El Lenguaje Algebraico Si a un número entero le sumamos su doble, divides el resultado por 3 y, finalmente, multiplicas todo por 2, ¿qué número obtienes?.

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2 El Lenguaje Algebraico Si a un número entero le sumamos su doble, divides el resultado por 3 y, finalmente, multiplicas todo por 2, ¿qué número obtienes?. Para resolver problemas de este tipos recurrimos al Álgebra, es decir, a la rama de la matemática que estudia la relación entre los números, letras y signos. Veamos cómo escribir este problema usando letras. El Lenguaje Algebraico Si a un número entero le sumamos su doble, divides el resultado por 3 y, finalmente, multiplicas todo por 2, ¿qué número obtienes?. Para resolver problemas de este tipos recurrimos al Álgebra, es decir, a la rama de la matemática que estudia la relación entre los números, letras y signos. Veamos cómo escribir este problema usando letras. Sea a el número entero a Dividimos por tres a + 2a 3 Dividimos por tres a + 2a 3 Multiplicamos todo por 2 2 a + 2ª 3 Multiplicamos todo por 2 2 a + 2ª 3 El numero entero más su doble a + 2a

3 LAS EXPRESIONES MÁS USADAS SON:

4 Ejercicios 1.- Expresa en lenguaje algebraico. a) A aumentado en el doble de b. _______ b) Cincuenta menos el producto de diez por p. _______ c) La mitad de un número x, más su quina parte. _______ d) El cuadrado de un número y, disminuido en tres. _______ e) La diferencia de los cubos de x e y. _______ f) El sucesor de un número v. _______ g) Los 3 primeros múltiplos de x. _______ h) La suma de dos números es 8. _______ i) La diferencia de dos números es dos. _______ j) La suma de tres números es menor que diez. _______ 2.- Si x es la edad Patricia, expresa en lenguaje algebraico a) La edad de que tenía hace cinco años. b) La edad que tendrá dentro de cinco años. c) Los años que faltan para que cumpla 80 1.- Expresa en lenguaje algebraico. a) A aumentado en el doble de b. _______ b) Cincuenta menos el producto de diez por p. _______ c) La mitad de un número x, más su quina parte. _______ d) El cuadrado de un número y, disminuido en tres. _______ e) La diferencia de los cubos de x e y. _______ f) El sucesor de un número v. _______ g) Los 3 primeros múltiplos de x. _______ h) La suma de dos números es 8. _______ i) La diferencia de dos números es dos. _______ j) La suma de tres números es menor que diez. _______ 2.- Si x es la edad Patricia, expresa en lenguaje algebraico a) La edad de que tenía hace cinco años. b) La edad que tendrá dentro de cinco años. c) Los años que faltan para que cumpla 80

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7 Monomio Monomio es aquella Expresión Algebraica que posee solo un Término algebraico Ejemplos: 5 x 2 yz 4 -25 q 2 pz 4 -0,8xy

8 Binomio binomio es aquella Expresión Algebraica que posee dos Términos algebraicos Ejemplos: p + q 5 x 2 yz 4 + 3xy z2x 3yz 4 +7z 2 q 2 + pz 4

9 Trinomio Trinomio es aquella Expresión Algebraica que posee tres Términos algebraicos Ejemplos: 3xp + r- 6 z 4 +7z + q -2 q 2 – x + pz 4 La practica hace al maestro

10 Polinomio Multinomio es aquella Expresión Algebraica que posee cuatro o más términos algebraicos Ejemplos:  x 2 + 8x + xy + 5  3a 2 b – 8 a 2 b – 7a 2 b + 3a 2 b  d 4 – d 3 – d 2 + d – 1 + 2 Recuerda esto te acompañara siempre

11 Término Algebraico Coeficiente Numérico Factor Literal Observación: Si el coeficiente numérico no esta escrito, entonces es 1. Si el grado no esta escrito, entonces es 1

12 Valor de una Expresión Algebraicas Las expresiones algebraicas no representan valores en sí, sino que pueden ser evaluadas para distintos valores que se les asignen a las letras que las componen. Ejemplos: Sea x=, y =, reemplazando esos valores en la expresión : 3xy + y- 5 = 3( 3 )( -5 )+( )- 5 = 9 ( ) - 5 - 5= - 45 -10 = -55 3 -5 -5-5

13 Ejemplo: Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresión: =3 a – 2b – 5a + 4b – 6a + 3b = =3  3 - 2  2 - 5  3 + 4  2 - 6  3 + 3  2 = = 9 - 4 - 15 + 8 - 18 + 6 = -14 Para x = 4 2x – 1 = 2.4 – 1 = 8 – 1 = 7 X² - 3 = 16 – 3 = 13 3x/2 = 3.4/2 = 12/2 = 6 Valor de una Expresión Algebraicas

14 Ejemplo: 3, 7, 11, 15 … ¿Qué término sigue? Si nos fijamos, cada término se obtiene sumando 4 (+4) al anterior. Luego el término siguiente será el número 19. Pero si nos preguntan qué término ocupa la posición 20, tendríamos que escribir todos los números anteriores para saber cuál es. Esto se soluciona calculando la expresión algebraica de su formación con respecto a su posición o lugar que ocupa. Sucesiones

15 Así: 3, 7, 11, 15, 19, … 1 2 3 4 5 Como la serie va de 4 en 4, la regla en cuanto a su posición será 4x, y para obtener el valor exacto observamos que debemos restar 1 (-1). Luego la expresión quedaría como: 4x – 1 De esta forma el término veinte será: 4.20 -1 = 80 – 1 = 79 Sucesiones

16 Otro ejemplo: 5, 8, 11, 14, 17, … 1 2 3 4 5 La serie va de 3 en 3 (sumar 3 al anterior “+3”. Entonces, la regla de recurrencia será 3x, y para obtener el valor exacto observamos que debemos sumar 2 “+2”. Luego la expresión quedaría como: 3x + 2 De esta forma, p.e. el término doce será: 3.12 + 2 = 36 + 2 = 38 Sucesiones

17 Ejercicios: 1.- Calcula la regla de formación y el término 15 de las siguientes sucesiones: a)1, 4, 7, 10, 13, … b)2, 4, 6, 8, 10, … c)-7, -2, 3, 8, 13, … d)1, 4, 9, 16, 25, … e)-2, 2, 6, 10, 14,... f)2, 4, 8, 16, 32, … g)0, -2, -4, -6, -8, … h)3, 9, 15, 21, 27, … i)2, 5, 10, 17, 26, … j)1, 3, 5, 7, 9, … Sucesiones

18 Solución: a) 3x-2 T(15)= 3.15-2= 45-2= 43 b) 2x T(15)= 2.15= 30 c) 5x-12 T(15)= 5.15-12= 75-12= 63 d) x² T(15)= 15² = 225 e) 4x-6 T(15)= 4.15-6= 60-6= 54 f) 2ⁿ T(15)= 2¹⁵ = 32768 g) 2-2x T(15)= 2-2.15= 2-30= -28 h) 6x-3 T(15)= 6.15-3= 90-3= 87 i) x² +1 T(15)= 15² +1= 225+1= 226 j) 2x-1 T(15)= 2.15-1= 30-1= 29 Sucesiones

19 Términos semejantes Los términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal y el mismo exponente es decir son idénticas. Ejemplos: En 2a 2 b-ab-3 a 2 b, los términos 2a 2 b y -3 a 2 b son semejantes. En -0,2m 3 n-0,1mn 2 -6 mn 2 + m 3 n, hay dos pares de términos semejantes: -0,2m 3 n con m 3 n y -0,1mn 2 con -6 mn 2 La expresión x 3 + x 2 y+xy 2 +y 3 no tiene términos semejantes. Los términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal y el mismo exponente es decir son idénticas. Ejemplos: En 2a 2 b-ab-3 a 2 b, los términos 2a 2 b y -3 a 2 b son semejantes. En -0,2m 3 n-0,1mn 2 -6 mn 2 + m 3 n, hay dos pares de términos semejantes: -0,2m 3 n con m 3 n y -0,1mn 2 con -6 mn 2 La expresión x 3 + x 2 y+xy 2 +y 3 no tiene términos semejantes.

20 Términos semejantes Reducción de términos semejantes: se pueden reducir al sumar o restar, sumando o restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal. La reducción se realiza bajo las siguientes reglas: 1.- si ambos son positivos, suma y se conserva el signo positivo 2.-si poseen signos diferentes, se restan y se conserva el signo del mayor valor absoluto. Ejemplo: El término 3x 2 y y el término 2x 2 y, son semejantes. ( tiene factor literal iguales) y al sumarlo da 5x 2 y El término 6ab 2 +4ab-4 ab 2 -ab 2 +2 ab -11a-1 se reduce cada grupo de términos semejantes Reducir los términos con parte literal 6 ab 2 -4ab 2 -ab 2 = (6-4+1) ab 2 =1 ab 2= ab 2 en los termino con parte literal ab: 4ab+2ab-11ab=(4+2-11)ab=-5ab luego la expresión algebraica se reduce a: ab 2 -5ab-1 Reducción de términos semejantes: se pueden reducir al sumar o restar, sumando o restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal. La reducción se realiza bajo las siguientes reglas: 1.- si ambos son positivos, suma y se conserva el signo positivo 2.-si poseen signos diferentes, se restan y se conserva el signo del mayor valor absoluto. Ejemplo: El término 3x 2 y y el término 2x 2 y, son semejantes. ( tiene factor literal iguales) y al sumarlo da 5x 2 y El término 6ab 2 +4ab-4 ab 2 -ab 2 +2 ab -11a-1 se reduce cada grupo de términos semejantes Reducir los términos con parte literal 6 ab 2 -4ab 2 -ab 2 = (6-4+1) ab 2 =1 ab 2= ab 2 en los termino con parte literal ab: 4ab+2ab-11ab=(4+2-11)ab=-5ab luego la expresión algebraica se reduce a: ab 2 -5ab-1

21 Ejercicios de reducción de términos semejantes Yo confío en ustedes