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MÉTODOS ABIERTOS Métodos Numéricos. En los métodos anteriores usan intervalos, la raíz se encuentra dentro de estos mismos, dada por un limite inferior.

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1 MÉTODOS ABIERTOS Métodos Numéricos

2 En los métodos anteriores usan intervalos, la raíz se encuentra dentro de estos mismos, dada por un limite inferior y otro superior. La aplicación repetida de estos métodos siempre genera aproximaciones cada vez mas cercanas a la raíz. Tales métodos son conocidos como convergentes, ya que se acercan progresivamente a la raíz a medida que avanza el calculo. METODOS ABIERTOS En contraste, los métodos abiertos descritos se basan en formulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran a la raíz. Algunas veces se alejan de la raíz verdadera a medida que crece el numero de iteraciones. Pero aun así lo hacen mucho mas rápido que los métodos que usan intervalos. Se empieza el análisis de los métodos: Métodos Numéricos

3 METODO DE PUNTO FIJO Los métodos abiertos emplean una formula que predice la raíz. Tal formula puede ser desarrollada para una simple iteración de punto fijo al re arreglar la ecuación f(x) = 0 de tal modo que x quede del lado izquierdo de la ecuación. 1. Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x. 3

4 Métodos Numéricos 2. La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, cuando g(x) = x. La fórmula de recurrencia para el método del punto fijo se obtiene de considerar una función que el resultado de sumar la función f con la función identidad:

5 3. El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz. f(x) x xr Las funciones x y g(x) se cortan exactamente en la raíz x r x g(x) f(x) Métodos Numéricos

6 4. El método consiste en considerar un valor inicial x 0, como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(x 0 ), considerando éste como segunda aproximación de la raíz, x 1 5. El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide prácticamente con x. Métodos Numéricos

7 iteración XiXi f(X i )g(X i )e(%)e*(%) f(x)= e -x - x g(x)= e -x Métodos Numéricos

8

9 i+1 x f'(x i ) x i f(x i ) x1x1 f(x) x f(x 1 ) x2x2 f(x 2 ) Métodos Numéricos

10 DerivadaFunciónRecurrencia VV= iteración XiXi f(X i )f'(X i )e(%)e*(%) E E xe)x(f x Métodos Numéricos

11 1. Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x 0, x 1 para los cuales se evalúan los valores de la función: f(x 0 ) = f(x 1 ) 2. Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos. 3. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (x 2, 0) constituye una segunda aproximación de la raíz. 4. Se reemplazan los subíndices: x i = x i+1, de manera que x 1 pasa a ser x 0 y x 2 pasa a ser x Se traza una segunda secante por los nuevos puntos x0, x1, obteniendo una segunda aproximación con x2. 6. El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección x2 coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz. Métodos Numéricos

12 x0x0 x1x1 f(x) x f(x 0 ) f(x 1 ) x2x2 f(x 2 ) Métodos Numéricos

13 xe)x(f x iteración X0X0 XiXi f(X 0 )f(Xi)X i+1 f(X i+1 ) E E E-10 Métodos Numéricos


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