Probabilidad 1.- Experimentos aleatorios. Espacios muestrales 2.- Sucesos aleatorios. Tipos de sucesos: 2.1.-Sucesos elementales 2.2.-Suceso seguro 2.3.-Suceso.

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1 Probabilidad 1.- Experimentos aleatorios. Espacios muestrales 2.- Sucesos aleatorios. Tipos de sucesos: 2.1.-Sucesos elementales 2.2.-Suceso seguro 2.3.-Suceso imposible 2.4.-Suceso contrario 2.5.-suceso compatible e incompatible 3.-Operaciones con sucesos: 3.1.-Unión de sucesos 3.2.-Intersección de sucesos 3.3.-Diferencia de sucesos 4.-Leyes de Morgan 5.-Regla de La Place 6.-Definición axiomática de probabilidad 7.-Probabilidad condicionada.Sucesos dependientes e independientes 8.- Teorema de la probabilidad total 9.-Teorema de Bayes

2 Probabilidad La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

3 Experimentos aleatorios. Espacios muestrales El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles. Se simboliza con la letra E. Los elementos que lo forman se escriben entre llaves: { }. Ejemplos: Si consideramos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, los posibles resultado son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Por tanto: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Si consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda, los resultados posibles son cara y cruz: E = { cara, cruz } = { C, X }

4 Sucesos aleatorios. Tipos de sucesos -Sucesos elementales -Suceso seguro -Suceso imposible -Suceso contrario -suceso compatible e incompatible

5 Sucesos aleatorios. Tipos de sucesos: ● Suceso simple o elemental: Aquel suceso que está formado por un único resultado del espacio muestral. A = "Salir el número 3" = { 3 } ● Suceso compuesto: Aquel suceso que está determinado por 2 o más resultados del mismo. B = "Salir un número par" = { 2, 4, 6 } ● Suceso seguro: Aquel suceso que está formado por todos los resultados posibles del experimento y por tanto, coincide con el espacio muestral. E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ● Suceso imposible: Aquel suceso que nunca se verifica. Se representa con la letra C = "Salir un número mayor que 7”

6 Sucesos aleatorios. Tipos de sucesos: ● Sucesos contrarios: El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por suceso contrario. ● Ejemplo:Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado. ● Sucesos compatibles: Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común. ● Ejemplo:Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común. ● Sucesos incompatibles: Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. ● Ejemplo:Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

7 Operaciones con sucesos -Unión de sucesos -Intersección de sucesos -Diferencia de sucesos

8 Unión de sucesos La unión de sucesos, A unión B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Es decir, el suceso A unión B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos. A unión B se lee como "A o B". Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A unión B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A unión B = {2, 3, 4, 6}

9 Interseccion de sucesos La intersección de sucesos, A intersección B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. Es decir, el suceso A intersección B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B. A intersección B se lee como "A y B". Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A intersección B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A intersección B = {6}

10 Diferencia de sucesos La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B. A − B se lee como "A menos B". Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A − B = {2, 4}

11 Leyes de Morgan Son una parte de la Lógica proposicional, analítica,y fueron creada por Augustus de Morgan. Estas declaran las reglas de equivalencia en las que se muestran que dos proposiciones pueden ser lógicamente equivalentes. Las Leyes de Morgan permiten: El cambio del operador de conjunción en operador de disyunción y viceversa. Las proposiciones conjuntivas o disyuntivas a las que se aplican las leyes de Morgan pueden estar afirmadas o negadas (en todo o en sus partes). Casos: ¬(P ^ Q) ≡ (¬P v ¬Q) Si nos encontramos con una proposición conjuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva con cada uno de su miembros negados

12 Leyes de Morgan (P v Q) ≡ (¬P ^ ¬Q) Si nos encontramos con una proposición disyuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva con cada uno de sus miembros negados (P ^ Q) ≡ ¬ (¬ P v ¬ Q) Si nos encontramos con una proposición conjuntiva afirmada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva negada en su totalidad y en sus miembros. (P v Q) ≡ ¬(¬P ^ ¬Q) Si nos encontramos con una proposición disyuntiva afirmada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva negada en su totalidad y en sus miembros

13 Regla de Laplace Este dado no está trucado. Su espacio muestral es : E ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si lo lanzas muchísimas veces. ¿Qué número saldrá más veces el 1 o el 2 o el 3, o el 4, o el 5, o el 6? ¿ Cuál será la probabilidad de que salga un 1 ? ¿y un 2? ¿y un 3?... Parece que todos los sucesos elementales, todos los del espacio muestral E, tienen la misma probabilidad de ocurrir. Son EQUIPROBABLES. Entonces si quieres calcular la probabilidad del suceso ser par: A= {2, 4 o 6 } saldrá 3 de 6: 3 casos que tiene el suceso A. 3 6 que tiene el espacio muestral E

14 Definicion axiomatica de probabilidad Para hacer una definición rigurosa de la probabilidad, necesitamos precisar ciertas leyes o axiomas que deba cumplir una función de probabilidad. Intuitivamente estos axiomas deberían implicar, entre otras, las siguientes cuestiones, que nos parecen lógicas en términos de lo que se puede esperar de una función de probabilidad: * La probabilidad sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1(no puede haber sucesos cuya probabilidad de ocurrir sea del 200% ni del 5% * La probabilidad del suceso seguro es 1, es decir, el 100% * La probabilidad del suceso imposible debe ser 0. * La probabilidad de la intersección de dos sucesos debe ser menor o igual que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado,

15 Definicion axiomatica de probabilidad En las últimas líneas hemos esbozado ciertas propiedades que debería cumplir una función que queramos llamar probabilidad. Hemos de tener en cuenta entonces que siguiendo esos puntos: 1. La función de probabilidad debe calcularse sobre subconjuntos de E. No es estrictamente necesario que sean todos, pero si es necesario que si se puede calcular sobre un conjunto, lo pueda ser también sobre su complementario, y que si se puede calcular sobre dos conjuntos A y B, que también se pueda calcular sobre su unión y su intersección. Para ello introduciremos el concepto de $\sigma $-álgebra de sucesos, que será una clase de subconjuntos de Esobre los que podamos aplicar las reglas de la probabilidad. 2. Entre las leyes que debe cumplir una función de probabilidad y que hemos escrito antes, hemos observado que algunas son redundantes, ya que se pueden deducir de las demás. Con la definición axiomática de la probabilidad pretendemos dar el menor conjunto posible de estas reglas, para que las demás se deduzcan como una simple consecuencia de ellas.

16 Probabilidad condicionada.Sucesos dependientes e independientes El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son dependientes entre sí. Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A ) Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) P( B ) ó P( A/B ) P( A ) Como consecuencia inmediata de la definición se tiene: Dos sucesos A y B son independientes si se cumple: P( A B ) = P( A ) · P( B ) Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez: P( A B ) = P( A ) · P( B ) P( A C ) = P( A ) · P( C ) P( B C ) = P( B ) · P( C ) P( A B C ) = P( A ) · P( B ) · P( C )

17 Teorema de la probabilidad total Si A 1, A 2,..., A n son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E). Y B es otro suceso. Resulta que: p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) +... + p(An) · p(B/An )

18 Teorema de Bayes Si A 1, A 2,..., An son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E). Y B es otro suceso. Resulta que: Bayes Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori. Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori. Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.