos se podrá necesitar abandonar la búsqueda de la solución óptima para sólo buscar una solución buena usando heurísticas o reglas simples.

26 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. EL ARTE DEL MODELADO El modelo ilustrativo que desarrollamos de los boletos, es una representación exacta de un caso real, porque no se usan aproximaciones. Esto es raro en la IO, porque la mayor parte de las aplicaciones suelen implicar diversos grados de aproximación.

27 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. En la figura 1.1 podemos ver los niveles de abstracción que caracterizan al desarrollo de un modelo en IO.

28 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. El mundo real supuesto se abstrae del caso real, concentrándolo en variables principales que controlan el comportamiento del sistema real. El modelo, como es una abstracción del mundo real supuesto, expresa en una forma adecuada las funciones matemáticas que representan el comportamiento del sistema supuesto.

29 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Para ejemplificar los niveles de abstracción del modelado, veamos el caso de la Tyko Manufacturing, que produce una variedad de recipientes de plástico. Cuando se emite una orden de producción al departamento de producción, se adquieren las materias primas necesarias en los almacenes de la empresa, o se compran a proveedores externos.

30 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Una vez terminado un lote de producción, el departamento de ventas se hace cargo de distribuir el producto entre los consumidores. Una pregunta lógica al analizar el caso Tyko es la determinación del tamaño de un lote de producción. ¿Cómo se puede representar este caso en un modelo?

31 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Al considerar el sistema en general, se ve que algunas variables influyen en forma directa sobre el nivel de producción, entre las que están las de la siguiente lista (parcial), clasificada por departamentos. 1. Depto de producción: Capacidad de producción expresada en función de las horas máquina y mano de obra disponibles, inventario en proceso y normas de control de calidad

32 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. 2. Depto. de materiales: Existencia disponible de materias primas, programas de entrega de sus proveedores y limitaciones de almacenamiento. 3. Depto. de ventas: Pronóstico de ventas, capacidad de las instalaciones de distribución, eficacia de la campaña publicitaria y efecto de la competencia.

33 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Cada una de esas variables afecta el nivel de producción de Tyko. Sin embargo, es realmente difícil establecer relaciones funcionales explícitas entre ellas y el nivel de producción. Un primer nivel de abstracción requiere la definición de las fronteras del mundo real supuesto.

34 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Pensando un poco, se puede aproximar el sistema real mediante dos variables dominantes: 1. Tasa de producción. 2. Tasa de consumo. La determinación de la tasa de producción implica variables como la capacidad de producción, las normas de control de calidad y la disponibilidad de las materias primas.

35 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. La tasa de consumo está determinada por las variables asociadas al departamento de ventas. En esencia, se logra la simplificación del mundo real al mundo supuesto agrupando varias variables del mundo real en unas sola variable para el mundo real supuesto.

36 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Ahora es más fácil abstraer un modelo del mundo real supuesto. A partir de las tasa de producción y de consumo se pueden establecer medidas de exceso o carencia de inventario. El modelo abstraído se puede definir de modo que equilibre los costos contrapuestos de exceso y de carencia de inventario; es decir, que minimice el costo total del inventario.

37 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. PROGRAMACIÓN LINEAL Comex produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos básicos del problema.

38 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 ton. más que la de pintura para exteriores. También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 ton.

39 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Comex desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total. El modelo de programación lineal, como en cualquier modelo de investigación de operaciones, tiene 3 componentes básicos.

40 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. 1. Las variables de decisión que se trata de determinar. 2. El objetivo (la meta) que se trata de optimizar. 3. Las restricciones que se deben satisfacer. La definición correcta de las variables de decisión es un primer paso esencial en el desarrollo del modelo.

41 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Una vez hecha, la tarea de construir la función objetivo y las restricciones se hace en forma más directa. Para el problema de Comez, se necesita determinar las cantidades a producir de pinturas para exteriores e interiores.

42 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Así, las variables del modelo se definen como sigue: x 1 = Toneladas producidas diariamente, de pintura de exteriores x 2 = Toneladas producidas diariamente, de pintura de interiores Para formar la función objetivo, la empresa desea aumentar sus utilidades todo lo posible.

43 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Si z representa la utilidad diaria total (en miles de dólares), el objetivo de la empresa se expresa así: Maximizar z= 5x 1 +4x 2 A continuación se definen las restricciones que limitan el uso de las materias primas y la demanda.

44 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Las restricciones en materias primas se expresan verbalmente como sigue: Según los datos del problema, Uso de la materia prima M 1, por día: 6x 1 +4x 2 ton. Uso de la materia prima M 2, por día: 1x 1 +2x 2 ton.

45 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 se limita a 24 y 6 toneladas, respectivamente, las restricciones correspondientes se expresan como sigue: 6x 1 +4x 2 <=24 (Materia prima M1) 1x 1 +2x 2 <=6 (Materia prima M2)

46 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. La primera restricción de la demanda indica que la diferencia entre la producción diaria de pinturas para interiores y exteriores, x 2 -x 1, no debe ser mayor que 1 ton, y eso se traduce en x 2 -x 1 <=1

47 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. La segunda restricción de la demanda estipula que la demanda máxima diaria de pintura para interiores se limita a 2 ton, y eso se traduce como x 2 <=2 Una restricción implícita (o que se sobreentiende) es que las variables x 1 y x 2 no pueden asumir valores negativos. Las restricciones de no negatividad, x 1 =>0, x 2 =>0, expresan ese requisito.

48 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Entonces el modelo completo de Comex es: Maximizar z= 5x 1 +4x 2 Sujeto a 6x 1 +4x 2 <=24 (Materia prima M1) 1x 1 +2x 2 <=6 (Materia prima M2) -x 1+ x 2 <=1 x 2 <=2 x 1, x 2 =>0

49 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Cualquier valor de x1 y x2 que satisfaga todas las restricciones del modelo es una solución factible. Por ejemplo, la solución x 1 =3 ton diarias y x 2 =1 ton diaria es factible, porque no viola alguna de las restricciones, incluyendo las de no negatividad.

50 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Para comprobar este resultado se sustituye (x1=3, x2=1) en el lado izquierdo de cada restricción. Por ejemplo en la primera restricción 6x 1 +4x 2 = 6x3+4x1=22, que es menor que 24 del lado derecho. El valor de la función objetivo correspondiente a la solución (x 1 =3, x 2 =1) es z=5x3+4x1=19 (miles de dólares).

51 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Desde el punto de vista de todo modelo, nos interesa determinar la solución óptima factible que produzca la utilidad total máxima y al mismo tiempo satisfaga todas las restricciones. No se acepta enumerar las soluciones factibles, porque el modelo tiene una cantidad infinita de ellas.

52 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. En su lugar, se necesita un procedimiento sistemático que ubique con eficiencia la solución óptima. El método gráfico y su generalización algebraica resuelven este punto. En el ejemplo anterior, las funciones objetivo y restricciones son lineales, todas.

53 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. La linealidad implica que la programación lineal debe satisfacer dos propiedades: Proporcionalidad y aditividad. La proporcionalidad requiere que la contribución de cada variable de decisión en la función objetivo, y sus requerimientos en las restricciones, sea directamente proporcional al valor de la variable.

54 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Por ejempli, en el modelo de Comex, las cantidades 5x 1 y 4x 2 expresan las utilidades por producir x 1 y x 2 ton de pintura para exteriores e interiores, respectivamente, y las utilidades unitarias por ton son 5 y 4, que definen las constantes de proporcionalidad.

55 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. Si por otra parte, Comex ofrece alguna clase de descuentos por cantidad cuando las ventas son mayores que ciertas cantidades, la utilidad ya no será proporcional a las cantidades producidas por x 1 y x 2

56 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. La aditividad estipula que la contribución total de todas las variables en la función objetivo y sus requerimientos en las restricciones, sean la suma directa de las contribuciones o requerimientos individuales de cada variable.

57 1.1. Modelo de programación lineal con dos variables. En el modelo Comex, la utilidad total es igual a la suma de dos componentes individuales de utilidad. Sin embargo, si los dos productos compiten por la misma parte de mercado en forma tal que un aumento de ventas de uno afecte negativamente al otro, ya no se satisface la propiedad de aditividad.

58 1.2. Solución gráfica. SOLUCIÓN GRÁFICA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL El procedimiento de solución gráfica comprende dos pasos: 1. Determinación del espacio de soluciones que define todas las soluciones factibles del modelo.

59 1.2. Solución gráfica. 2. Determinación de la solución óptima, entre todos los puntos factibles el espacio de soluciones. Usaremos dos ejemplos en el procedimiento, para mostrar cómo se manejan las funciones objetivo de maximización y de minimización.

60 1.2. Solución gráfica. En este ejemplo resolvemos el modelo de Comex. PASO 1 Determinación del espacio de soluciones factibles: Primero, se tendrán en cuenta las restricciones de no negatividad x 1 =>0 y x 2 =>0. En la figura 2.1, el eje horizontal x 1 y el eje vertical x 2 representan las variables pinturas para exteriores y pintura para interiores, respectivamente.

61 1.2. Solución gráfica. En consecuencia, las restricciones de no negatividad limitan el área del espacio de soluciones al primer cuadrante: arriba del eje x 1 y a la derecha del eje x 2. Para tener en cuenta las otras cuatro restricciones, primero se sustituye cada desigualdad con una ecuación, y a continuación se grafica la recta resultante, ubicando dos puntos diferentes de ella.

62 1.2. Solución gráfica. Por ejemplo, después de sustituir 6x 1 +4x 2 <=24 con la recta 6x 1 +4x 2 =24, se pueden determinar dos puntos distintos, primero igualando x 1 =0 para obtener x 2 =24/4=6 y después igualando x 2 =0 para obtener x 1 =24/6=4. De este modo, la recta que pasa por los dos puntos (0,6) y (4, 0) es la que se identifica con (1) en la figura.

63 1.2. Solución gráfica. Espacio factible del modelo Comex

64 1.2. Solución gráfica. Ahora, consideramos el efecto de la desigualdad. Todo lo que hace la desigualdad es dividir al plano (x1,x2) en dos semiespacios que en este caso son semiplanos, una a cada lado de la línea graficada. Solo una de esas dos mitades satisface la desigualdad.

65 1.2. Solución gráfica. Para determinar cuál es el lado correcto, se elige cualquier punto de referencia en el primer cuadrante. Si satisface la desigualdad, el lado en el que está es el semiplano factible.

66 1.2. Solución gráfica. Desde el punto de vista de los cálculos, es cómodo seleccionar (0,0) como el punto de referencia, a menos que la recta pase por el origen; si así fuera, se debería elegir otro punto. El uso del punto de referencia (0,0) se ilustra con la restricción 6x 1 +4x 2 <=24. Como 6x0+4x0=0 es menor que 24, el semiplano que representa la desigualdad incluye al origen (lo que se indica con la flecha en la figura)

67 1.2. Solución gráfica. Para demostrar el uso de otros puntos de referencia, trazaremos (6,0). En este caso 6x6+4x0=36, que es mayor que el lado derecho de la primera restricción, y eso indica que el lado en el que está (6,0) no es factible para la desigualdad. Este resultado es consistente con el que se obtuvo usando (0,0) como punto de referencia.

68 1.2. Solución gráfica. Con la aplicación del procedimiento del punto de referencia a todas las restricciones del modelo se obtiene el espacio factible que se indica en la figura.

69 1.2. Solución gráfica. PASO 2 Determinación de la solución óptima El espacio factible de la figura está delimitado por los segmentos de recta que unen a los vértices A,B,C,D,E y F. Todo punto dentro o en la frontera del espacio ABCDEF está formado por una cantidad infinita de puntos, es obvio que se necesita un procedimiento sistemático para identificar la solución óptima.

70 1.2. Solución gráfica. Para identificar la solución óptima se requiere identificar la dirección en la que aumenta la función de utilidad z=5x 1 +4x 2 (recuerden que se está maximizando a z) Para hacerlo se asignan valores arbitrarios crecientes a z. Por ejemplo; si z=10 y z=15 equivaldría a graficar dos rectas 5x 1 +4x 2 =10 y 5x 1 +4x 2 =15.

71 1.2. Solución gráfica. En consecuencia, la dirección de aumento en z es la que se ve en la figura. La solución óptima se encuentra en C, que es el punto, en el espacio de soluciones, más allá de cualquier aumento en z saca a uno de las fronteras de ABCDEF.

72 1.2. Solución gráfica.

73 Los valores de x1 y x2 correspondientes al punto óptimo C se calculan resolviendo las ecuaciones asociadas a las rectas (1) y (2), esto es, resolviendo 6x 1 +4x 2 =24 X 1 +2x 2 =6 La solución es x1=3 y x2=1.5 y en ese caso z=5x3+4x1.5=21.

74 1.2. Solución gráfica. Eso equivale a una mezcla de productos de 3 ton. de pintura para exteriores y 1.5 ton. de pintura para interiores. La utilidad diaria correspondiente es de $21,000 No es por accidente que la solución óptima se encuentre en un punto de esquina del espacio de soluciones, donde se cruzan dos líneas.

75 1.2. Solución gráfica. En realidad, si se cambia la pendiente de la función utilidad z (cambiando sus coeficientes), se verá que la solución óptima siempre se encuentra en esos puntos de esquina. Esta observación es clave para desarrollar el algoritmo simplex general.

76 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. ANÁLISIS GRÁFICO DE SENSIBILIDAD Un modelo de programación lineal es una foto instantánea de una situación real en la que los parámetros del modelo (coeficientes de la función objetivo y de las restricciones) asumen valores estáticos.

77 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. Para aumentar la aplicación de la programación lineal en la práctica, se necesita agregar una dimensión dinámica que investigue el impacto que tiene hacer cambios en los parámetros del modelo (coeficientes de la función objetivo y de las restricciones) sobre la solución óptima.

78 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. A este proceso se le llama análisis de sensibilidad, porque estudia la sensibilidad de la solución óptima respecto a los cambios que se hagan en el modelo.

79 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. Cambios en los coeficientes de la función objetivo La función objetivo en general en un problema de programación lineal con dos variables se puede escribir como sigue: Maximizar o minimizar z=c 1 x 1 +c 2 x 2

80 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. Los cambios de los coeficientes c 1 y c 2 harán cambiar la pendiente de z y en consecuencia, posiblemente, el punto de esquina óptimo. Sin embargo, hay un intervalo de variación, tanto para c 1 como para c 2 dentro del cual el óptimo del momento permanece sin cambio.

81 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. En forma específica nos interesa determinar el intervalo de optimalidad de la relación c 1 /c 2 ( o de c 2 /c 1 ) donde se mantenga sin cambio la solución óptima del momento.

82 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. En el modelo de Comex, en la figura de la solución óptima en C proporciona el valor máximo de z=5x 1 +4x 2 Si se cambia la solución objetivo a z=c 1 x 1 +c 2 x 2 la solución en C permanecerá óptima mientras la pendiente de z quede entre las pendientes de las dos líneas que se cruzan en C, que son 6x 1 +4x 2 =24 (materia prima, M1) y x 1 +2x 2 =6 (materia prima, M2)

83 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. Esta relación se puede expresar algebraicamente como: o bien

84 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. En la primera condición, c 1 =/0 significa que la recta de la función objetivo no puede ser horizontal. De igual modo, en la segunda condición c 2 =/0 significa que z no puede ser vertical.

85 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. Como veremos en la figura, el intervalo de optimalidad en este modelo (definido por las dos rectas que se cruzan en C) no permite que la función objetivo z=c 1 x 1 +c 2 x 2 sea una línea horizontal o vertical. El resultado es que se aplica a este ejemplo cada una de las dos condiciones dadas.

86 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. Para los casos en los que c 1 y c 2 pueden asumir valores cero, el intervalo de c 1 /c 2 (o de c 2 /c 1 ) deben dividirse en dos conjuntos, en los que los denominadores no puedan ser cero. Lo que indican las condiciones para c 1 /c 2 y c 2 /c 1 es que mientras que esas relaciones estén dentro de los límites especificados, la solución óptima permanece sin cambio en C.

87 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. Observen que si sucede que z=c 1 x 1 +c 2 x 2 coincide con x 1 +2x 2 =6, pueden presentarse óptimos alternativos en cualquier lugar del segmento de la recta CD. De igual manera, si coincide 6x 1 +4x 2 =24, todos los puntos del segmento de recta BC son óptimos alternativos.

88 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. Sin embargo, esta observación no cambia el hecho de que C siga siendo el óptimo en ambos casos.

89 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. Se pueden usar las condiciones dadas para determinar el intervalo óptimo para uno de los coeficientes cuando el otro permanece con su valor original, en z=5x 1 +4x 2. Así, dado c 2 =4, el intervalo óptimo asociado para c 1 se determina a partir de la condición ½<=c 1 /c 2 <= 6 / 4 sustituyendo c 2 =4, y así se obtiene 4x½<=c 1 <=4x 6 / 4 o sea2<= c 1 <=6.

90 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad. En forma parecida, dado c 1 =5, la condición 6 / 4 <=c 1 /c 2 <=2 dará como resultado 10 / 3 <= c 2 <=10.

91 1.3. Análisis gráfico de sensibilidad.


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