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TALLER DE ARQUITECTURA IV Semestre LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS 1 Historia 2 Propiedades –2.1 Regularidad2.1 Regularidad –2.2 Simetría2.2 Simetría –2.3 Conjugación2.3.

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1 TALLER DE ARQUITECTURA IV Semestre LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS 1 Historia 2 Propiedades –2.1 Regularidad2.1 Regularidad –2.2 Simetría2.2 Simetría –2.3 Conjugación2.3 Conjugación –2.4 Esquema2.4 Esquema 3 Tabla comparativa 4 Poliedros regulares en la naturaleza 5 Bibliografía 6 Véase también 7 Enlaces externos

2 Platón (en griego: Πλάτων ) (c. 427 a. C./428 a. C. – 347 a. C.) fue un filósofo griego, alumno de Sócrates y maestro de Aristóteles, de familia nobilísima y de la más alta aristocracia. Platón (junto a Aristóteles) es quién determinó gran parte del corpus de creencias centrales tanto del pensamiento occidental como del hombre corriente (aquello que hoy denominamos "sentido común" del hombre occidental) y pruebas de ello son la noción de "Verdad" y la división entre "doxa" (opinión) & "episteme" (ciencia). Demostró (o creó, según la perspectiva desde donde se le analice) y popularizó una serie de ideas comunes para muchas personas, pero enfrentadas a la línea de gran parte de los filósofos presocráticos y al de los sofistas (muy populares en la antigua Grecia) y que debido a los caminos que tomó la historia de la Metafísica, en diversas versiones y reelaboraciones, se han consolidado. Su influencia como autor y sistematizador ha sido incalculable en toda la historia de la filosofía, de la que se ha dicho con frecuencia que alcanzó identidad como disciplina gracias a sus trabajos. Alfred North Whitehead llegó a comentar:griegofilósofo griegoSócrates Aristótelesaristocraciafilósofos presocráticossofistasantigua Greciahistoria de la filosofíaAlfred North Whitehead Platón (Πλάτων)

3 En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber: β α : Elipse (amarillo) β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)HipérbolaParábolaElipseCircunferencia Partiendo de una circunferencia (e=0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.

4 Curvas cónicas Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola Cuádrica CUERDA SECANTE TANGENTE La longitud de una circunferencia es: donde es la longitud del radio. Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:número pidiámetro Elipse

5 Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.poliedros convexospolígonosvérticescaras Esquema [editar]editar El Teorema de poliedros de Euler fija que el número de caras de un poliedro platónico más su número de vértices es siempre igual a su número de aristas más dos, es decir:Teorema de poliedros de Euler c + v = a + 2 Tabla comparativa

6 TETRAEDRO 4 LADOS CUATRO CARAS, 6 ARISTAS, Y 4 VÉRTICES, LOS POLIGONOS QUE SE FORMAN EN SUS CARAS SON TRIÁNGULOS EQUILATEROS HEXAEDRO 6 LADOS SEIS CARAS 8 VÉRTICES Y DOCE ARISTAS, LOS POLIGONOS QUE SE FORMAN EN SUS CARAS SON CUADRADOS OCTAEDRO 8 LADO, 8 CARAS 6 VÉRTICES Y 12 ARISTAS, LOS POLIGONOS QUE SE FORMAN EN SUS CARAS SON TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS

7 DODECAEDRO 12 LADOS y/o 12 CARAS 20 VÉRTICES Y 30 ARISTAS, LOS POLIGONOS QUE SE FORMAN EN SUS CARAS SON PENTÁGONOS REGULARES ICOSAEDRO 20 LADOS y/o 20 CARAS 12 VÉRTICES Y 30 ARISTAS, LOS POLIGONOS QUE SE FORMAN EN SUS CARAS SON TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS

8 Los cinco poliedros regulares convexos fueron observados por Platón, quien, maravillado por sus propiedades, asoció cada uno de ellos a un "elemento" primigenio de su filosofía (aire, agua, tierra y fuego). Curiosamente, asoció el dodecaedro al "quinto elemento" o ente espiritual de su teoría de la materia. En esta estructura de pensamiento muchos ven la génesis de la teoría molecular, pues muchos elementos cristalinos tienen una estructura atómica que obedece a la forma de tales poliedros. La combinación de poliedros regulares desarrolla superficies poliédricas que pueden ser aprovechadas en arquitectura, ingeniería, diseño industrial... Estas combinaciones de poliedros regulares son poliedros arquimedianos o el poliedro de catalán. arquitecturaingenieríadiseño industrialpoliedros arquimedianospoliedro de catalán

9 Esfera Saltar a navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase Esfera (desambiguación). Una esfera, en geometría, es un cuerpo sólido limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. También se denomina esfera, o superficie esférica, a la conformada por los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto denominado centro, es siempre la misma. La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14). Esfera proviene del término griego σφα ρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar). Coloquialmente hablado, se emplean palabras como bola, globo (globo terrestre), etc., para describir un volumen esférico.navegaciónbúsqueda Esfera (desambiguación)geometría sólidosuperficieespacio semicirculardiámetroEuclidesgriego Coloquialmente Una de las esferas más perfectas creadas, refractando la imagen de Albert Einstein. Se aproxima a la esfera ideal con un error menor que el tamaño de cuarenta átomos alineados.Albert Einsteinátomos

10 La intersección de un plano y una esfera siempre es un círculo. La esfera es el único volumen que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el plano es tangente, el área de contacto queda reducido a un punto (puede considerarse el caso límite de la intersección). Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo. Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera, aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:círculo teorema de Pitágoras (son las desigualdades triangulares, y equivalen a que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir, si existe un triángulo con lados que midan r, r' y d, donde d es la distancia entre los centros de las esferas, r y r' sus radios. En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un punto, que equivale a una circunferencia de radio cero. En general, el radio es: El volumen de una esfera de radio r, es: El área o superficie de una esfera de radio r, es:

11 Una cúpula geodésica es parte de una esfera geodésica, un poliedro generado a partir de un icosaedro o un dodecaedro, aunque puede generarse de cualquiera de los sólidos platónicos. poliedroicosaedrododecaedrosólidos platónicos

12 Las caras de una cúpula geodésica pueden ser triángulos, hexágonos o cualquier otro polígono. Los vértices deben coincidir todos con la superficie de una esfera o un elipsoide (si los vértices no quedan en la superficie, la cúpula ya no es geodésica). El número de veces que las aristas del icosaedro o dodecaedro son subdivididas dando lugar a triángulos más pequeños se llama la frecuencia de la esfera o cúpula geodésica. Para la esfera geodésica se cumple el teorema de poliedros de Euler, que indica que: C + V A = 2 Donde C es el número de caras (o número de triángulos), V el número de vértices (o uniones múltiples) y A el número de aristas (o barras usadas). Para una cúpula parcial que no sea una esfera completa se cumple: C + V A = 1triánguloshexágonosesferaelipsoideteorema de poliedros de Euler

13 Para construir esferas geodésicas se utilizan las fórmulas de los radios del dodecaedro o icosaedro. Los radios permiten levantar los nuevos vértices de los subdivisiones a la superficie de la esfera que pasará por los vértices originales del cuerpo. NOTA IMPORTANTE; Para construir esferas geodésicas se utilizan las fórmulas de los radios del dodecaedro o icosaedro. Los radios permiten levantar los nuevos vértices de los subdivisiones a la superficie de la esfera que pasará por los vértices originales del cuerpo.

14 El pandeo es un fenómeno de inestabilidad elástica que puede darse en elementos comprimidos esbeltos, y que se manifiesta por la aparición de desplazamientos importantes transversales a la dirección principal de compresión. En ingeniería estructural el fenómeno aparece principalmente en pilares y columnas, y se traduce en la aparición de una flexión adicional en el pilar cuando se halla sometido a la acción de esfuerzos axiales de cierta importancia.inestabilidad elásticaesbeltosingeniería estructural pilarescolumnasflexión EL PANDEO Representación del fallo por pandeo flexional, por deflexión creciente.

15 Pandeo global En una estructura compleja formada por barras y otros elementos enlazados pueden aparecer modos de deformación en los que los desplazamientos no sean proporcionales a las cargas y la estructura puede pandear globalmente sin que ninguna de las barras o elementos estructurales alcance su propia carga de pandeo. Debido a este factor, la carga crítica global de cierto tipo de estructuras (por ejemplo en entramados de cúpulas monocapa) es mucho menor que la carga crítica (local) de cada uno de sus elementos. El tipo de estructura más simple que presenta pandeo global para carga crítica diferente de la de sus elementos está formado por dos barras articuladas entre sí[1] y a la cimentación, que se muestra en la figura.[1]

16 Inestabilidad elástica De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsquedanavegaciónbúsqueda La inestabilidad elástica se refiere a un conjunto de fenómenos de no linealidad geométrica que se manifiesta en que los desplazamientos en un elemento estructural no son proporcionales a las fuerzas aplicadas. Eso está relacionado con que dentro de cierto rango de desplazamientos y fuerzas las ecuaciones de gobierno de dicho elemento estructural presentan no linealidad.no linealidad Fenómenos de inestabilidad elástica [editar]editar Los principales fenómenos de inestabilidad elástica son: Pandeo flexional, que se da especialmente en pilares y prismas mecánicos de gran esbeltez flexional.Pandeo flexionalpilaresprismas mecánicos esbeltez flexional Inestabilidad lateral, que se da básicamente en vigas en piezas de pequeña esbeltez torsional.vigas esbeltez torsional Inestabilidad de arcos (snap through unidimensional), que se da en arcos o piezas planas de directriz curva cargados en el plano de curvatura.arcos Inestabilidad de cúpulas (snap through bidimensional), que se da en cúpulas poco apuntadas bajo cargas verticales.cúpulas Abolladura local, que se da en elementos bidimensionales en los que en alguna dirección existen tensiones de compresión, paralelas al plano tangente al elemento.Abolladura local


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