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Bioestadística Elementos de Probabilidad para la Inferencia Estadística
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Teoría de Conjuntos. n Se entiende por conjunto toda colección de elementos definidos y diferentes (o mutuamente exclusivos). n Un conjunto se clasifica como finito o infinito según el número de sus elementos. n Los conjuntos se identifican con una letra mayúscula, los elementos con letras minúsculas o números agrupados entre llaves. Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {a, e, i, o, u}.
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Teoría de Conjuntos. n Se entiende por conjunto toda colección de elementos definidos y diferentes (o mutuamente exclusivos). n Un conjunto se clasifica como finito o infinito según el número de sus elementos. n Los conjuntos se identifican con una letra mayúscula, los elementos con letras minúsculas o números agrupados entre llaves. Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {a, e, i, o, u}.
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Teoría de Conjuntos. n Se entiende por conjunto toda colección de elementos definidos y diferentes (o mutuamente exclusivos). n Un conjunto se clasifica como finito o infinito según el número de sus elementos. n Los conjuntos se identifican con una letra mayúscula, los elementos con letras minúsculas o números agrupados entre llaves. Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {a, e, i, o, u}.
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Teoría de Conjuntos. n Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, sin que importe el orden, es decir: {1, 2} = {2, 1}. n A partir de cualquier conjunto pueden definirse uno o más subconjuntos. Se entiende que un subconjunto nunca tiene más elementos que el conjunto que lo contiene, y que un conjunto puede ser subconjunto de si mismo.
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Teoría de Conjuntos. n Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, sin que importe el orden, es decir: {1, 2} = {2, 1}. n A partir de cualquier conjunto pueden definirse uno o más subconjuntos. Se entiende que un subconjunto nunca tiene más elementos que el conjunto que lo contiene, y que un conjunto puede ser subconjunto de si mismo.
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Teoría de Conjuntos. n Si un conjunto está contenido dentro de otro, todos los elementos del conjunto principal que no son elementos del subconjunto forman el conjunto complementario. Para representar el conjunto complementario utilizamos una tilde sobre la letra que designa el subconjunto. Así, M = {a, e, i, o, u}, L = {a, e} y L = {i, o, u). n En todo conjunto se reconoce la existencia de un subconjunto sin elemento alguno, o conjunto vacío.
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Teoría de Conjuntos. n Si un conjunto está contenido dentro de otro, todos los elementos del conjunto principal que no son elementos del subconjunto forman el conjunto complementario. Para representar el conjunto complementario utilizamos una tilde sobre la letra que designa el subconjunto. Así, M = {a, e, i, o, u}, L = {a, e} y L = {i, o, u). n En todo conjunto se reconoce la existencia de un subconjunto sin elemento alguno, o conjunto vacío.
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Teoría de Conjuntos. n Cuando dos conjuntos no son iguales pero comparten algunos elementos se puede formar con ello un conjunto con los elementos comunes. n A este conjunto se le designa como intersección y se representa mediante el símbolo . Así, si O = {a, i} y U = {e, i}, entonces O U = {i}. n Si dos conjuntos no tienen elementos en común, su intersección es el conjunto vacío.
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Teoría de Conjuntos. n Cuando dos conjuntos no son iguales pero comparten algunos elementos se puede formar con ello un conjunto con los elementos comunes. n A este conjunto se le designa como intersección y se representa mediante el símbolo . Así, si O = {a, i} y U = {e, i}, entonces O U = {i}. n Si dos conjuntos no tienen elementos en común, su intersección es el conjunto vacío.
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Teoría de Conjuntos. n Cuando dos conjuntos no son iguales pero comparten algunos elementos se puede formar con ello un conjunto con los elementos comunes. n A este conjunto se le designa como intersección y se representa mediante el símbolo . Así, si O = {a, i} y U = {e, i}, entonces O U = {i}. n Si dos conjuntos no tienen elementos en común, su intersección es el conjunto vacío.
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Intersección de dos conjuntos.
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Teoría de Conjuntos. n La unión de dos conjuntos es otro conjunto formado por todos los elementos de los dos conjuntos. n Los elementos comunes a los dos conjuntos solo se toman en cuenta una vez. n Para indicar la unión de dos conjuntos utilizamos el símbolo . Así, la unión de O = {a, i} y U = {e, i) es el conjunto O U = {a, e, i}.
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Teoría de Conjuntos. n La unión de dos conjuntos es otro conjunto formado por todos los elementos de los dos conjuntos. n Los elementos comunes a los dos conjuntos solo se toman en cuenta una vez. n Para indicar la unión de dos conjuntos utilizamos el símbolo . Así, la unión de O = {a, i} y U = {e, i) es el conjunto O U = {a, e, i}.
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Teoría de Conjuntos. n La unión de dos conjuntos es otro conjunto formado por todos los elementos de los dos conjuntos. n Los elementos comunes a los dos conjuntos solo se toman en cuenta una vez. n Para indicar la unión de dos conjuntos utilizamos el símbolo . Así, la unión de O = {a, i} y U = {e, i) es el conjunto O U = {a, e, i}.
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Unión de dos conjuntos.
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Conjuntos: representación tabular. Conjunto Universal (M) Subconjunto P Conjunto Universal (M) Subconjunto Rab cd
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Conjuntos: representación tabular. Conjunto Universal (M) Subconjunto P Conjunto Universal (M) Subconjunto Rab cd Sujetos en una cohorte EnfermosNo enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos50300 No expuestos25500
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte EnfermosNo enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos50300 No expuestos25500 Sujetos en una cohorte EnfermosNo enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos50300 No expuestos25500 Intersección de dos conjuntos Unión de dos conjuntos
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de N = ?
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de N = 50+300+25+500 = 875
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de N = 875 N(A) = ?
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de N = 875 N(A) = 25+500 = 525
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de N = 875 N(A) = 525 N(B) = ?
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de N = 875 N(A) = 525 N(B) =50+25 = 75
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de N = 875 N(A) = 525 N(B) = 75 N(A B) = ?
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de N = 875 N(A) = 525 N(B) = 75 N(A B) = 50
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de N = 875 N(A) = 525 N(B) = 75 N(A B) = 50 N(A B) = ?
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de N = 875 N(A) = 525 N(B) = 75 N(A B) = 50 N(A B) = 300
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de N = 875 N(A) = 575 N(B) = 75 N(A B) = 50 N(A B) = 300 N(A B) = ?
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de N = 875 N(A) = 575 N(B) = 75 N(A B) = 50 N(A B) = 300 N(A B) = 50+300+25 = 375
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de N = 875 N(A) = 575 N(B) = 75 N(A B) = 50 N(A B) = 300 N(A B) = 375 N(A B) = ?
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Conjuntos: representación tabular. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de N = 875 N(A) = 575 N(B) = 75 N(A B) = 50 N(A B) = 300 N(A B) = 375 N(A B) = 50+300+500 = 850
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Teoría de conjuntos y probabilidad n En el campo de las probabilidades se designa como experimento a todo proceso de observación. n Asociado a todo experimento existen resultados posibles que se entienden como elementos de un conjunto. n Este conjunto, que agrupa todos los resultados diferentes posibles, recibe el nombre de espacio de eventos y se simboliza con la letra S. Ejemplo: el espacio de eventos de un dado es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Teoría de conjuntos y probabilidad n En el campo de las probabilidades se designa como experimento a todo proceso de observación. n Asociado a todo experimento existen resultados posibles que se entienden como elementos de un conjunto. n Este conjunto, que agrupa todos los resultados diferentes posibles, recibe el nombre de espacio de eventos y se simboliza con la letra S. Ejemplo: el espacio de eventos de un dado es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Teoría de conjuntos y probabilidad n En el campo de las probabilidades se designa como experimento a todo proceso de observación. n Asociado a todo experimento existen resultados posibles que se entienden como elementos de un conjunto. n Este conjunto, que agrupa todos los resultados diferentes posibles, recibe el nombre de espacio de eventos y se simboliza con la letra S. Ejemplo: el espacio de eventos de un dado es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Probabilidad de un evento n Mediante la probabilidad de un evento expresamos el grado de confianza que tal evento ocurra al observar un experimento, y se representa como un número que va del 0 al 1, donde el 1 indica que un evento ocurrirá con toda seguridad, mientras el 0 corresponde a un evento que con toda seguridad NO ocurrirá. –Probabilidad clásica o a priori. –Probabilidad según la frecuencia relativa de ocurrencia o a posteriori.
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Probabilidad a priori n Si antes de realizar un experimento se conocen todos los elementos de un espacio de eventos y todos tienen la misma oportunidad de ocurrir, la probabilidad de observar un evento simple en particular P(E) es igual a 1/N, donde N es el total de elementos del espacio de eventos. n El dado tiene 6 caras, si todas la caras tienen la misma probabilidad de ser seleccionada, la probabilidad de seleccionar la cara 1 es igual a 1/6 = 0.167
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Probabilidad a priori n Si antes de realizar un experimento se conocen todos los elementos de un espacio de eventos y todos tienen la misma oportunidad de ocurrir, la probabilidad de observar un evento simple en particular P(E) es igual a 1/N, donde N es el total de elementos del espacio de eventos. n El dado tiene 6 caras, si todas la caras tienen la misma probabilidad de ser seleccionada, la probabilidad de seleccionar la cara 1 es igual a 1/6 = 0.167
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Probabilidad a posteriori n Para calcular una probabilidad podemos recurrir a estimar la frecuencia relativa de la ocurrencia de un evento una vez que el experimento ha sido realizado. n Para ello, dividimos el número de veces que se observó el evento de interés, a, entre el total de veces que el experimento se realizó, N. n A medida que N se aproxima a infinito, el procedimiento a posteriori brinda el mismo resultado que el a priori.
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Probabilidad a posteriori n Para calcular una probabilidad podemos recurrir a estimar la frecuencia relativa de la ocurrencia de un evento una vez que el experimento ha sido realizado. n Para ello, dividimos el número de veces que se observó el evento de interés, a, entre el total de veces que el experimento se realizó, N. n A medida que N se aproxima a infinito, el procedimiento a posteriori brinda el mismo resultado que el a priori.
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Probabilidad a posteriori n Para calcular una probabilidad podemos recurrir a estimar la frecuencia relativa de la ocurrencia de un evento una vez que el experimento ha sido realizado. n Para ello, dividimos el número de veces que se observó el evento de interés, a, entre el total de veces que el experimento se realizó, N. n A medida que N se aproxima a infinito, el procedimiento a posteriori brinda el mismo resultado que el a priori.
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Probabilidad subjetiva n Además de las probabilidades a priori y a posteriori, se reconoce una tercera manea de calcular probabilidades: la probabilidad subjetiva. Su estimación no se basa en frecuencias relativas sino en apreciaciones y conocimientos previos que tiene quienes realizan la estimación.
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Cálculo de probabilidades. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de P(A) = ?
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Cálculo de probabilidades. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de P(A) = 350/875 = 0.40
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Cálculo de probabilidades. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de P(A) = 350/875 = 0.40 P(B) = ?
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Cálculo de probabilidades. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de P(A) = 350/875 = 0.40 P(B) = 75/875 = 0.09
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Cálculo de probabilidades. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de P(A) = 350/875 = 0.40 P(B) = 75/875 = 0.09 P(A B) = ?
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Cálculo de probabilidades. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de P(A) = 350/875 = 0.40 P(B) = 75/875 = 0.09 P(A B) = 50/875 = 0.06
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Cálculo de probabilidades. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de P(A) = 350/875 = 0.40 P(B) = 75/875 = 0.09 P(A B) = 50/875 = 0.06 P(A B) = ?
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Cálculo de probabilidades. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de P(A) = 350/875 = 0.40 P(B) = 75/875 = 0.09 P(A B) = 50/875 = 0.06 P(A B) = 50+300+25 = 375/875 = 0.43
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Regla de la suma de probabilidades n Si, la probabilidad de que ocurra un evento se expresa con un número que va del 0 al 1; y, n La probabilidad de un evento simple, cuando todos los eventos simples de un conjunto tienen la misma oportunidad de ocurrir, es igual a 1/N n Entonces, es claro que la suma de las probabilidades de todos los eventos simples que componen un conjunto es igual a 1.
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Suma de probabilidades: ejemplo n Si un dado tiene 6 caras, y n Todas las caras tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas. n Entonces, –Probabilidad (P) de seleccionar la cara 1 = 1/6. –Probabilidad (P) de seleccionar la cara 2 = 1/6. –P de seleccionar las caras 1 o 2 = 1/6 + 1/6 = 2/6. n Así que, al sumar las 6 probabilidad el total es igual a 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6 = 6/6 = 1
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Probabilidad condicional n Es la probabilidad que se calcula utilizando información adicional a la que nos proporciona la sola descripción de un experimento. Se denota con P(A|B) y se calcula mediante
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Probabilidad condicional. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 P(A B) = 50/875 = 0.06
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Probabilidad condicional. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 P(A B) = 50/875 = 0.057 P(B|A) = 50/350 = 0.143 P(B|A) = P(A B)/P(A) = (50/875)/(350/875) = 0.057/0.400 = 0.143
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P(B|A) = ? Probabilidad condicional. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de
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P(B|A) = 25/525 = 0.048 Probabilidad condicional. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de
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P(B|A) = 25/525 = 0.048 P(A|B) = ? Probabilidad condicional. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de
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P(B|A) = 25/525 = 0.048 P(A|B) = 25/75 = 0.333 Probabilidad condicional. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500 Pregunta: cuál es el valor de
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Independencia de eventos n Dos eventos A y B son independientes si, y sólo si, se cumple que n Es decir, si la probabilidad de la intersección de dos eventos es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos, entonces se dice que ambos eventos son independientes.
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P(A) = 350/875 = 0.400 P(B) = 75/875 = 0.086 P(A B) = 50/875 = 0.057 P(A) * P(B) = 0.400 * 0.086 = 0.034 P(A) * P(B) <> P(A B): los eventos no son independientes. Independencia de eventos. Sujetos en una cohorte Enfermos (B)No enfermos Sujetos en una cohorte Expuestos (A)50300 No expuestos25500
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Independencia de eventos. n Cuando dos eventos son independientes, la multiplicación de sus probabilidades me permite calcular la probabilidad de que se presenten ambos eventos. n Ejemplo: la probabilidad de que nazca un varón es de 0.51. ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos dos partos no gemelares sean dos varones? n Respuesta: 0.51*0.51 = 0.26
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Independencia de eventos. n Cuando dos eventos son independientes, la multiplicación de sus probabilidades me permite calcular la probabilidad de que se presenten ambos eventos. n Ejemplo: la probabilidad de que nazca un varón es de 0.51. ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos dos partos no gemelares sean dos varones? n Respuesta: 0.51*0.51 = 0.26
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Independencia de eventos. n Cuando dos eventos son independientes, la multiplicación de sus probabilidades me permite calcular la probabilidad de que se presenten ambos eventos. n Ejemplo: la probabilidad de que nazca un varón es de 0.51. ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos dos partos no gemelares sean dos varones? n Respuesta: 0.51*0.51 = 0.26
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