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S ELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA Y VALIDACIÓN DEL MODELO 1.

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1 S ELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA Y VALIDACIÓN DEL MODELO 1

2 CONTENIDO Criterio para la selección del modelo De la selección de la estructura del modelo La validación de los modelos 2

3 C RITERIO PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO 3

4 S ELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA DEL MODELO La elección de una estructura apropiada (por ejemplo: ARX, ARMAX, etc.) es un paso crucial en identificación de sistemas. Y dicha elección debe estar basada en el entendimiento del proceso de identificación, conocimiento del sistema a identificar. 4

5 S ELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA DE UN MODELO LTI ESTANDAR La selección de la estructura a identificar ( para el caso de modelos LTI estandar) trata de la especificación de tres fenómenos diferentes: Selección de la estructura del modelo ARX, ARMX Selección de la complejidad del modelo na, nb, nk Parametrizacion del modelo Modelo lineal o no 5

6 Seleccionada la estructura el siguiente paso es la estimacion de parametros El objetivo último del usuario de los métodos de identificación, será el de encontrar un buen modelo a un precio bajo. ¿Pero cuándo un modelo es bueno? C RITERIO PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO ¿Pero cuándo un modelo es caro? 6

7 ¿C UÁNDO UN MODELO ES BUENO ? La aceptación de un modelo dependerá en ultima instancia de su uso, Requerimientos mas generales estan relacionados con la consistencia: 7 Simulacion o diseño del controlador Bias pequeña numero de parametros grande Varianza pequeña numero de parametros pequeño

8 ¿C UÁNDO UN MODELO ES BUENO ? Numero de parametros grande 8 Este efecto se denomina overfitting La varianza de los parámetros puede ser grande. Lo que es peor, algunos de los parámetros no proporcionan información sobre el sistema, sólo se utilizan para generar algunas características de la salida correspondientes a la realización específica del ruido. Estos parámetros se cambian significativamente al repetir el experimento con una realización diferente del ruido.

9 ¿C UÁNDO UN MODELO ES BUENO ? Numero de parametros pequeño 9 La varianza de los parámetros es pequeña. El ajuste de los datos es malo

10 ¿C UÁNDO UN MODELO ES CARO ? El precio asociado con la identificación del modelo. El precio asociado con la aplicación del modelo Esfuerzo asociado a la identificacion del modelo En tiempo real el orden del modelo esta limitado por la velocidad computacional 10

11 D E LA SELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA DEL MODELO 11

12 E LECCION DE LA ESTRUCTURA Cada una de las estructuras (ARX, ARMAX, OE o BJ) tiene sus propias características y debe ser elegida fundamentalmente en función del punto en el que se prevé que se añade el ruido en el sistema.

13 E LECCION DE LA ESTRUCTURA El vector de coeficientes hace que el modelo se ajuste a los datos de entrada-salida del sistema real Puede ser necesario ensayar con varias estructuras y con varios órdenes dentro de una misma estructura hasta encontrar un modelo satisfactorio.

14 E LECCION DE LA COMPLEJIDAD Para elegir la complejidad de la estructura del tipo de modelo considerado hay que determinar el orden de cada uno de los polinomios es decir na, nb, nc, nd, nf y nk. Una vez elegidos estos valores, queda determinar el vector de coeficientes a i, b i, c i, d i y f i

15 E LECCION DE LA ESTRUCTURA Ejemplo: Supóngase el sistema ¿Cuál es el tipo de estructura más apropiada a elegir para identificación?

16 E LECCION DE LA ESTRUCTURA : E JEMPLO El tipo de estructura más apropiada para identificación debe ser del tipo Output Error (OE). Por tanto n b = 2, n f = 3 y n k = 2.

17 E LECCION DE LA ESTRUCTURA : E JEMPLO El tipo de estructura más apropiada para identificación debe ser del tipo Output Error (OE). ¡ Sin embargo, en la mayoría de los casos el diseñador no dispone de la información sobre el sistema real !

18 C RITERIOS PARA EVALUAR LA SELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA DEL MODELO Cuatro fuentes de información, Consideraciones a priori, antes de realizar experimentos. Análisis de los datos obtenidos en experimentos preliminares Comparación a posteriori de diferentes estructuras de modelos identificados Validación del modelo Ljung (1987) 18

19 Basados en el conocimiento previo del proceso podría obtenerse información clara acerca Este conocimiento ofrece también información sobre el número esperado de parámetros n del modelo C ONSIDERACIONES A PRIORI 19 Del orden (mínimo) del modelo, Carácter de la perturbación del ruido en los datos Regla empirica:

20 A NÁLISIS DE EXPERIMENTOS PRELIMINARES Una vez estan disponibles los datos obtenidos en los experimentos preliminares Puede obtenerse información acerca del orden del modelo 20 Identificación no paramétrica Picos de resonancia y anti-resonancia Cambios en la fase también pueden proporcionar información sobre la presencia de polos y ceros. El analisis de los datos incluye:

21 C OMPARACIÓN DE LA ESTRUCTURA DE MODELOS IDENTIFICADOS Una vez identificados un numero de modelos es posible comparar diferentes estructuras Una manera podria ser comparar el valor de la función de costo para los diferentes modelos con los datos de estimacion 21

22 C OMPARACIÓN DE LOS MODELOS Prueba del orden del modelo para una estructura ARX 22 n = na+nb

23 C OMPARACIÓN DE LA ESTRUCTURA DE LOS MODELOS IDENTIFICADOS Otra manera: Evaluar el valor de la función de costo con otros los datos Este mecanismo, denominado validación cruzada 23

24 C OMPARACIÓN DE LOS MODELOS Prueba del orden del modelo para una estructura ARX 24 n = na+nb Utilizando validación cruzada

25 C OMPARACIÓN DE LA ESTRUCTURA DE MODELOS IDENTIFICADOS Otros dos criterios para la selección del orden del modelo El Criterio de Información de Akaike (AIC). El Criterio del Error de Predicción Final de Akaike (FPE). 25

26 C OMANDOS RELEVANTES EN M ATLAB Funciones para la selección de la estructura óptima de un modelo Selección de la estructura del modelo arxstruc Cálculo de las funciones de pérdidas de un conjunto de estructuras ARX. ivstrucCálculo de las funciones de pérdidas de un conjunto de estructuras OE. selstrucSelección de la estructura con menor función de pérdidas. struc Generación de un conjunto de estructuras. 26

27 L A VALIDACIÓN DE LOS MODELOS 27

28 L A VALIDACION DE LOS MODELOS La mayoría de los métodos de validación tratan de determinar, si la respuesta del modelo se ajusta con suficiente exactitud a los datos de entrada-salida obtenidos mediante experimentación Basado en algunos criterios típicos 28

29 C RITERIOS TÍPICOS PARA SELECCIONAR UN MODELO Simulacion del modelo con datos no usados en la estimacion de los parametros Intervalos de fiabilidad de los parámetros Análisis de los residuos Coherencia en el comportamiento de entrada-salida Reducción del modelo por cancelacion de polos y ceros Validación en base a la aplicación del modelo 29

30 S IMULACIÓN DEL MODELO Una técnica de validación de modelos: Simular el modelo con un conjunto de entradas distintas a las utilizadas para identificación, Comparar la respuesta del modelo con la obtenida del sistema real 30

31 I NTERVALOS DE FIABILIDAD DE LOS PARÁMETROS Otro método: comparar los parámetros estimados con su desviación estándar Si el intervalo de confianza de un parámetro es muy grande, indica un modelo con orden demasiado alto 31 Se debe considerar la posibilidad de eliminar dicho parámetro.

32 A NÁLISIS DE LOS RESIDUOS Se conocen como residuos de un sistema a los errores de predicción 32 siendo la respuesta real del sistema la respuesta estimada por el modelo El error de prediccion debe ser un ruido blanco

33 A NÁLISIS DE LOS RESIDUOS Los residuos deben converger a un ruido blanco Dos pruebas: Evaluando la autocorrelacion de los residuos Evaluando la correlacion cruzada 33

34 A NÁLISIS DE LOS RESIDUOS Idealmente, los residuos deben ser independientes de la entrada Si no sucede así, significa que hay componentes en los residuos que proceden de la entrada u ( t ), lo cual a su vez significa que el modelo no es capaz de describir completamente la dinámica del sistema. 34

35 A NÁLISIS DE RESIDUOS PARA DOS MODELOS Modelo con un orden adecuadoModelo con un orden inferior 35

36 C OHERENCIA EN EL COMPORTAMIENTO DE ENTRADA - SALIDA Puede ser necesario recurrir a diferentes métodos de identificación y comparar los resultados obtenidos. Por ejemplo, comparando los diagramas de Bode de los modelos obtenidos mediante diferentes metodos identificación paramétrica, por el método de variables instrumentales y por análisis espectral 36

37 Comparación de la respuesta en frecuencia obtenida mediante dos métodos de identificación distintos 37

38 R EDUCCIÓN DEL MODELO Si una reducción en el orden del modelo no produce alteraciones apreciables en el comportamiento del mismo, entonces el modelo original era innecesariamente complejo. Para modelos LTI, supone la presencia de un polo y un cero (o más pares) que se cancelan 38

39 C ASO DE UN MODELO DEMASIADO COMPLEJO Diagrama de ceros y polos Cancelación de un cero y un polo 39

40 V ALIDACIÓN EN BASE A LA APLICACIÓN DEL MODELO En la práctica es imposible determinar si un modelo responde exactamente al comportamiento del sistema real, Es suficiente comprobar que el modelo es capaz de resolver el problema para el cual ha sido hallado 40

41 E JEMPLO 41

42 E JEMPLO Ejemplo: Supóngase el sistema Estimar los parámetros del modelo OE escogido Estimar un modelo ARX Validar el modelo

43 P ROBLEMAS Ver el documento Tema 3 _problemes.pdf De los profesores Teresa Escobet y Bernardo Morcego de la Escola Universitària Politècnica de Manresa [Escobet et al., 2003].

44 FUENTES Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identication for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004 Escobet Teresa, Morcego Bernardo, Identificación de sistemas. Notas de clase. Departament d'Enginyeria de Sistemes, Automàtica i Informàtica Industrial. Escola Universitària Politècnica de Manresa Kunusch Cristian, Identificación de Sistemas de Dinamicos. Catedra de Control y Servomecanismos. Universidad Nacional de La Plata, Facultad de Ingenieria, Dpto. de Electrotecnia López Guillén, Mª Elena, Identificación de Sistemas. Aplicación al modelado de un motor de continua. Universidad de Alcalá de Henares, Departamento de Electrónica. Enero,


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